11 Harmonik Fonksiyonlar
Analitik fonksiyonlar, uygulamalı matematiğin en önemli denklemlerinden biriyle doğuştan akrabadır: bir analitik fonksiyonun reel ve sanal kısımları Laplace denklemini sağlar. Bu köprü, ısı iletimi, elektrostatik ve akışkanlar mekaniği problemlerinin kompleks analizle çözülmesinin temelidir.
11.1 Harmoniklik
Tanım 11.1 (Harmonik Fonksiyon) İki reel değişkenli, reel değerli bir \(H(x, y)\) fonksiyonu; bir domende birinci ve ikinci mertebeden sürekli kısmi türevlere sahipse ve Laplace denklemini
\[H_{xx} + H_{yy} = 0\]
sağlıyorsa o domende harmoniktir.
Örnek 11.1 (Bir Harmonik Fonksiyon) \(T(x, y) = e^{-y}\sin x\) fonksiyonu tüm düzlemde harmoniktir:
\[T_{xx} = -e^{-y}\sin x, \qquad T_{yy} = e^{-y}\sin x, \qquad T_{xx} + T_{yy} = 0\]
Bu fonksiyon, \(0 < x < \pi\), \(y > 0\) yarı şeridinde durağan sıcaklık dağılımı olarak yorumlanabilir: dikey kenarlarda \(T = 0\), taban \(y=0\) üzerinde \(T = \sin x\) değerlerini alır ve \(y \to \infty\) iken sıfıra söner.
11.2 Analitik Fonksiyonların Bileşenleri Harmoniktir
Teorem 11.1 (Bileşenlerin Harmonikliği) \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) bir \(D\) domeninde analitikse, \(u\) ve \(v\), \(D\)’de harmoniktir.
İspat
İleride kanıtlanacak temel bir gerçeği ödünç alıyoruz: analitik bir fonksiyonun her mertebeden türevi vardır; özellikle \(u\) ve \(v\)’nin ikinci mertebe kısmi türevleri var ve süreklidir.
\(D\)’de Cauchy-Riemann denklemleri geçerlidir:
\[u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x\]
Birinciyi \(x\)’e, ikinciyi \(y\)’ye göre türetelim:
\[u_{xx} = v_{yx}, \qquad u_{yy} = -v_{xy}\]
Sürekli karışık türevler sıra değiştirdiğinden (\(v_{yx} = v_{xy}\)) taraf tarafa toplanınca \(u_{xx} + u_{yy} = 0\) çıkar. Benzer biçimde birinci denklem \(y\)’ye, ikincisi \(x\)’e göre türetilirse \(v_{xx} + v_{yy} = 0\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.2 (Analitiklikten Harmoniklik Üretmek) \(f(z) = e^{-y}\sin x - i\,e^{-y}\cos x\) fonksiyonu tamdır: bileşenleri için Cauchy-Riemann denklemleri her yerde sağlanır ve kısmi türevler süreklidir (doğrulaması bir satırdır; bu fonksiyon \(-ie^{iz}\)’dir). Teoreme göre Örnek 11.1’teki \(T = e^{-y}\sin x\) fonksiyonunun harmonikliği, hesapsız da görülebilirdi: \(T\), bir tam fonksiyonun reel kısmıdır.
Örnek 11.3 (Delinmiş Düzlemde Harmoniklik) \[\frac{i}{z^2} = \frac{i\bar{z}^2}{|z|^4} = \frac{2xy + i\,(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2}\]
fonksiyonu \(z \neq 0\)’da analitik olduğundan,
\[\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} \quad \text{ve} \quad \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}\]
fonksiyonları başlangıç noktası çıkarılmış düzlemde harmoniktir — doğrudan doğrulaması epey zahmetli olacak bir gerçek.
11.3 Harmonik Eşlenik
Tanım 11.2 (Harmonik Eşlenik) \(u\) ve \(v\), bir \(D\) domeninde harmonik olsun. Birinci mertebe kısmi türevleri \(D\)’de Cauchy-Riemann denklemlerini
\[u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x\]
sağlıyorsa, \(v\)’ye \(u\)’nun bir harmonik eşleniği denir.
Teorem 11.2 (Analitiklik = Harmonik Eşleniklik) \(f = u + iv\) fonksiyonu bir \(D\) domeninde analitiktir ancak ve ancak \(v\), \(u\)’nun harmonik eşleniğiyse.
Bir yön Teorem 11.1 ile Cauchy-Riemann gerekliliğinden; diğer yön, harmonikliğin içerdiği süreklilikle yeterlilik teoreminden çıkar.
İlişki simetrik değildir: \(v\)’nin \(u\)’nun eşleniği olması, \(u\)’nun \(v\)’nin eşleniği olması demek değildir. Örneğin \(u = x^2 - y^2\), \(v = 2xy\) çifti için \(u + iv = z^2\) analitiktir; ama ters sıralı \(v + iu = 2xy + i(x^2 - y^2)\) fonksiyonu hiçbir yerde analitik değildir (Cauchy-Riemann denklemleri yalnız başlangıç noktasında sağlanır). Doğru simetri şudur: \(v\)’nin bir harmonik eşleniği \(-u\)’dur; çünkü \(v - iu = -i(u + iv)\) çarpımı analitiktir.
