17 Hiperbolik Fonksiyonlar
Reel analizde hiperbolik ve trigonometrik fonksiyonlar ayrı ailelerdir: biri üstelden, öbürü çemberden gelir. Kompleks düzlemde bu ayrım ortadan kalkar — \(z \mapsto iz\) döndürmesi iki aileyi birbirine dönüştürür ve her hiperbolik özdeşlik, bir trigonometrik özdeşliğin kılık değiştirmişi olur.
17.1 Tanımlar
Tanım 17.1 (Hiperbolik Sinüs ve Kosinüs) \[\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \qquad \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}\]
\(e^{\pm z}\) tam olduğundan ikisi de tam fonksiyondur; türevleri
\[\frac{d}{dz}\sinh z = \cosh z, \qquad \frac{d}{dz}\cosh z = \sinh z\]
17.2 Trigonometrik Köprü
Sinüs ve kosinüsün üstel tanımlarıyla karşılaştırma, iki aileyi bağlayan dönüşüm bağıntılarını verir:
\[-i\sinh(iz) = \sin z, \qquad \cosh(iz) = \cos z\]
\[-i\sin(iz) = \sinh z, \qquad \cos(iz) = \cosh z\]
Örneğin birincisi şöyle doğrulanır:
\[-i\sinh(iz) = -i\,\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = \sin z\]
Bu köprü sayesinde trigonometrik kimliklerin her biri hiperbolik bir kimliğe çevrilebilir.
17.3 Özdeşlikler
Sık kullanılanların dökümü:
\[\sinh(-z) = -\sinh z, \qquad \cosh(-z) = \cosh z\]
\[\cosh^2 z - \sinh^2 z = 1\]
\[\sinh(z_1 + z_2) = \sinh z_1\cosh z_2 + \cosh z_1 \sinh z_2\]
\[\cosh(z_1 + z_2) = \cosh z_1\cosh z_2 + \sinh z_1\sinh z_2\]
Reel-sanal ayrışımlar ve modüller (\(z = x + iy\)):
\[\sinh z = \sinh x\cos y + i\,\cosh x\sin y, \qquad \cosh z = \cosh x\cos y + i\,\sinh x\sin y\]
\[|\sinh z|^2 = \sinh^2 x + \sin^2 y, \qquad |\cosh z|^2 = \sinh^2 x + \cos^2 y\]
Örnek 17.1 (Köprüden Modül Özdeşliği) \(|\sinh z|^2 = \sinh^2 x + \sin^2 y\) özdeşliğini dönüşüm bağıntılarıyla türetiniz.
Çözüm
\(\sinh z = -i\sin(iz)\) olduğundan \(|\sinh z| = |\sin(iz)|\); \(iz = -y + ix\) için sinüsün modül formülü
\[|\sin(-y + ix)|^2 = \sin^2(-y) + \sinh^2 x = \sin^2 y + \sinh^2 x\]
istenen sonucu verir — yeni hesap yapmadan.
\(\blacksquare\)
17.4 Periyodiklik ve Sıfırlar
\(e^z\)’nin \(2\pi i\) periyodu tanımlar üzerinden taşınır:
\[\sinh(z + 2\pi i) = \sinh z, \qquad \cosh(z + 2\pi i) = \cosh z\]
Teorem 17.1 (Hiperbolik Fonksiyonların Sıfırları) \[\sinh z = 0 \iff z = n\pi i, \qquad \cosh z = 0 \iff z = \left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) i\]
\[(n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
İspat
\(|\sinh z|^2 = \sinh^2 x + \sin^2 y = 0\) ancak \(\sinh x = 0\) ve \(\sin y = 0\) ile mümkündür: \(x = 0\), \(y = n\pi\); yani \(z = n\pi i\). Kosinüs için köprü bağıntısı şu zinciri verir:
\[\cosh z = 0 \iff \cos(iz) = 0 \iff iz = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \iff z = -i\left(\dfrac{\pi}{2} + n\pi\right)\]
Buradaki eksi işareti, \(n\)’nin \(-n-1\) ile yeniden adlandırılmasıyla emilir ve ifade teoremdeki biçimi alır.
\(\blacksquare\)
Trigonometrik ailedekinin ayna görüntüsü: sinüsün sıfırları tamamen reelken hiperbolik sinüsünkiler tamamen saf sanaldır.
