3 Kutupsal ve Üstel Form

Kartezyen gösterim toplama için biçilmiş kaftandır; çarpmanın geometrisi ise kutupsal koordinatlarda görünür hâle gelir: modüller çarpılır, açılar toplanır. Bu bölümün amacı bu ilkeyi kesin biçime kavuşturmaktır. Yolun başında, “bir noktanın açısı” deyiminin sanıldığından daha ince bir kavram olduğunu göreceğiz.

3.1 Kutupsal Form ve Argüman

Sıfırdan farklı \(z = x + iy\) sayısının noktası, kutupsal koordinatlarla \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\) olarak yazılsın. O zaman

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\]

Burada \(r = |z|\) modüldür; \(\theta\) ise pozitif reel eksenden \(z\) vektörüne, saat yönünün tersi pozitif sayılarak ölçülen yönlü açıdır. Bu kitapta tüm açılar radyan cinsindendir.

Kutupsal gösterimin iki verisi: r, vektörün boyu (modül); θ, pozitif reel eksenden vektöre saat yönünün tersine ölçülen açı (argüman). Bileşenler x = r cos θ, y = r sin θ ile geri gelir.

Bir Noktanın Kaç Açısı Vardır?

\(r\) tek biçimde belirlidir; \(\theta\) ise değildir. \(z = -1 - i\) noktasına pozitif reel eksenden başlayıp saat yönünde \(3\pi/4\) dönerek varılır; saat yönünün tersine \(5\pi/4\) dönerek de, saat yönünde bir tam tur fazlasıyla \(3\pi/4 + 2\pi = 11\pi/4\) dönerek de varılır. Sebep basittir: \(\cos\) ve \(\sin\) fonksiyonlarının periyodu \(2\pi\) olduğundan, \(x = r\cos\theta\) ve \(y = r\sin\theta\) eşitlikleri bir \(\theta\) için sağlanıyorsa \(\theta + 2\pi\), \(\theta - 2\pi\) ve genel olarak \(\theta + 2n\pi\) için de sağlanır. “Noktanın açısı” tek bir sayı değil, \(2\pi\) aralıklarla dizilmiş sonsuz bir sayı ailesidir.

Aynı z noktasına pozitif reel eksenden başlayarak sonsuz çoklukta açıyla varılır: saat yönünde −3π/4, saat yönünün tersine tam bir tur fazlasıyla 5π/4, ya da saat yönünde bir tur fazlasıyla −11π/4. Küçük harfli arg z bu açıların tümünün kümesidir; büyük harfli Arg z içlerinden (−π, π] aralığına düşen tek değeri seçer.

Bu belirsizlik bir kusur değil, kompleks analizin karakteridir: logaritmanın çok değerliliği, dal kesimleri, köklerin çokluğu — hepsi buradan doğar. Belirsizlikle başa çıkmanın yolu, iki ayrı nesneye iki ayrı ad vermektir: açıların kümesi ve o kümeden anlaşmayla seçilen tek temsilci.

Tanım 3.1 (Argüman ve Esas Argüman) \(z = x + iy \neq 0\) ve \(r = |z|\) olsun.

(i) Argüman. \(x = r\cos\theta\) ve \(y = r\sin\theta\) eşitliklerini birlikte sağlayan her reel \(\theta\) sayısına \(z\)’nin bir argümanı denir.

(ii) Argüman kümesi. \(z\)’nin tüm argümanlarının kümesi, küçük harfle, \(\arg z\) ile gösterilir. \(\theta_0\) bir argümansa

\[\arg z = \{\theta_0 + 2n\pi : n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\}\]

(iii) Esas argüman. \(\arg z\) kümesinin \(-\pi < \theta \le \pi\) aralığına düşen tek elemanına \(z\)’nin esas argümanı denir ve büyük harfle, \(\operatorname{Arg} z\) ile gösterilir. Bu kitap boyunca \(\Theta\) harfi esas argüman için ayrılmıştır: \(\Theta = \operatorname{Arg} z\). Böylece

\[\arg z = \{\operatorname{Arg} z + 2n\pi : n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\}, \qquad -\pi < \operatorname{Arg} z \le \pi\]

\(z = 0\) için \(r = 0\) olduğundan her \(\theta\) (i)’yi sağlar; tek bir açı seçmenin anlamı yoktur. Bu yüzden \(\arg 0\) ve \(\operatorname{Arg} 0\) tanımsız bırakılır.

