32 Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı
Bir kuvvet serisi bir noktada yakınsıyorsa, o noktaya kadar olan bütün diskte yakınsar — ve yakınsaklık, merkeze yeterince yakın kapalı disklerde düzgündür. Bu iki gerçek, serilerle güvenle hesap yapmanın (terim terime integrasyon, türetme, süreklilik) temelini oluşturur.
32.1 Yakınsaklık Çemberi
Teorem 32.1 (Diskte Mutlak Yakınsaklık) Kuvvet serisi
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \tag{1}\]
bir \(z = z_1\) noktasında \((z_1 \neq z_0)\) yakınsıyorsa, \(R_1 = |z_1 - z_0|\) olmak üzere açık \(|z - z_0| < R_1\) diskinin her noktasında mutlak yakınsaktır.
İspat
Seri \(z_1\)’de yakınsak olduğundan terimleri sınırlıdır: bir \(M > 0\) sabiti için
\[\big|a_n (z_1 - z_0)^n\big| \le M \qquad (n = 0, 1, 2, \dots)\]
\(|z - z_0| < R_1\) olsun ve
\[\rho = \frac{|z - z_0|}{|z_1 - z_0|} < 1\]
yazalım. O zaman
\[\big|a_n (z - z_0)^n\big| = \big|a_n(z_1 - z_0)^n\big|\left(\frac{|z - z_0|}{|z_1 - z_0|}\right)^n \le M\rho^n\]
\(\sum M\rho^n\) geometrik serisi \(\rho < 1\) olduğundan yakınsaktır; karşılaştırma testiyle \(\sum |a_n(z - z_0)^n|\) serisi de yakınsar.
\(\blacksquare\)
Teorem, yakınsaklığın dairesel bir yapıya sahip olduğunu söyler: serinin merkez dışında yakınsadığı her nokta, o noktaya kadar olan diskin tamamını yakınsaklık bölgesi yapar.
Tanım 32.1 (Yakınsaklık Çemberi) \((1)\) serisinin içindeki her noktada yakınsadığı, \(z_0\) merkezli en büyük çembere serinin yakınsaklık çemberi denir; yarıçapına yakınsaklık yarıçapı denir.
Seri, yakınsaklık çemberinin dışındaki hiçbir \(z_2\) noktasında yakınsayamaz: yakınsasaydı, Teorem 32.1 gereği \(z_0\) merkezli ve \(z_2\)’den geçen çemberin içinde her yerde yakınsardı; o zaman ilk çember “en büyük” olmazdı.
Taylor teoremi, \(f\)’nin analitik olduğu her diskte açılımın geçerli olduğunu söylüyordu. Bu iki gözlem birleştiğinde pratik kural doğar: bir Taylor serisinin yakınsaklık yarıçapı, merkezden fonksiyonun en yakın tekil noktasına olan uzaklıktır. Örneğin \(\dfrac{1}{1+z^2}\) fonksiyonunun Maclaurin serisi, tekil noktalar \(\pm i\) olduğundan \(|z| < 1\) diskinde yakınsar — reel eksende hiçbir sorun görünmemesine rağmen.
32.2 Düzgün Yakınsaklık
Yakınsaklık çemberinin içinde bir \(z\) sabitlendiğinde, kalan \(\rho_N(z) = S(z) - S_N(z)\) ifadesi \(N \to \infty\) iken sıfıra gider; yani her \(\varepsilon > 0\) için
\[N > N_\varepsilon \implies \big|\rho_N(z)\big| < \varepsilon \tag{2}\]
sağlayan bir \(N_\varepsilon\) vardır. Bu sayı genelde hem \(\varepsilon\)’a hem de \(z\)’ye bağlıdır.
Tanım 32.2 (Düzgün Yakınsaklık) \(N_\varepsilon\) sayısı yalnızca \(\varepsilon\)’a bağlı olacak — belirtilen bölgedeki \(z\) seçiminden bağımsız kalacak — biçimde bulunabiliyorsa, yakınsaklığa o bölgede düzgün denir.
Teorem 32.2 (Kapalı Alt Diskte Düzgünlük) \(z_1\), \((1)\) serisinin \(|z - z_0| = R\) yakınsaklık çemberinin içinde bir nokta ise, seri \(R_1 = |z_1 - z_0|\) olmak üzere kapalı \(|z - z_0| \le R_1\) diskinde düzgün yakınsaktır.
