29 Dizilerin ve Serilerin Yakınsaklığı
Analitik fonksiyonların en verimli temsili sonsuz toplamlardır: Taylor ve Laurent serileri, hem hesap yapmayı hem de tekil noktaların yapısını okumayı sağlar. Bu bölümde temeli kuruyoruz — kompleks dizi ve serilerin yakınsaklığı, reel karşılıklarına indirgeme yoluyla.
29.1 Dizilerin Yakınsaklığı
Tanım 29.1 (Dizinin Limiti) Kompleks sayıların sonsuz bir
\[z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_n,\, \dots \tag{1}\]
dizisi, her \(\varepsilon > 0\) için
\[n > n_0 \implies |z_n - z| < \varepsilon \tag{2}\]
sağlayan bir \(n_0\) doğal sayısı varsa \(z\) limitine sahiptir. Geometrik okuma: \(n\)’nin yeterince büyük değerlerinde \(z_n\) noktaları, \(z\)’nin verilen her \(\varepsilon\)-komşuluğunda kalır.
Limit varsa tektir; bu durumda dizinin \(z\)’ye yakınsadığını söyler ve
\[\lim_{n \to \infty} z_n = z \tag{3}\]
yazarız. Limiti olmayan diziye ıraksak denir.
Teorem 29.1 (Bileşenlerle Yakınsaklık) \(z_n = x_n + i y_n\) \((n = 1, 2, \dots)\) ve \(z = x + iy\) olsun. O zaman
\[\lim_{n \to \infty} z_n = z \iff \lim_{n \to \infty} x_n = x \;\text{ ve }\; \lim_{n \to \infty} y_n = y\]
İspat
(\(\Leftarrow\)) Bileşen limitleri var olsun. Verilen \(\varepsilon\) için \(n > n_1\) iken \(|x_n - x| < \varepsilon/2\) ve \(n > n_2\) iken \(|y_n - y| < \varepsilon/2\) sağlayan \(n_1, n_2\) vardır. \(n_0 = \max\{n_1, n_2\}\) alınırsa, üçgen eşitsizliğiyle
\[\big|(x_n + iy_n) - (x + iy)\big| \le |x_n - x| + |y_n - y| < \varepsilon \qquad (n > n_0)\]
(\(\Rightarrow\)) \(|x_n - x| \le |z_n - z|\) ve \(|y_n - y| \le |z_n - z|\) eşitsizlikleri, \(z_n \to z\) iken bileşenlerin de yakınsadığını verir.
\(\blacksquare\)
Teorem, hesabı ikiye böler:
\[\lim_{n \to \infty} \big(x_n + i y_n\big) = \lim_{n \to \infty} x_n + i \lim_{n \to \infty} y_n\]
Örnek 29.1 (Basit Bir Limit) \(z_n = \dfrac{1}{n^3} + i\) dizisi \(i\)’ye yakınsar:
\[\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^3} + i\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3} + i\lim_{n\to\infty} 1 = 0 + i = i\]
Aynı sonuç tanımdan da görülür: \(n > \dfrac{1}{\sqrt[3]{\varepsilon}}\) iken \(|z_n - i| = \dfrac{1}{n^3} < \varepsilon\)’dur.
Bileşen teoremi kartezyen bileşenler içindir; modül ve argümana doğrudan aktarılamaz. Örneğin
\[z_n = -2 + i\,\frac{(-1)^n}{n^2} \qquad (n = 1, 2, \dots)\]
dizisi için teorem \(\lim z_n = -2\) verir. Modüller de sorunsuzdur:
\[\lim_{n \to \infty} r_n = \lim_{n \to \infty}\sqrt{4 + \frac{1}{n^4}} = 2\]
Ama esas argümanlar \(\Theta_n = \operatorname{Arg} z_n\) için
\[\lim_{n \to \infty} \Theta_{2n} = \pi, \qquad \lim_{n \to \infty} \Theta_{2n-1} = -\pi\]
olur: çift ve tek indisli terimler farklı değerlere yaklaşır, dolayısıyla \(\Theta_n\)’nin limiti yoktur. Neden: noktalar negatif reel eksene bir üstten bir alttan yaklaşırken esas argüman \((-\pi, \pi]\) aralığının iki ucu arasında sıçrar.