Tanımdaki iki iddia kısa birer gerekçe hak eder.

(ii)’de “başka argüman yoktur”: \(\theta\) ve \(\theta_0\) ikisi de argümansa \(\cos\theta = \cos\theta_0 = x/r\) ve \(\sin\theta = \sin\theta_0 = y/r\); dolayısıyla \(\cos(\theta - \theta_0) = \cos\theta\cos\theta_0 + \sin\theta\sin\theta_0 = (x^2 + y^2)/r^2 = 1\), yani \(\theta - \theta_0\), \(2\pi\)’nin bir tam katıdır.
(iii)’te “tek eleman”: \(\arg z\), ardışık elemanları tam \(2\pi\) aralıklı bir kümedir; uzunluğu \(2\pi\) olan yarı açık \((-\pi, \pi]\) aralığı böyle bir kümeden tam bir eleman yakalar. Aralık iki ucundan kapalı olsaydı negatif reel eksen üzerindeki sayılar için \(-\pi\) ve \(\pi\) ikisi birden girerdi; iki ucundan açık olsaydı bu sayılar temsilcisiz kalırdı. Yarı açıklık tesadüf değildir.

arg(−1 − i) kümesi sayı doğrusunda: 2π aralıklı sonsuz nokta. Uzunluğu 2π olan (−π, π] penceresi bu noktalardan tam birini yakalar; yakalanan nokta Arg z'dir. Pencerenin sol ucu açık (−π dışarıda), sağ ucu kapalıdır (π içeride).

Küçük harf küme, büyük harf sayı

\(\arg z\) sonsuz elemanlı bir kümedir; \(\operatorname{Arg} z\) tek bir reel sayıdır ve \(\operatorname{Arg} z \in \arg z\).
Doğru yazım \(\theta \in \arg z\) biçimindedir: örneğin \(5\pi/4 \in \arg(-1 - i)\). Birçok kitaptaki “\(\arg z = 5\pi/4\)” ifadesi, “\(5\pi/4\), \(z\)’nin bir argümanıdır” cümlesinin kısaltmasıdır; “\(\arg z = \operatorname{Arg} z + 2n\pi\)” yazımı da kümenin tamamının kısaltmasıdır.
\(5\pi/4\) ile \(-3\pi/4\) arasında “doğru–yanlış” ilişkisi yoktur; ikisi de \(-1 - i\)’nin argümanıdır. Yalnızca ikincisi esas argümandır.
\((-\pi, \pi]\) bir uzlaşımdır: bazı kaynaklar ve hesap makineleri \([0, 2\pi)\) kullanır. Bu kitap baştan sona \((-\pi, \pi]\) kullanır; logaritmanın esas dalı bu seçime dayanacaktır.
Esas argüman yalnızca yöne bağlıdır: \(t > 0\) reel sayısı için \(\operatorname{Arg}(tz) = \operatorname{Arg} z\).

Esas Argümanın Hesaplanması

Elimizde \(x\) ve \(y\) varken \(\operatorname{Arg} z\) nasıl bulunur? İlk akla gelen, \(\tan\theta = y/x\) eşitliğini çözmektir; ama bu tek başına yetmez. Eksiksiz kural şudur.

Teorem 3.1 (Esas Argümanın Hesaplanması) \(\arctan\), değerleri \((-\pi/2, \pi/2)\) aralığında olan reel arktanjant fonksiyonu olmak üzere \(z = x + iy \neq 0\) için

\[\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan\dfrac{y}{x}, & x > 0 \\[6pt] \arctan\dfrac{y}{x} + \pi, & x < 0,\; y \ge 0 \\[6pt] \arctan\dfrac{y}{x} - \pi, & x < 0,\; y < 0 \\[6pt] \dfrac{\pi}{2}, & x = 0,\; y > 0 \\[6pt] -\dfrac{\pi}{2}, & x = 0,\; y < 0 \end{cases}\]

İspat

\(\Theta = \operatorname{Arg} z\) olsun; tanım gereği \(\cos\Theta = x/r\) ve \(\sin\Theta = y/r\).

