12  Tek Türlü Belirlenme ve Yansıma Prensibi

Analitik fonksiyonların katılığı bu bölümde en çarpıcı biçimine ulaşır: bir domenin küçücük bir köşesinde — hatta tek bir doğru parçası üzerinde — fonksiyonun değerlerini bilmek, onu domenin tamamında belirler. Bu ilke hem “analitik uzanım” kavramını hem de simetri özelliklerini yöneten yansıma prensibini doğurur.

12.1 Özdeş Sıfır Olma İlkesi

Teorem 12.1 (Özdeş Sıfır Olma) \(f\), bir \(D\) domeninde analitik olsun. \(f\), \(D\)’nin bir alt domeninde veya \(D\) içinde kalan bir doğru parçası üzerinde özdeş olarak sıfırsa, \(D\)’nin tamamında \(f(z) = 0\)’dır.

İspat

Kanıtın anahtarı, seriler kuramından ödünç alınacak yerel bir gerçektir: analitik bir fonksiyon, sıfırlandığı bir alt domeni (veya doğru parçasını) içeren her açık diskte özdeş sıfırdır. Bunu kabul ederek küresel sonucu kuralım.

\(z_0\), \(f\)’nin sıfırlandığı alt bölgede bir nokta; \(P\), \(D\)’nin herhangi bir noktası olsun. \(D\) bağlantılı olduğundan \(z_0\)’ı \(P\)’ye bağlayan ve tamamen \(D\)’de kalan bir \(L\) çokgensel yolu vardır. \(d\), \(L\) ile \(D\)’nin sınırı arasındaki en küçük uzaklık olsun (\(D\) tüm düzlemse \(d\) herhangi bir pozitif sayı alınabilir). \(L\) üzerinde ardışık uzaklıkları \(d\)’den küçük sonlu sayıda

\[z_0, z_1, z_2, \dots, z_{n-1}, z_n = P\]

noktası seçelim ve her \(z_k\) merkezli \(d\) yarıçaplı \(N_k\) diskini düşünelim; her disk \(D\) içindedir ve \(z_{k+1} \in N_k\)’dir.

d f ≡ 0 z₀ z₁ z₂ P N₀ N₁ N₂ N₃ D zk+1​ ∈ Nk​: sıfır diskten diske geçer
f, z0 etrafındaki küçük alt domende sıfırdır. Çokgensel yol üzerinde ardışık uzaklıkları d'den küçük noktalar seçilir; her Nk diski D'nin içinde kalır ve bir sonraki merkezi içerir (d: yolun D'nin sınırına uzaklığı). Yerel gerçek N0'da f ≡ 0 verir, kesişim üzerinden N1'e, oradan N2'ye geçer ve P'ye ulaşır.

Yerel gerçek \(N_0\)’da \(f \equiv 0\) verir. \(N_1\)’in merkezi \(z_1\), \(N_0\)’ın içindedir; \(f\), \(N_0 \cap N_1\) kesişiminde (bir alt domende) sıfır olduğundan yerel gerçek \(N_1\)’de de \(f \equiv 0\) verir. Zincir boyunca ilerleyerek \(N_n\)’de, özellikle \(P\)’de \(f(P) = 0\) bulunur.

\(\blacksquare\)

Teorem 12.2 (Tek Türlü Belirlenme) \(f\) ve \(g\), bir \(D\) domeninde analitik olsun. \(D\)’nin bir alt domeninde veya \(D\)’de kalan bir doğru parçası üzerinde \(f(z) = g(z)\) ise, \(D\)’nin tamamında \(f(z) = g(z)\)’dir.

İspat

\(h = f - g\) fonksiyonu \(D\)’de analitiktir ve ilgili alt kümede özdeş sıfırdır; Teorem 12.1 gereği \(D\)’nin tamamında sıfırdır.

\(\blacksquare\)

12.2 Analitik Uzanım

Tek türlü belirlenmenin en verimli kullanımı, fonksiyonların tanım bölgesini genişletmektir. \(D_1\) ve \(D_2\) kesişimi boş olmayan iki domen olsun; \(f_1\), \(D_1\)’de analitik olsun. \(D_2\)’de analitik bir \(f_2\) fonksiyonu kesişimde \(f_1\) ile çakışıyorsa, \(f_2\)’ye \(f_1\)’in \(D_2\)’ye analitik uzanımı denir.

Uzanım — var olduğunda — tektir: kesişimde \(f_1\) ile çakışan iki uzanım, \(D_2\)’de birbirine eşit olmak zorundadır (Teorem 12.2). O zaman

\[F(z) = \begin{cases} f_1(z), & z \in D_1 \\ f_2(z), & z \in D_2 \end{cases}\]

fonksiyonu \(D_1 \cup D_2\) birleşiminde analitiktir ve iki parçanın ortak genişlemesidir.

