44 Argüman İlkesi ve Rouché Teoremi
Rezidü kuramı yalnızca integral hesaplamaz; sayar da. Bu bölümde bir fonksiyonun bir çevre içindeki sıfır ve kutuplarının sayısını, çevre üzerindeki argüman değişiminden okumayı öğreneceğiz. Sonuç, polinom köklerinin nerede olduğunu belirleyen pratik bir araca dönüşecek.
44.1 Meromorf Fonksiyonlar ve Dolanma Sayısı
Tanım 44.1 (Meromorf Fonksiyon) Bir \(f\) fonksiyonu, bir \(D\) domeninde kutuplar hariç her yerde analitikse \(D\)’de meromorftur.
\(f\), pozitif yönlü basit kapalı bir \(C\) çevresinin içi olan domende meromorf; \(C\) üzerinde ise analitik ve sıfırdan farklı olsun. \(C\)’nin \(w = f(z)\) dönüşümü altındaki görüntüsü \(\Gamma\), \(w\) düzleminde kapalı bir eğridir (basit olmak zorunda değildir) ve \(f\), \(C\) üzerinde sıfırlanmadığından \(\Gamma\) orijinden geçmez.
\(z\) noktası \(C\)’yi pozitif yönde bir kez dolaşırken \(w\) görüntüsü \(\Gamma\)’yı bir kez katederse, \(\arg w\) değeri sürekli biçimde değişir ve başlangıç noktasına dönüldüğünde bir \(\phi_1 - \phi_0\) farkı birikir. Bu fark
\[\Delta_C \arg f(z) = \phi_1 - \phi_0 \tag{1}\]
ile gösterilir ve \(2\pi\)’nin bir tam katıdır.
Tanım 44.2 (Dolanma Sayısı) \[\frac{1}{2\pi}\,\Delta_C \arg f(z) \tag{2}\]
tam sayısına, \(\Gamma\) eğrisinin \(w = 0\) orijini etrafındaki dolanma sayısı denir. Saat yönünün tersine dolanmalar pozitif, saat yönündekiler negatif sayılır; \(\Gamma\) orijini çevrelemiyorsa dolanma sayısı sıfırdır.
44.2 Argüman İlkesi
Teorem 44.1 (Argüman İlkesi) \(C\) pozitif yönlü basit kapalı bir çevre olsun ve
\(f\), \(C\)’nin içi olan domende meromorf;
\(f\), \(C\) üzerinde analitik ve sıfırdan farklı;
katlılıklar dahil, \(C\) içinde \(f\)’nin sıfırlarının sayısı \(Z\), kutuplarının sayısı \(P\)
olsun. O zaman
\[\frac{1}{2\pi}\,\Delta_C \arg f(z) = Z - P \tag{3}\]
İspat
\(\dfrac{f'(z)}{f(z)}\) fonksiyonunun \(C\) üzerindeki integralini iki farklı yolla hesaplayacağız.
Birinci hesap: argüman değişimi. \(C\)’nin parametrik temsili \(z = z(t)\) \((a \le t \le b)\) olsun:
\[\int_C \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = \int_a^b \frac{f'[z(t)]\,z'(t)}{f[z(t)]}\,dt \tag{4}\]
\(\Gamma\) orijinden geçmediğinden, \(C\) üzerindeki her noktanın görüntüsü üstel formda yazılabilir:
\[f[z(t)] = \rho(t)\,e^{i\phi(t)} \qquad (a \le t \le b)\]
\(\Gamma\)’yı oluşturan düzgün yayların her biri boyunca
\[\frac{d}{dt} f[z(t)] = f'[z(t)]z'(t) = \rho'(t)e^{i\phi(t)} + i\rho(t)e^{i\phi(t)}\phi'(t)\]
olur. \((4)\) integralinde yerine konup sadeleştirilirse
\[\int_C \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = \int_a^b \frac{\rho'(t)}{\rho(t)}\,dt + i\int_a^b \phi'(t)\,dt = \Big[\ln\rho(t)\Big]_a^b + i\Big[\phi(t)\Big]_a^b\]
\(C\) kapalı olduğundan \(\rho(b) = \rho(a)\)’dır ve ilk terim sıfırlanır; ikinci terim ise \((1)\) tanımıdır:
\[\int_C \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = i\,\Delta_C \arg f(z) \tag{5}\]
İkinci hesap: rezidü teoremi. \(\dfrac{f'}{f}\) bölümü, \(C\) içinde yalnızca \(f\)’nin sıfır ve kutuplarında tekildir.