\(x > 0\) ise \(\cos\Theta > 0\), dolayısıyla \(\Theta \in (-\pi/2, \pi/2)\). Bu aralıkta \(\tan\) birebirdir ve \(\tan\Theta = y/x\) olduğundan \(\Theta = \arctan(y/x)\).

\(x < 0\) ve \(y \ge 0\) ise \(\cos\Theta < 0\) ve \(\sin\Theta \ge 0\); yani \(\Theta \in [\pi/2, \pi]\). O hâlde \(\Theta - \pi \in [-\pi/2, 0]\) ve \(\tan(\Theta - \pi) = \tan\Theta = y/x\); dolayısıyla \(\Theta - \pi = \arctan(y/x)\). (\(y = 0\) için sonuç \(\arctan 0 + \pi = \pi\): negatif reel eksen \(\pi\)’ye düşer, \(-\pi\)’ye değil.)

\(x < 0\) ve \(y < 0\) ise \(\Theta \in (-\pi, -\pi/2)\); aynı akıl yürütme \(\Theta + \pi \in (0, \pi/2)\) için yapılır.

\(x = 0\) ise \(\cos\Theta = 0\); \((-\pi, \pi]\) aralığında kosinüsün sıfırları yalnızca \(\pm\pi/2\)’dir ve \(\sin\Theta = y/r\)’nin işareti hangisi olduğunu söyler.

\(\blacksquare\)

Neden \(\arctan(y/x)\) tek başına yetmez? Üç nedenle:

Bilgi kaybı. \(\tan\)’ın periyodu \(\pi\)’dir, \(2\pi\) değil. \(z\) ile \(-z\) aynı \(y/x\) oranını verir — \(1 + i\) ve \(-1 - i\) için \(y/x = 1\) — oysa esas argümanları \(\pi/4\) ve \(-3\pi/4\)’tür. Oran alınırken \(x\) ve \(y\)’nin işaretleri, yani hangi çeyrekte olduğumuz bilgisi silinir.
Değer aralığı. \(\arctan\) yalnızca \((-\pi/2, \pi/2)\) değerlerini üretir; bu tam olarak sağ yarı düzlemin (\(x > 0\)) esas argümanlarıdır. Sol yarı düzlemde sonuç tam \(\pi\) kadar şaşar; düzeltmenin işareti (\(+\pi\) mi, \(-\pi\) mi) sonucun \((-\pi, \pi]\) aralığına düşme zorunluluğuyla belirlenir.
\(x = 0\) durumu. \(y/x\) tanımsızdır, ama \(\operatorname{Arg}(iy) = \pm\pi/2\) gayet tanımlıdır.

1 + i ve −1 − i için y/x oranı aynıdır (1); arctan(y/x) ikisine de π/4 der, çünkü hangi çeyrekte olduğunu bilmez. atan2(y, x) işaretleri ayrı ayrı okur ve köşelerdeki düzeltmeyi kendisi yapar; sonucu her zaman (−π, π] aralığındadır, yani tam olarak Arg z'dir.

Bölge	İşaretler	\(\operatorname{Arg} z\)	Değer aralığı
I. çeyrek	\(x > 0,\; y > 0\)	\(\arctan(y/x)\)	\((0, \pi/2)\)
II. çeyrek	\(x < 0,\; y > 0\)	\(\arctan(y/x) + \pi\)	\((\pi/2, \pi)\)
III. çeyrek	\(x < 0,\; y < 0\)	\(\arctan(y/x) - \pi\)	\((-\pi, -\pi/2)\)
IV. çeyrek	\(x > 0,\; y < 0\)	\(\arctan(y/x)\)	\((-\pi/2, 0)\)
pozitif reel eksen	\(x > 0,\; y = 0\)	\(0\)
pozitif sanal eksen	\(x = 0,\; y > 0\)	\(\pi/2\)
negatif reel eksen	\(x < 0,\; y = 0\)	\(\pi\)
negatif sanal eksen	\(x = 0,\; y < 0\)	\(-\pi/2\)