29.2 Serilerin Yakınsaklığı
Tanım 29.2 (Serinin Toplamı) Kompleks sayıların sonsuz bir
\[\sum_{n=1}^{\infty} z_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n + \cdots \tag{4}\]
serisi, kısmi toplamlar dizisi
\[S_N = \sum_{n=1}^{N} z_n \qquad (N = 1, 2, \dots) \tag{5}\]
\(S\) sayısına yakınsıyorsa, seri \(S\) toplamına yakınsar ve \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} z_n = S\) yazılır. Yakınsamayan seriye ıraksak denir.
Bir dizinin en çok bir limiti olduğundan, bir serinin de en çok bir toplamı vardır.
Teorem 29.2 (Serilerde Bileşen Ayrışımı) \(z_n = x_n + iy_n\) ve \(S = X + iY\) olsun. O zaman
\[\sum_{n=1}^{\infty} z_n = S \iff \sum_{n=1}^{\infty} x_n = X \;\text{ ve }\; \sum_{n=1}^{\infty} y_n = Y\]
İspat
Kısmi toplamlar \(S_N = X_N + iY_N\) biçiminde yazılır; burada \(X_N\) ve \(Y_N\), reel serilerin kısmi toplamlarıdır. \(\sum z_n = S\) eşitliği doğrudur ancak ve ancak \(S_N \to S\) ise; Teorem 29.1 gereği bu da \(X_N \to X\) ve \(Y_N \to Y\) olmasına denktir.
\(\blacksquare\)
Teorem sayesinde kalkülüsten bilinen seri özellikleri kompleks düzleme taşınır. İki tanesi bu kitap boyunca kullanılacaktır.
Teorem 29.3 (Terimler Sıfıra Gider) Kompleks sayıların bir serisi yakınsaksa, \(n \to \infty\) iken \(n\)-inci terim sıfıra gider:
\[\lim_{n \to \infty} z_n = 0\]
İspat
Seri yakınsaksa Teorem 29.2 gereği \(\sum x_n\) ve \(\sum y_n\) reel serileri yakınsaktır; reel analizden bunların terimleri sıfıra gider. Teorem 29.1 ile
\[\lim_{n\to\infty} z_n = \lim_{n\to\infty} x_n + i \lim_{n\to\infty} y_n = 0 + i\cdot 0 = 0\]
\(\blacksquare\)
Buradan doğal bir sonuç çıkar: yakınsak bir serinin terimleri sınırlıdır — her \(n\) için \(|z_n| \le M\) olacak bir \(M\) pozitif sabiti vardır.
Tanım 29.3 (Mutlak Yakınsaklık) \((4)\) serisine, reel terimli
\[\sum_{n=1}^{\infty} |z_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{x_n^2 + y_n^2}\]
serisi yakınsaksa mutlak yakınsak denir.
Teorem 29.4 (Mutlak Yakınsaklık Yakınsaklığı Gerektirir) Bir kompleks serinin mutlak yakınsaklığı, o serinin yakınsaklığını gerektirir.
İspat
\(\sum |z_n|\) yakınsak olsun. Her \(n\) için
\[|x_n| \le \sqrt{x_n^2 + y_n^2}, \qquad |y_n| \le \sqrt{x_n^2 + y_n^2}\]
olduğundan karşılaştırma testiyle \(\sum |x_n|\) ve \(\sum |y_n|\) yakınsaktır. Reel serilerde mutlak yakınsaklık yakınsaklığı gerektirdiğinden \(\sum x_n\) ve \(\sum y_n\) yakınsar; Teorem 29.2 ile \(\sum z_n\) yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
29.3 Kalanlarla Yakınsaklık Ölçütü
Toplamı \(S\) olduğu iddia edilen bir serinin \(N\) terimden sonraki kalanı
\[\rho_N = S - S_N \tag{6}\]
olarak tanımlanır. \(|S_N - S| = |\rho_N - 0|\) olduğundan şu ölçüt doğar:
Bir seri \(S\) sayısına yakınsar ancak ve ancak kalanlar dizisi sıfıra yakınsıyorsa. Kuvvet serileriyle çalışırken toplam formüllerini kanıtlamanın en pratik yolu budur.