\(f\)’nin \(z_0\)’da \(m_0\) mertebeli bir sıfırı varsa karakterizasyon teoremiyle \(f(z) = (z - z_0)^{m_0} g(z)\) yazılır (\(g\) analitik, \(g(z_0)\neq 0\)) ve
\[f'(z) = m_0 (z-z_0)^{m_0-1}g(z) + (z-z_0)^{m_0}g'(z)\]
\[\implies \quad \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{m_0}{z - z_0} + \frac{g'(z)}{g(z)} \tag{6}\]
\(\dfrac{g'}{g}\), \(z_0\)’da analitik olduğundan \(\dfrac{f'}{f}\) orada basit kutba sahiptir ve rezidüsü \(m_0\)’dır.
\(f\)’nin \(z_0\)’da \(m_p\) mertebeli bir kutbu varsa kutup karakterizasyonuyla \(f(z) = (z - z_0)^{-m_p}\varphi(z)\) yazılır; \((6)\) hesabında \(m_0\) yerine \(-m_p\) geçer ve rezidü \(-m_p\) olur.
Cauchy rezidü teoremi tüm katkıları toplar:
\[\int_C \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 2\pi i\,(Z - P) \tag{7}\]
\((5)\) ile \((7)\) eşitlenip \(2\pi i\)’ye bölünürse \((3)\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 44.1 (Negatif Dolanma) \(f(z) = \dfrac{1}{z^2}\) fonksiyonunun tek tekilliği orijindeki ikinci mertebeden kutuptur ve sonlu düzlemde sıfırı yoktur. \(C\), pozitif yönlü birim çember olsun; \(f\) orada analitik ve sıfırdan farklıdır. Argüman ilkesi \(Z = 0\), \(P = 2\) ile
\[\frac{1}{2\pi}\Delta_C \arg\left(\frac{1}{z^2}\right) = -2\]
verir: görüntü eğrisi \(\Gamma\), orijin etrafında saat yönünde iki kez döner. Gerçekten \(z = e^{i\theta}\) için \(w = e^{-i2\theta}\)’dır \((0 \le \theta \le 2\pi)\) — doğrudan da görülür.
44.3 Rouché Teoremi
Teorem 44.2 (Rouché Teoremi) \(C\) basit kapalı bir çevre olsun ve
\(f\) ile \(g\) fonksiyonları \(C\)’nin içinde ve üzerinde analitik;
\(C\) üzerindeki her noktada \(|f(z)| > |g(z)|\)
olsun. O zaman \(f(z)\) ile \(f(z) + g(z)\), \(C\) içinde — katlılıklar dahil — aynı sayıda sıfıra sahiptir.
İspat
Yön önemsizdir; \(C\)’yi pozitif yönlü alalım. Önce ne \(f\)’nin ne de \(f+g\)’nin \(C\) üzerinde sıfırı olduğuna dikkat edelim: \(z \in C\) iken
\[|f(z)| > |g(z)| \ge 0, \qquad |f(z)+g(z)| \ge \big||f(z)| - |g(z)|\big| > 0\]
\(Z_f\) ve \(Z_{f+g}\), \(C\) içindeki sıfır sayıları olsun. İki fonksiyon da analitik olduğundan kutupları yoktur; argüman ilkesi
\[Z_f = \frac{1}{2\pi}\Delta_C \arg f(z), \qquad Z_{f+g} = \frac{1}{2\pi}\Delta_C\arg\big[f(z) + g(z)\big]\]
verir. Çarpanı ayıralım:
\[\Delta_C \arg\big[f + g\big] = \Delta_C \arg\left\{f\left[1 + \frac{g}{f}\right]\right\} = \Delta_C\arg f + \Delta_C \arg F\]
\[F(z) = 1 + \frac{g(z)}{f(z)}\]
Böylece
\[Z_{f+g} = Z_f + \frac{1}{2\pi}\Delta_C\arg F(z) \tag{8}\]
Fakat \(C\) üzerinde
\[\big|F(z) - 1\big| = \frac{|g(z)|}{|f(z)|} < 1\]
olduğundan, \(C\)’nin \(w = F(z)\) dönüşümü altındaki görüntüsü \(|w - 1| < 1\) açık diskinin içinde kalır. Bu disk orijini içermediğinden görüntü eğrisi \(w = 0\) etrafında dolanamaz: \(\Delta_C \arg F(z) = 0\). \((8)\) eşitliği \(Z_{f+g} = Z_f\) hâline iner.