Bilgisayarda esas argüman: atan2

Teoremdeki parçalı ifade, programlama dillerindeki atan2 fonksiyonunun ta kendisidir:

\[\operatorname{Arg}(x + iy) = \operatorname{atan2}(y, x)\]

atan2 iki girdiyi ayrı ayrı alır — girdi sırası \((y, x)\)’tir, önce sanal kısım — ve tam da bu sayede işaret bilgisini korur: çeyrek düzeltmesini kendisi yapar ve her zaman \((-\pi, \pi]\) aralığında, radyan cinsinden bir değer döndürür. Yani \(\operatorname{atan2}\), \(\arctan\)’ın çeyrekleri bilen sürümüdür.

Python: math.atan2(y, x) ya da doğrudan cmath.phase(z); NumPy: np.angle(z).
C, C++, Java, JavaScript, MATLAB: atan2(y, x). Excel’de sıra terstir: ATAN2(x; y).
\(\operatorname{atan2}(0, 0)\) makinede \(0\) döndürür; bu bir programlama uzlaşımıdır, matematikte \(\operatorname{Arg} 0\) tanımsızdır.

Örneğin math.atan2(-1, -1) çağrısı \(-2{,}356\ldots = -3\pi/4\) verir — \(\operatorname{Arg}(-1 - i)\)’nin ta kendisi.

Örnek 3.1 (Esas Argümanın Bulunması) \(z = -1 - i\) için \(\operatorname{Arg} z\) değerini ve \(\arg z\) kümesini bulunuz.

Çözüm

\(r = \sqrt{2}\); \(x = -1 < 0\) ve \(y = -1 < 0\) olduğundan teoremin üçüncü durumu geçerlidir:

\[\operatorname{Arg}(-1 - i) = \arctan\frac{-1}{-1} - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}\]

Sağlama: \(\sqrt{2}\cos(-3\pi/4) = -1\) ve \(\sqrt{2}\sin(-3\pi/4) = -1\); iki eşitlik de tutuyor. Argüman kümesi

\[\arg(-1 - i) = \left\{-\frac{3\pi}{4} + 2n\pi : n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\right\} = \left\{\dots,\; -\frac{11\pi}{4},\; -\frac{3\pi}{4},\; \frac{5\pi}{4},\; \frac{13\pi}{4},\; \dots\right\}\]

Şekilden “bariz” görünen \(5\pi/4\) (\(225^\circ\)) de bir argümandır (\(n = 1\)); yanlış değildir, yalnızca esas olmayan bir temsilcidir. Sık yapılan hata, \(\arctan(y/x) = \pi/4\) değerini doğrudan almaktır: \(\pi/4\), \(1 + i\)’nin esas argümanıdır, \(-1 - i\)’nin değil — iki nokta aynı doğru üzerindedir ama başlangıçtan çıkan zıt ışınlardadır.

\(\blacksquare\)

Örnek 3.2 (Aynı Oran, Dört Farklı Açı) \(1 + i\), \(-1 + i\), \(-1 - i\), \(1 - i\) noktalarının ve \(-2\), \(-3i\), \(5\) sayılarının esas argümanlarını bulunuz.

Çözüm

Dört köşe noktasında \(|y/x| = 1\)’dir, ama çeyrekler farklıdır:

\[\operatorname{Arg}(1 + i) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}, \qquad \operatorname{Arg}(-1 + i) = \arctan(-1) + \pi = \frac{3\pi}{4}\]

\[\operatorname{Arg}(-1 - i) = \arctan 1 - \pi = -\frac{3\pi}{4}, \qquad \operatorname{Arg}(1 - i) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}\]

Eksen üzerindekiler için tabloya bakmak yeterlidir: \(\operatorname{Arg}(-2) = \pi\) (\(-\pi\) değil!), \(\operatorname{Arg}(-3i) = -\pi/2\), \(\operatorname{Arg} 5 = 0\).