İspat
\(z_1\), yakınsaklık çemberinin içinde olduğundan, çemberin içinde \(z_0\)’a \(z_1\)’den daha uzak ve serinin yakınsadığı bir nokta vardır; Teorem 32.1 gereği
\[\sum_{n=0}^{\infty} \big|a_n (z_1 - z_0)^n\big| \tag{3}\]
serisi yakınsaktır. Kalanları
\[\rho_N(z) = \lim_{m \to \infty} \sum_{n=N}^{m} a_n (z - z_0)^n, \qquad \sigma_N = \lim_{m \to \infty} \sum_{n=N}^{m} \big|a_n (z_1 - z_0)^n\big|\]
olarak yazalım. \(|z - z_0| \le |z_1 - z_0|\) iken
\[\left| \sum_{n=N}^{m} a_n (z - z_0)^n \right| \le \sum_{n=N}^{m} |a_n|\,|z - z_0|^n \le \sum_{n=N}^{m} |a_n|\,|z_1 - z_0|^n\]
olduğundan, \(m \to \infty\) limitiyle
\[|z - z_0| \le R_1 \implies \big|\rho_N(z)\big| \le \sigma_N \tag{4}\]
\(\sigma_N\), yakınsak \((3)\) serisinin kalanı olduğundan \(N \to \infty\) iken sıfıra gider: her \(\varepsilon > 0\) için
\[N > N_\varepsilon \implies \sigma_N < \varepsilon \tag{5}\]
\((4)\) ve \((5)\) birlikte, \(|z - z_0| \le R_1\) diskindeki tüm \(z\) noktaları için \((2)\) koşulunu verir ve \(N_\varepsilon\), \(z\)’den bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
32.3 Toplamın Sürekliliği
Teorem 32.3 (Kuvvet Serisinin Toplamı Süreklidir) Bir kuvvet serisi, \(|z - z_0| = R\) yakınsaklık çemberinin içindeki her noktada sürekli bir \(S(z)\) fonksiyonu temsil eder.
İspat
\(z_1\), çemberin içinde bir nokta olsun; \(S\)’nin \(z_1\)’de sürekli olduğunu göstereceğiz, yani her \(\varepsilon > 0\) için
\[|z - z_1| < \delta \implies \big|S(z) - S(z_1)\big| < \varepsilon \tag{6}\]
sağlayan bir \(\delta > 0\) bulacağız.
\(S_N(z)\), ilk \(N\) terimin toplamı ve \(\rho_N(z) = S(z) - S_N(z)\) olsun. \(S = S_N + \rho_N\) ayrışımıyla
\[\big|S(z) - S(z_1)\big| \le \big|S_N(z) - S_N(z_1)\big| + \big|\rho_N(z)\big| + \big|\rho_N(z_1)\big| \tag{7}\]
\(z_1\)’i içeren, yarıçapı yakınsaklık yarıçapından küçük bir kapalı \(|z - z_0| \le R_0\) diski seçelim. Teorem 32.2 gereği bu diskte düzgün yakınsaklık vardır:
\[N > N_\varepsilon \implies \big|\rho_N(z)\big| < \frac{\varepsilon}{3} \tag{8}\]
ve \(N_\varepsilon\), disk içindeki \(z\)’den bağımsızdır.
\(S_N\) kısmi toplamı bir polinomdur, dolayısıyla her \(N\) için \(z_1\)’de süreklidir. \(N = N_\varepsilon + 1\) seçilirse öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki
\[|z - z_1| < \delta \implies \big|S_N(z) - S_N(z_1)\big| < \frac{\varepsilon}{3} \tag{9}\]
(\(\delta\), \(|z - z_1| < \delta\) komşuluğu \(R_0\) diskinden taşmayacak kadar küçük alınır.) \((7)\) eşitsizliğinde \(N = N_\varepsilon + 1\) konup \((8)\) ile \((9)\) kullanılırsa
\[|z - z_1| < \delta \implies \big|S(z) - S(z_1)\big| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon\]
\(\blacksquare\)
32.4 Negatif Kuvvetli Serilere Uyarlama
Laurent serisinin ikinci yarısı
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z - z_0)^n} \tag{10}\]
biçimindedir ve \(w = \dfrac{1}{z - z_0}\) değişimiyle sıradan bir kuvvet serisine dönüşür:
\[\sum_{n=1}^{\infty} b_n w^n\]
Bu seri bir \(z_1 \neq z_0\) noktasında yakınsıyorsa, dönüşmüş seri
\[|w| < \frac{1}{|z_1 - z_0|} \tag{11}\]
diskinde mutlak yakınsar ve sürekli bir fonksiyon temsil eder. \((11)\) koşulu \(|z - z_0| > |z_1 - z_0|\) ile aynı olduğundan: \((10)\) serisi, \(|z - z_0| = R_1\) çemberinin dışındaki domende mutlak yakınsar (\(R_1 = |z_1 - z_0|\)) ve orada sürekli bir fonksiyon tanımlar.
