2 Vektörler, Modül ve Eşlenik
Bir kompleks sayı yalnızca bir nokta değil, aynı zamanda başlangıç noktasından o noktaya çizilen bir vektördür. Bu ikinci bakış, toplama işlemine paralelkenar kuralını, modüle uzaklık anlamını ve üçgen eşitsizliğini kazandırır.
2.1 Vektör Yorumu
\(z = x + iy\) sayısı, bileşenleri \(x\) ve \(y\) olan konum vektörü gibi düşünülebilir. \(z_1 + z_2\) toplamının bileşenleri, vektör toplamının bileşenleriyle aynıdır; dolayısıyla kompleks toplama, paralelkenar kuralıyla yapılan vektör toplamasıdır. Çarpım \(z_1 z_2\) ise ne noktaların ne de vektörlerin bilinen bir çarpımına karşılık gelir; onun geometrik anlamı üstel formda ortaya çıkacaktır.
2.2 Modül
Tanım 2.1 (Modül) \(z = x + iy\) sayısının modülü (mutlak değeri), \(z\) vektörünün boyudur:
\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
Tanımdan iki kullanışlı gözlem hemen çıkar:
\[|z|^2 = (\operatorname{Re} z)^2 + (\operatorname{Im} z)^2, \qquad \operatorname{Re} z \le |\operatorname{Re} z| \le |z|, \qquad \operatorname{Im} z \le |\operatorname{Im} z| \le |z|\]
Modül, reel sayılardaki mutlak değerin genişlemesidir ve sıralamayı değil, yalnızca büyüklüğü ölçer: \(z_1 < z_2\) yazmak kompleks sayılar için anlamsızdır; \(|z_1| < |z_2|\) ise anlamlıdır ve \(z_1\)’in başlangıç noktasına daha yakın olduğunu söyler.
Örnek 2.1 (Hangisi Daha Yakın?) \(-3 + 2i\) ve \(1 + 4i\) noktalarından hangisi başlangıç noktasına daha yakındır?
Çözüm
\[|-3 + 2i| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}, \qquad |1 + 4i| = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\]
\(\sqrt{13} < \sqrt{17}\) olduğundan \(-3 + 2i\) daha yakındır.
\(\blacksquare\)
\(z_1 - z_2\) farkı, \(z_2\)’den \(z_1\)’e giden vektördür; dolayısıyla
\[|z_1 - z_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\]
sayısı iki nokta arasındaki uzaklıktır. Bu yorumla,
\[|z - z_0| = R\]
denklemi, merkezi \(z_0\) ve yarıçapı \(R\) olan çemberi temsil eder.
Örnek 2.2 (Çember Denklemi) \(|z - 1 + 3i| = 2\) denklemi hangi kümeyi temsil eder?
Çözüm
Denklemi \(|z - (1 - 3i)| = 2\) olarak okuyalım: merkezi \(z_0 = 1 - 3i\), yani \((1, -3)\) noktası olan, \(2\) yarıçaplı çemberdir.
\(\blacksquare\)
2.3 Üçgen Eşitsizliği
Teorem 2.1 (Üçgen Eşitsizliği) Her \(z_1, z_2\) için
\[|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\]
Ayrıca ters yönlü kestirim geçerlidir:
\[|z_1 + z_2| \ge \big||z_1| - |z_2|\big|\]
Birinci eşitsizlik geometrik olarak açıktır: bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından uzun olamaz. İkincisi birincisinden çıkar: \(|z_1| = |(z_1 + z_2) + (-z_2)| \le |z_1 + z_2| + |z_2|\) yazıp düzenlemek, ardından \(z_1\) ile \(z_2\)’nin rollerini değiştirmek yeterlidir. \(z_2\) yerine \(-z_2\) konursa aynı çift, farklar için de kestirim verir:
\[\big||z_1| - |z_2|\big| \le |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2|\]
Toplamın üçgen eşitsizliği, tümevarımla sonlu toplamlara genişler:
\[|z_1 + z_2 + \cdots + z_n| \le |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_n|\]
Örnek 2.3 (Çember Üzerinde Kestirim) \(z\), birim çember \(|z| = 1\) üzerinde dolaşsın. \(|z - 2|\) ifadesi için alt ve üst sınır bulunuz.
Çözüm
Üçgen eşitsizliğinin iki yönü doğrudan uygulanır:
\[|z - 2| \le |z| + 2 = 3, \qquad |z - 2| \ge \big||z| - 2\big| = 1\]
Geometrik doğrulama: birim çemberin \(2\) noktasına en yakın noktası \(z = 1\) (uzaklık \(1\)), en uzak noktası \(z = -1\)’dir (uzaklık \(3\)).