\(\blacksquare\)

Esas argüman süreksizdir

\(\varepsilon \to 0^+\) için \(\operatorname{Arg}(-1 + i\varepsilon) \to \pi\), ama \(\operatorname{Arg}(-1 - i\varepsilon) \to -\pi\): negatif reel eksenden geçerken esas argüman \(2\pi\) kadar sıçrar. \(\operatorname{Arg}\), negatif reel ekseni ve başlangıç noktası çıkarılmış düzlemde süreklidir; negatif reel eksenin her noktasında süreksizdir. Bu “kesik”, ileride logaritmanın esas dalının dal kesimi olarak yeniden karşımıza çıkacaktır.

Esas argümanın kuralı: üst yarı düzlemde 0 ile π arası, alt yarı düzlemde 0 ile −π arası ölç. Negatif reel eksende iki ölçüm karşılaşır ve π seçilir (−π hiç kullanılmaz); ekseni yukarıdan aşağıya geçerken Arg z aniden 2π düşer. Bu eksen, Arg'ın süreksiz olduğu tek yerdir.

3.2 Euler Formülü ve Üstel Form

Tanım 3.2 (Euler Formülü) Her reel \(\theta\) için \(e^{i\theta}\) sembolü

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

olarak tanımlanır. Bu tanımla kutupsal form, kompakt üstel forma dönüşür:

\[z = re^{i\theta}, \qquad r = |z|, \quad \theta \in \arg z\]

Buradaki \(\theta \in \arg z\) yazımına dikkat: üstel formda \(\theta\) olarak \(z\)’nin herhangi bir argümanı kullanılabilir; esas argümanı seçmek zorunlu değildir.

Örnek 3.3 (Üstel Forma Geçiş) \(-1 - i\) sayısını üstel formda yazınız.

Çözüm

\(r = \sqrt{2}\) ve \(\operatorname{Arg} z = -3\pi/4\) olduğundan

\[-1 - i = \sqrt{2}\, e^{-i3\pi/4}\]

Argümanın tüm değerleri istenirse:

\[-1 - i = \sqrt{2}\, \exp\!\left[i\left(-\frac{3\pi}{4} + 2n\pi\right)\right] \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]

\(\blacksquare\)

Bazı özel değerler ezber hâline gelecek kadar sık kullanılır:

\[e^{i\pi} = -1, \qquad e^{-i\pi/2} = -i, \qquad e^{i2n\pi} = 1\]

\(|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1\) olduğundan \(e^{i\theta}\), birim çember üzerinde açısı \(\theta\) olan noktadır. Bu gözlem çemberlere doğal parametrizasyon sağlar:

\[z = Re^{i\theta} \;\; (0 \le \theta \le 2\pi) \quad \text{ve} \quad z = z_0 + Re^{i\theta} \;\; (0 \le \theta \le 2\pi)\]

eğrileri sırasıyla başlangıç merkezli ve \(z_0\) merkezli \(R\) yarıçaplı çemberlerdir.

3.3 Üstel Formda Çarpım ve Bölüm

Trigonometrik toplam formülleri, üstel gösterimde tek satıra iner:

\[e^{i\theta_1} e^{i\theta_2} = (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = \cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\]

Buradan \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\) ve \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\) için:

\[z_1 z_2 = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\, e^{i(\theta_1 - \theta_2)}, \qquad z^{-1} = \frac{1}{r}e^{-i\theta}\]

Çarpmanın geometrik anlamı artık açıktır: \(z_1\) ile çarpmak, düzlemi \(|z_1|\) oranında ölçekleyip \(\arg z_1\) kadar döndürür.

Çarpımda modüller çarpılır, açılar toplanır: 1,6 · 1,25 = 2 ve π/6 + π/3 = π/2. z₁ ile çarpmak, düzlemi |z₁| oranında ölçekleyip arg z₁ kadar döndürmektir.

