19 Reel Değişkenli Fonksiyonların Türev ve İntegralleri
Çevre integrallerine giden yol, mütevazı bir ara duraktan geçer: reel bir \(t\) değişkenine bağlı, kompleks değerli \(w(t)\) fonksiyonları. Bunların analizi neredeyse tamamen kalkülüsten kopyalanır — ama “neredeyse” kelimesi önemlidir: ortalama değer teoremi gibi bazı taşlar yolda düşer.
19.1 Türev
Tanım 19.1 (w(t) Fonksiyonunun Türevi) \(u\) ve \(v\), \(t\)’nin reel değerli fonksiyonları olmak üzere \(w(t) = u(t) + iv(t)\) verilsin. \(u'(t)\) ve \(v'(t)\) var olduğunda \(w\)’nin türevi
\[w'(t) = u'(t) + i\,v'(t)\]
Kalkülüsteki toplam, çarpım ve sabit kuralları bileşen bileşen doğrulanır. Örneğin \(z_0 = x_0 + iy_0\) kompleks sabiti için
\[\frac{d}{dt}\big[z_0 w(t)\big] = z_0 w'(t)\]
kuralı, \(z_0 w = (x_0 u - y_0 v) + i(y_0 u + x_0 v)\) açılımının türetilmesiyle görülür. Sık kullanılacak bir diğer kural:
Teorem 19.1 (Üstelin Türevi) Her \(z_0 = x_0 + iy_0\) kompleks sabiti için
\[\frac{d}{dt}\, e^{z_0 t} = z_0\, e^{z_0 t}\]
İspat
\(e^{z_0 t} = e^{x_0 t}\cos y_0 t + i\,e^{x_0 t}\sin y_0 t\) yazıp bileşenleri türetelim:
\[\frac{d}{dt}e^{z_0t} = e^{x_0t}\big(x_0\cos y_0t - y_0\sin y_0t\big) + i\,e^{x_0t}\big(x_0\sin y_0t + y_0\cos y_0t\big)\]
Sağ taraf, \((x_0 + iy_0)\,e^{x_0t}\big(\cos y_0t + i\sin y_0t\big)\) çarpımının açılımıdır; yani \(z_0 e^{z_0 t}\).
\(\blacksquare\)
\(w\), \([a, b]\) üzerinde sürekli ve içeride türevlenebilir olsa bile
\[w'(c) = \frac{w(b) - w(a)}{b - a}\]
koşulunu sağlayan bir \(c\) bulunmak zorunda değildir. Karşı örnek: \([0, 2\pi]\) üzerinde \(w(t) = e^{it}\). Uçlarda \(w(2\pi) - w(0) = 0\)’dır; ama \(|w'(t)| = |ie^{it}| = 1\) olduğundan türev hiçbir noktada sıfırlanamaz.
19.2 Belirli İntegral
Tanım 19.2 (w(t) Fonksiyonunun Belirli İntegrali) \(w(t) = u(t) + iv(t)\) fonksiyonunun \([a, b]\) üzerindeki belirli integrali, sağdaki iki reel integralin varlığı koşuluyla
\[\int_a^b w(t)\,dt = \int_a^b u(t)\,dt + i\int_a^b v(t)\,dt\]
Böylece integral, reel ve sanal kısım alma işlemleriyle sıra değiştirir:
\[\operatorname{Re}\int_a^b w\,dt = \int_a^b \operatorname{Re}[w]\,dt, \qquad \operatorname{Im}\int_a^b w\,dt = \int_a^b \operatorname{Im}[w]\,dt\]
İntegralin varlığı için \(u\) ve \(v\)’nin parçalı sürekliliği yeterlidir: sonlu sayıda nokta dışında süreklilik ve o noktalarda tek yanlı limitlerin varlığı. Sınırsız aralıklar üzerindeki genelleştirilmiş integraller de bileşenler üzerinden tanımlanır. Sabitle çarpma, toplam ve aralık ekleme kuralları kalkülüsten aynen geçer.
Örnek 19.1 (Tanımla Hesap) \[\int_0^1 (1 + it)^2\,dt = \int_0^1 \big(1 - t^2\big)\,dt + i\int_0^1 2t\,dt = \frac{2}{3} + i\]
19.3 Temel Teorem
Teorem 19.2 (Kalkülüsün Temel Teoremi) \(w(t) = u(t) + iv(t)\) ve \(W(t) = U(t) + iV(t)\), \([a, b]\) üzerinde sürekli olsun. \(W'(t) = w(t)\) ise
\[\int_a^b w(t)\,dt = W(t)\Big]_a^b = W(b) - W(a)\]
İspat
\(W' = w\) bileşenlere ayrışır: \(U' = u\), \(V' = v\). Reel temel teorem iki kez uygulanır:
\[\int_a^b w\,dt = U(t)\Big]_a^b + i\,V(t)\Big]_a^b = \big[U(b) + iV(b)\big] - \big[U(a) + iV(a)\big] = W(b) - W(a)\]
\(\blacksquare\)
Örnek 19.2 (Üstelle İntegral) \[\int_0^{\pi/4} e^{it}\,dt\] integralini hesaplayınız.