UyarıZincirleme uzanımda dönüş garantisi yoktur

Üç domen zincirinde \(f_2\), \(f_1\)’in \(D_2\)’ye; \(f_3\), \(f_2\)’nin \(D_3\)’e uzanımı olsun. \(D_3\), \(D_1\) ile de kesişiyorsa \(f_3\)’ün bu kesişimde \(f_1\) ile çakışması gerekmez. Çok değerli köklerin ve logaritmanın dalları bu olgunun kaynağıdır: başlangıç noktası etrafında bir tam tur uzanan \(z^{1/2}\) dalı, başlangıç değerinin negatifiyle geri döner.

D₁, f₁ D₂, f₂ D₃, f₃ z = 0 f₂ = f₁ f₃ = f₂ f₃ = −f₁ ! z1/2​ dalı başlangıç etrafında bir tur uzatılınca
f1, D1'de z1/2'nin bir dalı olsun. D2'ye, oradan D3'e uzatılıp başlangıç noktasının etrafında tam tur dönülünce D3 ∩ D1 kesişiminde f3 = −f1 bulunur: her adımda komşu uzanımlar çakışır ama zincirin sonu başıyla çakışmak zorunda değildir.

12.3 Yansıma Prensibi

Bazı tam fonksiyonlar \(\overline{f(z)} = f(\bar{z})\) simetrisine sahiptir — yani eşlenik almak, değişkenin eşleniğini almakla yer değiştirebilir. Örneğin \(z + 1\) ve \(z^2\) böyledir; ama \(z + i\) ve \(iz^2\) böyle değildir. Ayrımı belirleyen şey, fonksiyonun reel eksendeki davranışıdır.

Re Im f(x) reel z z̅ D f(z̅) = f(z) D reel eksene göre simetrik: z ∈ D ⇔ z̅ ∈ D
Yansıma prensibinin sahnesi: D reel eksene göre simetrik bir domendir ve eksenin bir parçasını içerir. f bu parçada reel değer alıyorsa, z'nin yansıması z̅'de fonksiyonun değeri f(z)'nin yansımasıdır: f(z̅) = f(z).

Teorem 12.3 (Yansıma Prensibi) \(D\), reel eksene göre simetrik ve reel eksenin bir parçasını içeren bir domen; \(f\), \(D\)’de analitik olsun. O zaman

\[\overline{f(\bar{z})} = f(z) \quad (\text{tüm } z \in D)\]

özdeşliği geçerlidir ancak ve ancak \(f\), eksen parçası üzerinde reel değerler alıyorsa.

İspat

(Yeterlilik) \(f(x)\) eksen parçasında reel olsun. \(F(z) = \overline{f(\bar{z})}\) tanımlayalım ve \(F\)’nin \(D\)’de analitik olduğunu görelim. \(f = u + iv\) yazılırsa

\[F(z) = \overline{u(x, -y) + iv(x, -y)} = u(x, -y) - i\,v(x, -y)\]

\(U(x, y) = u(x, -y)\) ve \(V(x, y) = -v(x, -y)\) bileşenleri, \(t = -y\) yazılışıyla \(f\)’nin Cauchy-Riemann denklemlerinden kendi denklemlerini devralır. Zincir kuralıyla

\[U_x(x,y) = u_x(x,t), \qquad U_y(x,y) = -u_t(x,t), \qquad V_x(x,y) = -v_x(x,t), \qquad V_y(x,y) = v_t(x,t)\]

\(f\)’nin denklemleri \(u_x = v_t\) ve \(u_t = -v_x\) olduğundan \(U_x = V_y\) ve \(U_y = -V_x\) çıkar; kısmi türevler sürekli olduğundan \(F\), \(D\)’de analitiktir (\(D\)’nin simetrisi burada kullanılır: \(z \in D\) iken \((x, -y) \in D\) olmalıdır).

Eksen parçasında \(z = x\) için \(F(x) = \overline{f(x)} = f(x)\); çünkü \(f(x)\) reeldir. \(F\) ile \(f\), \(D\)’de kalan bir doğru parçasında çakıştığından Teorem 12.2 gereği \(D\)’nin tamamında eşittirler; istenen özdeşlik budur.

(Gereklilik) Özdeşlik geçerliyse, eksen parçası üzerinde \(z = x\) için \(\overline{f(x)} = f(x)\); yani \(f(x)\) kendi eşleniğine eşittir ve reeldir.