\(z_0\) ve \(a_n\) kompleks sabitler olmak üzere
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n \big(z - z_0\big)^n = a_0 + a_1(z - z_0) + a_2 (z - z_0)^2 + \cdots\]
biçimindeki serilere kuvvet serisi denir. Değişken içeren böyle serilerde toplam, kısmi toplam ve kalan sırasıyla \(S(z)\), \(S_N(z)\) ve \(\rho_N(z)\) ile gösterilir.
Örnek 29.2 (Geometrik Seri) \(|z| < 1\) iken
\[\sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1 - z} \tag{7}\]
olduğunu kalanlar yardımıyla gösteriniz.
Çözüm
\(z \neq 1\) için sonlu toplam özdeşliği
\[1 + z + z^2 + \cdots + z^{n} = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}\]
kısmi toplamları verir:
\[S_N(z) = \sum_{n=0}^{N-1} z^n = \frac{1 - z^N}{1 - z}\]
\(S(z) = \dfrac{1}{1-z}\) alındığında kalan
\[\rho_N(z) = S(z) - S_N(z) = \frac{z^N}{1 - z} \qquad (z \neq 1)\]
olur ve
\[\big|\rho_N(z)\big| = \frac{|z|^N}{|1 - z|}\]
\(|z| < 1\) iken \(|z|^N \to 0\) olduğundan kalanlar sıfıra gider ve toplam formülü \((7)\) sağlanır. \(|z| \ge 1\) durumunda ise \(|z|^N\) sıfıra gitmez; seri ıraksaktır.
\(\blacksquare\)
29.4 Alıştırma
Alıştırma 29.1 (Dizi ve Seri Alıştırmaları)
\(z_n = \dfrac{(-1)^n}{n} + 2i\) dizisinin limitini bulunuz.
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{n^2}\) serisinin mutlak yakınsak olduğunu gösteriniz.
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{2^n}\) serisinin yakınsak olup olmadığını, geometrik seri ölçütüyle inceleyiniz.
Çözüm
a) Bir kompleks dizinin yakınsaması, reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı yakınsamasıyla eşdeğerdir. Burada
\[x_n = \frac{(-1)^n}{n}, \qquad y_n = 2\]
Reel kısım işaret değiştirse de modülü \(1/n \to 0\) olduğundan \(x_n \to 0\)’dır; sanal kısım zaten sabittir. Dolayısıyla
\[\lim_{n \to \infty} z_n = 0 + 2i = 2i\]
b) Mutlak yakınsaklık, terimlerin modüllerinden oluşan reel serinin yakınsamasıdır:
\[\left|\frac{i^n}{n^2}\right| = \frac{|i|^n}{n^2} = \frac{1}{n^2}\]
çünkü \(|i| = 1\)’dir. Sağdaki \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) serisi, \(p = 2 > 1\) olan bir \(p\)-serisidir ve yakınsaktır. Demek ki verilen seri mutlak yakınsaktır — ve mutlak yakınsaklık yakınsaklığı gerektirdiğinden serinin kendisi de yakınsar.
c) Seriyi geometrik biçime sokalım:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n, \qquad q = \frac{1+i}{2}\]
Ortak çarpanın modülü
\[|q| = \frac{|1+i|}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 < 1\]
olduğundan seri yakınsaktır. Geometrik serinin toplam formülüyle
\[\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \dfrac{1+i}{2}} = \frac{2}{2 - 1 - i} = \frac{2}{1 - i}\]
Paydayı eşleniğiyle genişletelim:
\[\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2(1+i)}{2} = 1 + i\]
\(\blacksquare\)
Seriler dili kuruldu; şimdi asıl teoreme geçiyoruz: analitik her fonksiyon, analitik olduğu her diskte bir kuvvet serisine açılır — Taylor serileri.