\(\blacksquare\)
Bir denklemin belirli bir bölgedeki kök sayısını bulmak için, ifadeyi baskın terim \(f\) ve küçük terim \(g\) olarak ikiye ayırın. Sınırda \(|f| > |g|\) gösterebilirseniz, kök sayısı \(f\)’nin — genellikle \(cz^n\) gibi apaçık — sıfır sayısına eşittir.
44.4 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 44.2 (Birim Çember İçindeki Kökler) \(z^7 - 4z^3 + z - 1 = 0\) denkleminin \(|z| = 1\) çemberi içinde kaç kökü olduğunu bulunuz.
Çözüm
Baskın terimi ayıralım:
\[f(z) = -4z^3, \qquad g(z) = z^7 + z - 1\]
\(|z| = 1\) üzerinde
\[|f(z)| = 4|z|^3 = 4, \qquad |g(z)| \le |z|^7 + |z| + 1 = 3\]
Rouché teoreminin koşulu sağlanıyor. \(f(z) = -4z^3\) fonksiyonunun birim çember içinde katlılığıyla birlikte üç sıfırı vardır (\(z = 0\), üç katlı); dolayısıyla \(f + g\) toplamının da üç sıfırı vardır. Yani verilen denklemin birim disk içinde üç kökü bulunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 44.3 (Cebirin Temel Teoreminin İkinci İspatı) \(n \ge 1\) dereceli her
\[P(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n \qquad (a_n \neq 0)\]
polinomunun, katlılıklar dahil tam olarak \(n\) sıfırı olduğunu Rouché teoremiyle gösteriniz.
Çözüm
\[f(z) = a_n z^n, \qquad g(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_{n-1}z^{n-1}\]
alalım. \(|z| = R\) çemberi üzerinde (\(R > 1\)):
\[|f(z)| = |a_n| R^n\]
\[|g(z)| \le |a_0| + |a_1|R + \cdots + |a_{n-1}|R^{n-1} \le \big(|a_0| + |a_1| + \cdots + |a_{n-1}|\big) R^{n-1}\]
(son adımda \(R > 1\) olduğundan tüm kuvvetler \(R^{n-1}\) ile üstten sınırlandı). O hâlde
\[R > \frac{|a_0| + |a_1| + \cdots + |a_{n-1}|}{|a_n|} \tag{9}\]
koşulunu sağlayan bir \(R\) seçilirse
\[\frac{|g(z)|}{|f(z)|} \le \frac{|a_0| + \cdots + |a_{n-1}|}{|a_n|\,R} < 1\]
yani \(|f(z)| > |g(z)|\) olur. Rouché teoremi gereği \(P = f + g\), \(|z| = R\) çemberi içinde \(f(z) = a_n z^n\) ile aynı sayıda — yani \(n\) tane — sıfıra sahiptir. \(R\) istenildiği kadar büyük seçilebildiğinden bunlar \(P\)’nin tüm sıfırlarıdır.
\(\blacksquare\)
Liouville teoremiyle verdiğimiz ispat yalnızca en az bir sıfırın varlığını garanti ediyordu; kalan kökler, ardışık bölmelerle elde ediliyordu. Rouché teoremi ise kökleri sayarak \(n\) tanesinin varlığını tek hamlede verir — dolanma sayısının gücü budur.
44.5 Alıştırma
Alıştırma 44.1 (Rouché Alıştırmaları)
\(z^4 + 3z + 1 = 0\) denkleminin \(|z| < 2\) diskinde kaç kökü olduğunu bulunuz.
\(2z^5 - 6z^2 + z + 1 = 0\) denkleminin \(1 \le |z| \le 2\) halkasında kaç kökü olduğunu belirleyiniz.