\(\blacksquare\)

Örnek 12.1 (Simetrinin Denetlenmesi) Yansıma prensibi başlangıçtaki gözlemleri açıklar:

  • \(f(z) = z + 1\) ve \(f(z) = z^2\), reel eksende reel değer alır; dolayısıyla \(\overline{z + 1} = \bar{z} + 1\) ve \(\overline{z^2} = \bar{z}^2\) özdeşlikleri geçerlidir.
  • \(f(z) = z + i\) için \(f(x) = x + i\) reel değildir; simetrinin bozulduğunu tek nokta gösterir: \(z = 0\)’da \(\overline{f(\bar{0})} = \overline{i} = -i\), oysa \(f(0) = i\).
  • \(f(z) = iz^2\) için \(f(x) = ix^2\) reel değildir; \(z = 1\)’de \(\overline{f(\bar{1})} = \overline{i} = -i \neq i = f(1)\).

12.4 Alıştırma

Alıştırma 12.1 (Belirlenme ve Yansıma)  

  1. Tam bir \(f\) fonksiyonu reel eksenin bir parçası üzerinde \(\sin x\) değerlerini alıyorsa, tüm düzlemde \(f\)’nin tek türlü belirlendiğini açıklayınız.

  2. \(f(z) = \sinh z\)’nin, reel eksende reel değer aldığını kullanarak \(\overline{\sinh z} = \sinh \bar{z}\) özdeşliğini gerekçelendiriniz.

  3. \(\overline{f(\bar z)} = f(z)\) özdeşliğini sağlayan bir tam fonksiyonun Maclaurin katsayılarının reel olması gerektiğini, türevlerin reel eksendeki değerlerini düşünerek tartışınız.

Çözüm

a) \(g(z) = \sin z\) fonksiyonu tamdır ve reel eksende \(\sin x\) değerlerini alır. Varsayıma göre \(f\) de tamdır ve reel eksenin bir parçası üzerinde aynı değerleri alır; yani \(f - g\) farkı, o parçanın her noktasında sıfırdır.

\(f\) ve \(g\), tüm düzlem domeninde analitiktir ve bu domende kalan bir doğru parçası üzerinde çakışırlar. Teorem 12.2 gereği domenin tamamında çakışırlar, dolayısıyla

\[f(z) = \sin z \qquad \text{(her } z \text{ için)}\]

Böylece \(f\), verilen parça üzerindeki değerleriyle tek türlü belirlenmiştir: aynı koşulu sağlayan başka bir tam fonksiyon yoktur.

b) \(\sinh z\) tüm düzlemde analitiktir ve düzlem reel eksene göre simetriktir. Reel eksende \(\sinh x\) değerleri reeldir. Yansıma ilkesinin koşulları sağlandığından

\[\overline{\sinh \bar{z}} = \sinh z\]

Her iki tarafın eşleniği alınırsa (eşleniğin eşleniği kendisidir)

\[\sinh \bar{z} = \overline{\sinh z}\]

elde edilir. Doğrudan hesap da aynı sonucu verir: \(\sinh(x - iy) = \sinh x \cos y - i\cosh x \sin y\) ifadesi, \(\sinh(x + iy) = \sinh x\cos y + i \cosh x \sin y\) sayısının eşleniğidir.

c) Önce \(f\)’nin reel eksende reel değerli olduğunu görelim: \(z = x\) reel alındığında \(\bar z = x\) olduğundan özdeşlik \(\overline{f(x)} = f(x)\) hâline gelir, yani \(f(x)\) kendi eşleniğine eşittir ve reeldir.

Şimdi türevlere geçelim. \(f\) tam olduğundan \(f'(x)\) türevi vardır ve limit, \(\Delta z \to 0\) giden her yol boyunca aynıdır; özellikle reel \(h\) değerleriyle hesaplanabilir:

\[f'(x) = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h \in \mathbb{R}}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Sağdaki her fark bölümü reel sayıların bölümüdür, dolayısıyla reeldir; reel sayılardan oluşan bir dizinin limiti de reeldir. Demek ki \(f'\) de reel eksende reel değerlidir. \(f'\) yine tam olduğundan aynı akıl yürütme tekrarlanır ve tümevarımla her \(n\) için \(f^{(n)}\) reel eksende reel değer alır. Özel olarak

\[f^{(n)}(0) \in \mathbb{R} \qquad (n = 0, 1, 2, \dots)\]

Maclaurin katsayıları \(a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) olduğundan hepsi reeldir.

\(\blacksquare\)

Analitik fonksiyonlar kuramının iskeleti tamam. Sıradaki kısımda bu iskelete somut gövdeler giydiriyoruz: üstel fonksiyon, logaritma, kuvvetler ve trigonometrik aile.