Çözüm
\(\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{e^{it}}{i}\right) = e^{it}\) olduğundan \(W(t) = \dfrac{e^{it}}{i}\) bir ters türevdir:
\[\int_0^{\pi/4} e^{it}\,dt = \frac{e^{it}}{i}\Bigg]_0^{\pi/4} = \frac{e^{i\pi/4} - 1}{i} = -i\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} - 1\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\(\blacksquare\)
Örnek 19.3 (İntegral İçin Ortalama Değer de Çöker) \(w\), \([a, b]\) üzerinde sürekli olsa bile
\[\int_a^b w(t)\,dt = w(c)(b - a)\]
koşulunu sağlayan bir \(c\) bulunmayabilir.
Çözüm
Yine \(w(t) = e^{it}\), \([0, 2\pi]\) örneği iş görür:
\[\int_0^{2\pi} e^{it}\,dt = \frac{e^{it}}{i}\Bigg]_0^{2\pi} = 0\]
Ama her \(c\) için \(\big|w(c)(2\pi - 0)\big| = 2\pi \neq 0\); eşitlik hiçbir \(c\) ile kurulamaz.
\(\blacksquare\)
19.4 Alıştırma
Alıştırma 19.1 (Hesap Alıştırmaları)
\(\displaystyle\int_1^2 \left(\frac{1}{t} - i\right)^2 dt\) integralini hesaplayınız.
\(\displaystyle\int_0^{\pi/6} e^{i2t}\,dt\) integralini hesaplayınız.
\(m \neq n\) tam sayıları için \(\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{imt}\,e^{-int}\,dt = 0\) olduğunu gösteriniz (Fourier serilerinin diklik bağıntısı).
Çözüm
a) Önce integrandın karesini açalım:
\[\left(\frac{1}{t} - i\right)^2 = \frac{1}{t^2} - \frac{2i}{t} + i^2 = \left(\frac{1}{t^2} - 1\right) - \frac{2i}{t}\]
Reel ve sanal kısımlar ayrı ayrı integrallenir:
\[\int_1^2 \left(\frac{1}{t^2} - 1\right)dt = \left[-\frac{1}{t} - t\right]_1^2 = \left(-\frac{1}{2} - 2\right) - (-1 - 1) = -\frac{1}{2}\]
\[\int_1^2 \frac{2}{t}\,dt = 2\ln 2 = \ln 4\]
Sanal kısım eksi işaretliydi; sonuç:
\[\int_1^2 \left(\frac{1}{t} - i\right)^2 dt = -\frac{1}{2} - i\ln 4\]
b) \(e^{i2t}\) fonksiyonunun ters türevi \(\dfrac{e^{i2t}}{2i}\)’dir:
\[\int_0^{\pi/6} e^{i2t}\,dt = \left[\frac{e^{i2t}}{2i}\right]_0^{\pi/6} = \frac{e^{i\pi/3} - 1}{2i}\]
\(e^{i\pi/3} = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) olduğundan pay \(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)’dir. \(\dfrac{1}{2i} = -\dfrac{i}{2}\) ile çarpalım:
\[\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{i}{2}\right) = \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\]
yani
\[\int_0^{\pi/6} e^{i2t}\,dt = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}\]
c) Üsler toplanır; \(k = m - n\) yazalım. Varsayım gereği \(k\) sıfırdan farklı bir tam sayıdır:
\[\int_0^{2\pi} e^{imt}e^{-int}\,dt = \int_0^{2\pi} e^{ikt}\,dt = \left[\frac{e^{ikt}}{ik}\right]_0^{2\pi} = \frac{e^{i2\pi k} - 1}{ik}\]
\(k\) tam sayı olduğundan \(e^{i2\pi k} = 1\)’dir ve pay sıfırlanır:
\[\int_0^{2\pi} e^{imt}e^{-int}\,dt = 0 \qquad (m \neq n)\]
\(m = n\) durumunda ise integrand \(1\)’e eşit olur ve integral \(2\pi\) değerini verir — Fourier serilerinde katsayı formüllerini doğuran ayrım tam olarak budur.
\(\blacksquare\)
\(w(t)\) integralleri araç kutumuza girdi; şimdi bu aracı düzlemdeki eğriler üzerinde çalıştıracak zemini kuralım: yaylar ve çevreler.