3.4 Kuvvetler ve de Moivre Formülü

Teorem 3.2 (Üstel Formda Kuvvetler) \(z = re^{i\theta} \neq 0\) ve \(n\) herhangi bir tam sayı olmak üzere

\[z^n = r^n e^{in\theta}\]

İspat

\(n \ge 1\) için tümevarım: \(n = 1\) açıktır; \(z^{n} = z^{n-1} z = \big(r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}\big)\big(re^{i\theta}\big) = r^n e^{in\theta}\). \(n = 0\) için iki taraf da \(1\)’dir. \(n = -m < 0\) için \(z^n = (z^{-1})^m\) yazılır ve \(z^{-1} = r^{-1}e^{-i\theta}\) için pozitif kuvvet sonucu uygulanır.

\(\blacksquare\)

Örnek 3.4 (Yüksek Kuvvet Hesabı) \((\sqrt{3} + i)^7\) sayısını \(x + iy\) biçiminde yazınız.

Çözüm

\(|\sqrt{3} + i| = 2\) ve \(\operatorname{Arg}(\sqrt{3} + i) = \pi/6\); dolayısıyla

\[(\sqrt{3} + i)^7 = 2^7 e^{i7\pi/6} = \big(2^6 e^{i\pi}\big)\big(2 e^{i\pi/6}\big) = -64\big(\sqrt{3} + i\big)\]

\(\blacksquare\)

\(r = 1\) alınırsa kuvvet formülü de Moivre formülünü verir:

\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]

Örnek 3.5 (de Moivre ile Kat Açı Formülleri) \(n = 2\) için de Moivre formülünden kat açı özdeşliklerini türetiniz.

Çözüm

\[(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta + i\,2\sin\theta\cos\theta = \cos 2\theta + i \sin 2\theta\]

Reel ve sanal kısımların eşitlenmesiyle:

\[\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta, \qquad \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\]

\(\blacksquare\)

3.5 Çarpımların ve Bölümlerin Argümanları

Çarpım kuralı \(e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}\), argüman kümeleri için bir özdeşliğe dönüşür:

\[\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2, \qquad \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2\]

Bu eşitlikler küme eşitliği olarak okunmalıdır: soldaki kümenin her elemanı, sağdaki toplamın uygun temsilcileriyle elde edilir ve tersi de geçerlidir.

Esas argüman toplamsal değildir

Tanımdaki küme–sayı ayrımının ilk somut sonucu budur: aynı özdeşlik \(\operatorname{Arg}\) için genelde yanlıştır. Örneğin \(z_1 = -1\), \(z_2 = i\) alınırsa

\[\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(-i) = -\frac{\pi}{2}, \qquad \operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2 = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\]

İki değer eşit değildir; ama \(2\pi\) farkla aynı argüman kümesindedirler: \(-\pi/2 + 2\pi = 3\pi/2\). Çok değerli \(\arg\) ile yazılan özdeşlik bozulmaz. Genel kural: \(\operatorname{Arg}(z_1 z_2)\), \(\operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2\) toplamının \((-\pi, \pi]\) aralığına indirgenmiş hâlidir; gerekirse \(2\pi\) eklenir ya da çıkarılır.

−1'in açısı π, üstüne i'nin π/2'si eklenince toplam 3π/2 olur ve ok alt yarı düzleme, −i noktasına varır. Ama −i'nin esas argümanı 3π/2 değil, −π/2'dir: toplam (−π, π] aralığından taşmış ve 2π geri sarılmıştır. Küme olarak arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂ eşitliği yine de bozulmaz.

Örnek 3.6 (Bölümün Esas Argümanı) \(z = \dfrac{-2}{1 + \sqrt{3}\,i}\) için \(\operatorname{Arg} z\) değerini bulunuz.