11.4 Harmonik Eşlenik Bulma Yöntemi
Verilen harmonik \(u\)’dan eşleniği, Cauchy-Riemann denklemlerinin adım adım integrallenmesiyle bulunur. Yöntem bir örnek üzerinde en iyi görülür.
Örnek 11.4 (Harmonik Eşleniğin İnşası) \(u(x, y) = y^3 - 3x^2 y\) fonksiyonunun harmonikliğini doğrulayıp bir harmonik eşleniğini ve karşılık gelen analitik fonksiyonu bulunuz.
Çözüm
Harmoniklik: \(u_{xx} = -6y\), \(u_{yy} = 6y\); toplam sıfırdır.
Birinci denklem: \(v_y = u_x = -6xy\) olmalı. \(y\)’ye göre integralleyelim; “sabit” \(x\)’e bağlı olabilir:
\[v(x, y) = -3xy^2 + \varphi(x)\]
İkinci denklem: \(v_x = -u_y\) olmalı:
\[-3y^2 + \varphi'(x) = -(3y^2 - 3x^2) \implies \varphi'(x) = 3x^2 \implies \varphi(x) = x^3 + C\]
\(y\)’li terimlerin tamamen sadeleşmesi, \(u\)’nun harmonikliğinin güvencesidir. Böylece
\[v(x, y) = -3xy^2 + x^3 + C\]
ve karşılık gelen analitik fonksiyon
\[f(z) = \big(y^3 - 3x^2y\big) + i\big(x^3 - 3xy^2 + C\big) = i\big(z^3 + C\big)\]
Son eşitlik \(z^3 = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3)\) açılımıyla doğrulanır.
\(\blacksquare\)
Harmonik eşlenik, sabit ekleme dışında tektir: iki eşlenik \(v_1, v_2\) için \(f_1 - f_2 = i(v_1 - v_2)\), reel kısmı özdeş sıfır olan analitik bir fonksiyondur. Cauchy-Riemann denklemleri bu durumda \((v_1 - v_2)_x = (v_1 - v_2)_y = 0\) verir; türevi sıfır olan bu fonksiyon sabitlik teoremi gereği sabittir.
11.5 Alıştırma
Alıştırma 11.1 (Harmonik Eşlenik Alıştırmaları) Aşağıdaki fonksiyonların tüm düzlemde harmonik olduklarını gösterip birer harmonik eşleniklerini bulunuz.
\(u(x, y) = 2x(1 - y)\)
\(u(x, y) = 2x - x^3 + 3xy^2\)
\(u(x, y) = \sinh x \sin y\)
Çözüm
a) \(u = 2x - 2xy\) için kısmi türevler:
\[u_x = 2 - 2y, \quad u_{xx} = 0, \qquad u_y = -2x, \quad u_{yy} = 0\]
\(u_{xx} + u_{yy} = 0\) olduğundan \(u\) tüm düzlemde harmoniktir. Eşleniği Cauchy-Riemann denklemlerinden kuralım. Önce \(v_y = u_x\):
\[v_y = 2 - 2y \implies v = 2y - y^2 + \varphi(x)\]
Şimdi \(v_x = -u_y\) koşulunu uygulayalım:
\[v_x = \varphi'(x) = 2x \implies \varphi(x) = x^2 + C\]
Böylece
\[v(x,y) = x^2 - y^2 + 2y + C\]
b) \(u = 2x - x^3 + 3xy^2\) için
\[u_x = 2 - 3x^2 + 3y^2, \quad u_{xx} = -6x, \qquad u_y = 6xy, \quad u_{yy} = 6x\]
Toplam sıfırdır, \(u\) harmoniktir. Eşlenik için
\[v_y = u_x = 2 - 3x^2 + 3y^2 \implies v = 2y - 3x^2 y + y^3 + \varphi(x)\]
\[v_x = -6xy + \varphi'(x) \stackrel{!}{=} -u_y = -6xy \implies \varphi'(x) = 0\]
Sonuç:
\[v(x,y) = 2y - 3x^2 y + y^3 + C\]
c) \(u = \sinh x \sin y\) için
\[u_x = \cosh x \sin y, \quad u_{xx} = \sinh x \sin y, \qquad u_y = \sinh x \cos y, \quad u_{yy} = -\sinh x \sin y\]
İki ikinci türev birbirini götürür; \(u\) harmoniktir. Eşlenik:
\[v_y = u_x = \cosh x \sin y \implies v = -\cosh x \cos y + \varphi(x)\]
\[v_x = -\sinh x \cos y + \varphi'(x) \stackrel{!}{=} -u_y = -\sinh x \cos y \implies \varphi'(x) = 0\]
Sonuç:
\[v(x,y) = -\cosh x \cos y + C\]
(Elde edilen \(f = u + iv\) fonksiyonları sırasıyla \(2z + iz^2 + iC\), \(2z - z^3 + iC\) ve \(-i\cosh z + iC\) biçiminde yazılabilir; \(C\) reel sabittir.)
\(\blacksquare\)
Analitik fonksiyonların katılığı yalnızca bileşenlerinde değil, değerlerinin dağılımında da kendini gösterir: bir analitik fonksiyon, küçücük bir bölgedeki değerleriyle tümüyle belirlenir.