8 Türev ve Türev Formülleri
Kompleks türev, biçimsel olarak reel türevle aynı oran limitidir. Ama \(\Delta z\) artık sıfıra düzlemin her yönünden yaklaşabilir ve limitin hepsinde aynı çıkması gerekir. Bu ek koşul o kadar kısıtlayıcıdır ki, reel bakışla gayet “düzgün” görünen fonksiyonlar bile kompleks anlamda türevsiz kalabilir.
8.1 Türevin Tanımı
Tanım 8.1 (Türev) \(f\), \(z_0\)’ın bir komşuluğunda tanımlı olsun. \(f\)’nin \(z_0\)’daki türevi
\[f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\]
limitidir (varsa). \(\Delta z = z - z_0\) ve \(\Delta w = f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)\) yazılırsa aynı tanım
\[f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}\]
biçimini alır; \(\dfrac{dw}{dz}\) gösterimi de kullanılır.
Örnek 8.1 (Tanımdan Türev) \(f(z) = z^2\) için \(f'(z) = 2z\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\[\frac{\Delta w}{\Delta z} = \frac{(z + \Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \frac{2z\,\Delta z + (\Delta z)^2}{\Delta z} = 2z + \Delta z \longrightarrow 2z \quad (\Delta z \to 0)\]
Limit \(\Delta z\)’nin yönünden bağımsız çıktı; türev her noktada vardır.
\(\blacksquare\)
8.2 Türevlenemeyen Fonksiyonlar
Örnek 8.2 (Eşlenik Hiçbir Noktada Türevlenemez) \(f(z) = \bar{z}\) fonksiyonunun hiçbir noktada türevi yoktur.
Çözüm
\[\frac{\Delta w}{\Delta z} = \frac{\overline{z + \Delta z} - \bar{z}}{\Delta z} = \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\]
\(\Delta z = \Delta x\) (yatay yaklaşım) için oran \(1\); \(\Delta z = i\Delta y\) (dikey yaklaşım) için \(\overline{i\Delta y}/(i\Delta y) = -1\). İki yön farklı değer verdiğinden limit hiçbir \(z\)’de yoktur.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.3 (Modül Karesi Yalnızca Başlangıçta Türevlenir) \(f(z) = |z|^2\) fonksiyonunun yalnızca \(z = 0\)’da türevi vardır ve \(f'(0) = 0\)’dır.
Çözüm
\(|w|^2 = w\bar{w}\) özdeşliğiyle
\[\frac{\Delta w}{\Delta z} = \frac{(z + \Delta z)\overline{(z + \Delta z)} - z\bar{z}}{\Delta z} = \bar{z} + \overline{\Delta z} + z\,\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\]
\(z = 0\) ise oran \(\overline{\Delta z}\)’dir ve \(0\)’a gider: \(f'(0) = 0\). \(z \neq 0\) ise yatay yaklaşım \(\bar z + \overline{\Delta z} + z \to \bar{z} + z\), dikey yaklaşım \(\to \bar{z} - z\) verir; \(z \neq 0\) iken bu ikisi farklıdır (\(2z\neq0\)), türev yoktur.
\(\blacksquare\)
\(|z|^2 = x^2 + y^2\) fonksiyonunun bileşenleri \(u = x^2 + y^2\), \(v = 0\) her mertebeden kısmi türeve sahiptir; buna rağmen kompleks türev tek bir nokta dışında yoktur. Kompleks türevlenebilirlik, bileşenlerin düzgünlüğünden çok daha fazlasını ister: bileşenleri birbirine bağlayan Cauchy-Riemann denklemlerini.
8.3 Türev Sürekliliği Gerektirir
Teorem 8.1 (Türevlenebilirlik Sürekliliği Gerektirir) \(f'(z_0)\) varsa \(f\), \(z_0\)’da süreklidir.
İspat
\[\lim_{z \to z_0} \big[f(z) - f(z_0)\big] = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \cdot \lim_{z \to z_0}(z - z_0) = f'(z_0) \cdot 0 = 0\]
\(\blacksquare\)
Tersi doğru değildir: \(\bar{z}\) ve \(|z|^2\) her yerde süreklidir ama neredeyse hiçbir yerde türevlenemez.