Bir Laurent temsili \(R_1 < |z - z_0| < R_2\) halkasında geçerliyse, pozitif kuvvetli kısım “içeriden” \(R_2\) yarıçaplı diski, negatif kuvvetli kısım “dışarıdan” \(R_1\) yarıçaplı çemberin dışını yakınsaklık bölgesi olarak görür. İkisi de geçerlilik bölgesinin içinde kalan her kapalı halkada düzgün yakınsaktır — terim terime hesap yapma iznini veren tam olarak budur.
32.5 Alıştırma
Alıştırma 32.1 (Yakınsaklık Alıştırmaları)
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n}\) serisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.
\(\dfrac{1}{z^2 + 4}\) fonksiyonunun \(z_0 = 1\) civarındaki Taylor serisinin yakınsaklık yarıçapını, tekil noktalara olan uzaklığı düşünerek belirleyiniz.
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{(z - 1)^n}\) serisinin hangi bölgede yakınsadığını, \(w = 1/(z-1)\) değişimiyle bulunuz.
Çözüm
a) Seri, ortak çarpanı \(z/2\) olan geometrik seridir:
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n\]
Geometrik seri, ortak çarpanın modülü \(1\)’den küçükken yakınsar:
\[\left|\frac{z}{2}\right| < 1 \iff |z| < 2\]
\(|z| > 2\) için terimler sıfıra gitmediğinden seri ıraksar. Yakınsaklık yarıçapı \(R = 2\)’dir ve seri o diskte \(\dfrac{1}{1 - z/2} = \dfrac{2}{2-z}\) fonksiyonunu temsil eder; bu fonksiyonun tek tekil noktası olan \(z = 2\)’nin merkeze uzaklığı da \(2\)’dir.
b) Taylor serisinin yarıçapı, merkezden fonksiyonun en yakın tekil noktasına olan uzaklıktır. Tekil noktalar paydayı sıfırlayan noktalardır:
\[z^2 + 4 = 0 \implies z = \pm 2i\]
Merkez \(z_0 = 1\)’e uzaklıkları:
\[|1 - 2i| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}, \qquad |1 + 2i| = \sqrt{5}\]
İki tekil nokta merkeze eşit uzaklıktadır; yakınsaklık yarıçapı
\[R = \sqrt{5}\]
Seri \(|z - 1| < \sqrt5\) diskinde fonksiyona yakınsar, bu diskin sınırında ise iki tekil nokta oturur.
c) \(w = \dfrac{1}{z-1}\) değişimiyle seri sıradan bir kuvvet serisine döner:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{(z-1)^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (3w)^n\]
Sağdaki geometrik seri \(|3w| < 1\), yani \(|w| < \dfrac{1}{3}\) iken yakınsar. Geri dönüşüm yapalım:
\[\left|\frac{1}{z-1}\right| < \frac{1}{3} \iff |z - 1| > 3\]
Seri, \(z = 1\) merkezli \(3\) yarıçaplı çemberin dışındaki domende yakınsar. Toplamı da bulunabilir:
\[\sum_{n=1}^{\infty}(3w)^n = \frac{3w}{1 - 3w} = \frac{3}{(z-1) - 3} = \frac{3}{z - 4}\]
Bu, negatif kuvvetli serilerin tipik davranışıdır: yakınsaklık bölgesi bir disk değil, bir çemberin dışıdır.
\(\blacksquare\)
Düzgün yakınsaklık elimizde; artık serilerle işlem yapmaya hakkımız var: terim terime integrasyon, türetme, çarpma ve bölme — kuvvet serileriyle işlemler.