17.5 Hiperbolik Tanjant
Tanım 17.2 (Hiperbolik Tanjant) \[\tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z}\]
\(\cosh z \neq 0\) olan her domende, yani \(z = \left(\dfrac{\pi}{2} + n\pi\right)i\) noktaları dışında analitiktir. \(\coth z = 1/\tanh z\), \(\operatorname{sech} z = 1/\cosh z\) ve \(\operatorname{csch} z = 1/\sinh z\) olarak tanımlanır.
Türev formülleri, reel karşılıklarıyla aynıdır:
\[\frac{d}{dz}\tanh z = \operatorname{sech}^2 z, \qquad \frac{d}{dz}\coth z = -\operatorname{csch}^2 z\]
\[\frac{d}{dz}\operatorname{sech} z = -\operatorname{sech} z\tanh z, \qquad \frac{d}{dz}\operatorname{csch} z = -\operatorname{csch} z\coth z\]
17.6 Alıştırma
Alıştırma 17.1 (Hiperbolik Alıştırmalar)
\(\cosh(1 + i\pi)\) değerini hesaplayınız.
\(\cosh z = \dfrac{1}{2}\) denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.
\(\tanh z\)’nin periyodunun \(\pi i\) olduğunu, \(\sinh(z + \pi i) = -\sinh z\) ve \(\cosh(z + \pi i) = -\cosh z\) bağıntılarından türetiniz.
Çözüm
a) Açılım formülünde \(x = 1\), \(y = \pi\) alalım:
\[\cosh(x + iy) = \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y\]
\(\cos\pi = -1\) ve \(\sin\pi = 0\) olduğundan sanal kısım kaybolur:
\[\cosh(1 + i\pi) = \cosh 1 \cdot (-1) + i \sinh 1 \cdot 0 = -\cosh 1\]
b) Aynı açılımı \(\cosh z = \dfrac{1}{2}\) denklemine uygulayalım. Sağ taraf reel olduğundan
\[\cosh x \cos y = \frac{1}{2}, \qquad \sinh x \sin y = 0\]
İkinci denklem iki durum verir. \(\sin y = 0\) ise \(y = n\pi\) ve \(\cos y = \pm 1\) olur; birinci denklem \(\cosh x = \pm\dfrac{1}{2}\)’ye iner. Ama her reel \(x\) için \(\cosh x \ge 1\)’dir, bu imkânsızdır. Geriye \(\sinh x = 0\), yani \(x = 0\) kalır. Birinci denklem artık
\[\cos y = \frac{1}{2} \implies y = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\]
Çözümler saf sanaldır:
\[z = \left(2n \pm \frac{1}{3}\right)\pi i \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
(Aynı sonuç \(\cosh z = \cos(iz)\) bağıntısıyla da bulunur: \(\cos(iz) = \frac12\) denkleminden \(iz = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\) çıkar ve \(i\)’ye bölünürse yukarıdaki küme elde edilir.)
c) Verilen iki bağıntıyı oranlayalım. Payda sıfırdan farklı olduğu her \(z\) için
\[\tanh(z + \pi i) = \frac{\sinh(z + \pi i)}{\cosh(z + \pi i)} = \frac{-\sinh z}{-\cosh z} = \tanh z\]
İki eksi işareti birbirini götürdüğünden \(\pi i\) bir periyottur. Bu periyodun en küçüğü olduğunu da görelim: \(p\) herhangi bir periyot olsun. \(z = 0\) alındığında \(\tanh 0 = 0\) olduğundan
\[\tanh p = 0 \implies \sinh p = 0 \implies p = n\pi i\]
çünkü hiperbolik sinüsün sıfırları tam olarak \(n\pi i\) noktalarıdır. Demek ki periyotlar yalnızca \(\pi i\)’nin katlarıdır ve sıfırdan farklı en küçüğü \(\pi i\)’dir. Payı ve paydası \(2\pi i\) periyotlu olan \(\tanh\), bölüm alındığında periyodunun yarıya inmesini işte bu işaret değişimine borçludur.
\(\blacksquare\)
Elemanter ailenin son üyeleri, tersine çevirme işleminden doğar: ters trigonometrik ve ters hiperbolik fonksiyonlar.