8.4 Türev Formülleri
Limit teoremleri, reel analizden tanıdık tüm türev kurallarını aynı kanıtlarla kompleks düzleme taşır. \(c\) sabit, \(f\) ve \(g\) türevlenebilir olmak üzere:
\[\frac{d}{dz} c = 0, \qquad \frac{d}{dz} z = 1, \qquad \frac{d}{dz}\big[c f(z)\big] = c f'(z)\]
\[\frac{d}{dz} z^n = n z^{n-1} \quad (n \in \mathbb{Z};\; n < 0 \text{ için } z \neq 0)\]
\[\frac{d}{dz}\big[f(z) + g(z)\big] = f'(z) + g'(z)\]
\[\frac{d}{dz}\big[f(z) g(z)\big] = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)\]
\[\frac{d}{dz}\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right] = \frac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{[g(z)]^2} \qquad (g(z) \neq 0)\]
Çarpım kuralının kanıtı örnek olsun: \(\Delta z \to 0\) iken
\[\begin{aligned} \frac{f(z + \Delta z)g(z + \Delta z) - f(z)g(z)}{\Delta z} &= f(z + \Delta z)\,\frac{g(z + \Delta z) - g(z)}{\Delta z}\\[1mm] &\quad + g(z)\,\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} \end{aligned}\]
yazılır; türevlenebilen \(f\) sürekli olduğundan birinci terim \(f(z)g'(z)\)’ye, ikincisi \(g(z)f'(z)\)’ye gider.
Teorem 8.2 (Zincir Kuralı) \(f\)’nin \(z_0\)’da, \(g\)’nin \(f(z_0)\)’da türevi varsa \(F(z) = g[f(z)]\) bileşkesinin \(z_0\)’da türevi vardır ve
\[F'(z_0) = g'[f(z_0)]\, f'(z_0)\]
\(w = f(z)\) ve \(W = g(w)\) yazılışıyla bu, alışıldık biçimini alır:
\[\frac{dW}{dz} = \frac{dW}{dw} \cdot \frac{dw}{dz}\]
Örnek 8.4 (Zincir Kuralı Uygulaması) \(\dfrac{d}{dz}\big(2z^2 + i\big)^5\) türevini hesaplayınız.
Çözüm
\(w = 2z^2 + i\), \(W = w^5\) alalım:
\[\frac{d}{dz}\big(2z^2 + i\big)^5 = 5w^4 \cdot 4z = 20z\big(2z^2 + i\big)^4\]
\(\blacksquare\)
8.5 Alıştırma
Alıştırma 8.1 (Türev Hesapları)
\(f(z) = \dfrac{z - 1}{2z + 1}\) \(\left(z \neq -\dfrac{1}{2}\right)\) için \(f'(z)\) türevini hesaplayınız.
\(f(z) = \operatorname{Im} z\) fonksiyonunun hiçbir noktada türevlenemediğini, tanım üzerinden yatay ve dikey yaklaşımları karşılaştırarak gösteriniz.
\(P(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n\) polinomunun türevinin yine bir polinom olduğunu yazınız.
Çözüm
a) Bölüm kuralını uygulayalım; pay \(z - 1\), payda \(2z + 1\)’dir:
\[f'(z) = \frac{(z-1)'(2z+1) - (z-1)(2z+1)'}{(2z+1)^2} = \frac{(2z + 1) - 2(z - 1)}{(2z+1)^2}\]
Payı sadeleştirirsek \(2z + 1 - 2z + 2 = 3\) kalır:
\[f'(z) = \frac{3}{(2z+1)^2} \qquad \left(z \neq -\frac{1}{2}\right)\]
b) \(\Delta z = \Delta x + i\Delta y\) olmak üzere fark bölümünü yazalım. \(f(z) = \operatorname{Im} z = y\) olduğundan
\[\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac{(y + \Delta y) - y}{\Delta x + i \Delta y} = \frac{\Delta y}{\Delta x + i\Delta y}\]
Yatay yaklaşım (\(\Delta y = 0\), \(\Delta x \to 0\)): bölüm her adımda
\[\frac{0}{\Delta x} = 0\]
Dikey yaklaşım (\(\Delta x = 0\), \(\Delta y \to 0\)): bölüm her adımda
\[\frac{\Delta y}{i\Delta y} = \frac{1}{i} = -i\]
Bir limitin var olması için, \(\Delta z \to 0\) giden her yol boyunca aynı değere ulaşılması gerekir. Burada iki yol \(0\) ve \(-i\) gibi farklı değerler verdiğinden limit yoktur. Seçilen \(z\) noktası keyfi olduğu için \(\operatorname{Im} z\) hiçbir noktada türevlenebilir değildir.
c) Türev, sonlu toplamlar üzerinde terim terime uygulanır ve \(\dfrac{d}{dz}z^k = k z^{k-1}\)’dir:
\[P'(z) = a_1 + 2a_2 z + 3a_3 z^2 + \cdots + n a_n z^{n-1}\]
Sonuç yine bir polinomdur: \(a_n \neq 0\) ve \(n \ge 1\) ise derecesi \(n - 1\)’dir. Polinomlar tüm düzlemde türevlenebilir olduğundan bu işlem istendiği kadar tekrarlanabilir ve \(n\)’inci türevden sonra sabit \(n!\,a_n\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Yatay ve dikey yaklaşımların uyuşması tesadüfe bırakılamaz; bu uyumun kesin koşulları, kompleks analizin imzası sayılan denklemlerdir: Cauchy-Riemann denklemleri.