\(\blacksquare\)
2.4 Kompleks Eşlenik
Tanım 2.2 (Eşlenik) \(z = x + iy\) sayısının kompleks eşleniği, \(z\)’nin reel eksene göre yansımasıdır:
\[\bar{z} = x - iy\]
Temel özellikler tanımdan hemen doğrulanır:
\[\bar{\bar{z}} = z, \qquad |\bar{z}| = |z|\]
\[\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2, \qquad \overline{z_1 - z_2} = \bar{z}_1 - \bar{z}_2, \qquad \overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2, \qquad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}\]
Reel ve sanal kısımlar eşlenik cinsinden yazılabilir:
\[\operatorname{Re} z = \frac{z + \bar{z}}{2}, \qquad \operatorname{Im} z = \frac{z - \bar{z}}{2i}\]
En önemli özdeşlik, modülle eşleniği birbirine bağlar:
\[z \bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 = |z|^2\]
\(z\bar{z} = |z|^2\) özdeşliği, önceki bölümdeki bölme tekniğinin açıklamasıdır: pay ve paydayı \(\bar{z}_2\) ile çarpmak, paydayı \(|z_2|^2\) reel sayısına dönüştürür:
\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z}_2}{|z_2|^2}\]
Örnek 2.4 (Eşlenikle Bölme) \(\dfrac{-1 + 3i}{2 - i}\) bölümünü hesaplayınız.
Çözüm
\[\frac{-1 + 3i}{2 - i} = \frac{(-1 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-2 - i + 6i + 3i^2}{5} = \frac{-5 + 5i}{5} = -1 + i\]
\(\blacksquare\)
2.5 Çarpımın ve Bölümün Modülü
\(z \bar z = |z|^2\) özdeşliği, modülün çarpımla uyumunu zahmetsizce verir:
\[|z_1 z_2|^2 = (z_1 z_2)\overline{(z_1 z_2)} = (z_1 \bar{z}_1)(z_2 \bar{z}_2) = |z_1|^2 |z_2|^2\]
Kareköklerin alınmasıyla (\(|z| \ge 0\) olduğundan):
\[|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|, \qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad (z_2 \neq 0)\]
Örnek 2.5 (Polinom Modülü İçin Üst Sınır) \(|z| < 2\) bölgesindeki her \(z\) için \(\big|z^3 + 3z^2 - 2z + 1\big| < 25\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Üçgen eşitsizliği ve \(|z^n| = |z|^n\) özelliğiyle:
\[\big|z^3 + 3z^2 - 2z + 1\big| \le |z|^3 + 3|z|^2 + 2|z| + 1 < 8 + 12 + 4 + 1 = 25\]
\(\blacksquare\)
Bu tür kestirimler ileride sık karşımıza çıkacak: çevre integrallerinin modüllerini sınırlarken aynı teknik kullanılır.
2.6 Alıştırma
Alıştırma 2.1 (Modül ve Eşlenik)
\(\overline{(2 + i)^2}\) sayısını hesaplayınız.
\(z\), \(|z| = 2\) çemberi üzerindeyken \(\left|\dfrac{1}{z^4 - 4z^2 + 3}\right| \le \dfrac{1}{3}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Eşlenik alma çarpımla değişebilir; önce kareyi açmak da aynı sonucu verir:
\[(2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i \quad \Longrightarrow \quad \overline{(2+i)^2} = 3 - 4i\]
Kontrol olarak \(\overline{(2+i)^2} = \big(\overline{2+i}\big)^2 = (2 - i)^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i\).
b) Paydayı çarpanlarına ayıralım:
\[z^4 - 4z^2 + 3 = \big(z^2 - 1\big)\big(z^2 - 3\big)\]
Her iki çarpanı ters üçgen eşitsizliğiyle alttan sınırlayalım. \(|z| = 2\), yani \(|z^2| = 4\) olduğundan
\[\big|z^2 - 1\big| \ge \big|z^2\big| - 1 = 3, \qquad \big|z^2 - 3\big| \ge \big|z^2\big| - 3 = 1\]
Modül çarpımsal olduğundan
\[\big|z^4 - 4z^2 + 3\big| = \big|z^2 - 1\big|\,\big|z^2 - 3\big| \ge 3 \cdot 1 = 3\]
Payda sıfırdan farklı ve modülü en az \(3\) olduğuna göre
\[\left|\frac{1}{z^4 - 4z^2 + 3}\right| = \frac{1}{\big|z^4 - 4z^2 + 3\big|} \le \frac{1}{3}\]
\(\blacksquare\)
Sırada, çarpmanın geometrisini görünür kılan gösterim var: kutupsal ve üstel form.