\(z e^{\lambda - z} = 1\) \((\lambda > 1)\) denkleminin birim disk içinde tam bir kökü olduğunu ve bu kökün reel olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Polinomu, çember üzerinde baskın olan terim ile geri kalanına ayıralım:
\[f(z) = z^4, \qquad g(z) = 3z + 1\]
\(|z| = 2\) üzerinde büyüklükleri karşılaştıralım:
\[|f(z)| = |z|^4 = 16, \qquad |g(z)| \le 3|z| + 1 = 7\]
\(|g| < |f|\) olduğundan Rouché teoremi, \(f + g\) ile \(f\)’nin \(|z| < 2\) diskinde aynı sayıda sıfıra sahip olduğunu söyler. \(f(z) = z^4\)’ün orada \(z = 0\)’da dördüncü mertebeden bir sıfırı vardır, yani katlılıkla birlikte \(4\) sıfır. Sonuç:
\[z^4 + 3z + 1 = 0 \text{ denkleminin } |z| < 2 \text{ diskinde } 4 \text{ kökü vardır.}\]
(Dereceden dolayı toplam kök sayısı da \(4\)’tür; demek ki bütün kökler bu diskin içindedir.)
b) Halkadaki kök sayısını, iki çemberdeki sayıların farkı olarak buluruz.
\(|z| = 1\) üzerinde baskın terim \(-6z^2\)’dir:
\[\big|-6z^2\big| = 6, \qquad \big|2z^5 + z + 1\big| \le 2 + 1 + 1 = 4 < 6\]
Rouché teoremi, polinomun \(|z| < 1\) diskinde \(-6z^2\) ile aynı sayıda — yani \(2\) — sıfırı olduğunu verir.
\(|z| = 2\) üzerinde baskın terim \(2z^5\)’tir:
\[\big|2z^5\big| = 2\cdot 32 = 64, \qquad \big|-6z^2 + z + 1\big| \le 24 + 2 + 1 = 27 < 64\]
Bu kez \(|z| < 2\) diskinde \(5\) sıfır bulunur.
Her iki çember üzerinde de eşitsizlikler kesindir; dolayısıyla polinomun bu çemberler üzerinde sıfırı yoktur ve halkadaki kök sayısı farktır:
\[5 - 2 = 3\]
\(1 \le |z| \le 2\) kapalı halkasında \(3\) kök vardır.
c) Denklemi \(z e^{\lambda - z} - 1 = 0\) biçiminde yazalım ve birim çember üzerinde
\[f(z) = z\,e^{\lambda - z}, \qquad g(z) = -1\]
ayrışımını inceleyelim. \(|z| = 1\) üzerinde \(z = x + iy\) ile \(x \le 1\) olduğundan
\[|f(z)| = |z|\,\big|e^{\lambda - z}\big| = e^{\lambda - x} \ge e^{\lambda - 1} > 1 = |g(z)|\]
çünkü \(\lambda > 1\)’dir. Rouché teoremi gereği \(f + g\) ile \(f\)’nin \(|z| < 1\) diskindeki sıfır sayıları eşittir. \(f(z) = ze^{\lambda-z}\) fonksiyonunun tek sıfırı \(z = 0\)’dır ve basittir (\(e^{\lambda-z}\) hiçbir zaman sıfır olmaz). Demek ki denklemin birim disk içinde tam bir kökü vardır.
Bu kökün reel olduğunu görelim. Reel eksen üzerinde
\[h(x) = x\,e^{\lambda - x} - 1\]
sürekli bir fonksiyondur; uç değerleri
\[h(0) = -1 < 0, \qquad h(1) = e^{\lambda - 1} - 1 > 0 \quad (\lambda > 1)\]
Ara değer teoremi, \((0,1)\) aralığında bir \(x_0\) kökü verir. Bu \(x_0\) birim diskin içindedir; diskteki kök tek olduğuna göre aranan kök tam olarak \(x_0\)’dır ve reeldir.
\(\blacksquare\)
Son bölümde rezidülerin uygulamalı matematikteki en yaygın kullanımına geliyoruz: diferansiyel denklem çözümlerini geri getiren ters Laplace dönüşümü.