Çözüm

Argüman özdeşliğiyle bir argüman değeri bulalım (\(\ni\) işareti “sağdaki sayı soldaki kümenin elemanıdır” demektir):

\[\arg z \ni \operatorname{Arg}(-2) - \operatorname{Arg}\big(1 + \sqrt{3}\,i\big) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\]

\(2\pi/3\) değeri \((-\pi, \pi]\) aralığındadır; dolayısıyla doğrudan esas argümandır:

\[\operatorname{Arg} z = \frac{2\pi}{3}\]

Kontrol: \(z = \dfrac{-2(1 - \sqrt{3}\,i)}{4} = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}\) ikinci çeyrektedir ve modülü \(1\)’dir; açısı gerçekten \(2\pi/3\)’tür.

\(\blacksquare\)

3.6 Alıştırma

Alıştırma 3.1 (Üstel Form Uygulamaları)

\(\big(1 + \sqrt{3}\,i\big)^{-10}\) sayısını \(x + iy\) biçiminde yazınız.
\(|z_1| = |z_2|\) olsa bile \(\operatorname{Arg}(z_1 z_2) \neq \operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2\) olabileceğine bir örnek veriniz.
\(-3 + 4i\) ve \(3 - 4i\) sayılarının esas argümanlarını üç ondalık basamakla bulunuz.

Çözüm

a) Önce tabanı üstel forma çevirelim: \(\big|1 + \sqrt{3}\,i\big| = \sqrt{1 + 3} = 2\) ve nokta birinci çeyrekte, \(\tan\theta = \sqrt{3}\) olduğundan \(\operatorname{Arg}\big(1+\sqrt{3}\,i\big) = \pi/3\):

\[1 + \sqrt{3}\,i = 2e^{i\pi/3}\]

Kuvvet kuralı negatif tam sayılar için de geçerliydi:

\[\big(1 + \sqrt{3}\,i\big)^{-10} = 2^{-10}\,e^{-i10\pi/3}\]

Açıyı esas aralığa indirgeyelim; \(2\pi\)’nin katlarını eklemek argümanı değiştirmez:

\[-\frac{10\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi}{3} \quad \Longrightarrow \quad \big(1 + \sqrt{3}\,i\big)^{-10} = 2^{-10}\,e^{i2\pi/3}\]

Son olarak \(e^{i2\pi/3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) yazılırsa

\[\big(1 + \sqrt{3}\,i\big)^{-10} = 2^{-10}\cdot\frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2} = 2^{-11}\big(-1 + \sqrt{3}\,i\big)\]

b) \(z_1 = z_2 = -1\) alalım; modüller eşittir: \(|z_1| = |z_2| = 1\). Bir yanda

\[\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(1) = 0\]

öte yanda

\[\operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2 = \pi + \pi = 2\pi\]

İki değer eşit değildir. Eşitliğin bozulması bir çelişki doğurmaz: \(0\) ile \(2\pi\), \(2\pi\) farkla aynı argüman kümesindedir; çok değerli \(\arg\) ile yazılan özdeşlik ayaktadır. Bozulan yalnızca esas argümanın \((-\pi, \pi]\) aralığına zorlanmasıdır.

c) \(\arctan(4/3) \approx 0{,}927\) değerini aklımızda tutalım. \(-3 + 4i\) ikinci çeyrektedir (\(x < 0\), \(y > 0\)), dolayısıyla

\[\operatorname{Arg}(-3 + 4i) = \arctan\frac{4}{-3} + \pi = -0{,}927 + 3{,}142 = 2{,}214\]

\(3 - 4i\) ise dördüncü çeyrektedir (\(x > 0\)), düzeltme gerekmez:

\[\operatorname{Arg}(3 - 4i) = \arctan\frac{-4}{3} = -0{,}927\]

İki sayı birbirinin negatifidir (\(3 - 4i = -(-3 + 4i)\)); esas argümanları arasındaki fark \(\pi\)’dir, beklendiği gibi. Bir bilgisayarda math.atan2(4, -3) ve math.atan2(-4, 3) aynı sonuçları verir.

\(\blacksquare\)

Üstel formun ilk büyük ödülü bir sonraki bölümde: her kompleks sayının tam \(n\) tane \(n\)-inci kökü vardır ve hepsi bir düzgün çokgenin köşelerinde oturur.