18 Ters Trigonometrik ve Hiperbolik Fonksiyonlar
Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar üstel fonksiyondan kurulmuştu; tersleri de doğal olarak logaritmayla ifade edilir. Türetme tek bir fikre dayanır: ters fonksiyon denklemi, \(e^{iw}\) için ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
18.1 Ters Sinüs
\(w = \sin^{-1} z\) yazmak, \(z = \sin w\) demektir. Üstel tanımla
\[z = \frac{e^{iw} - e^{-iw}}{2i}\]
Her tarafı \(2ie^{iw}\) ile çarpıp düzenlersek \(e^{iw}\) bilinmeyenli ikinci dereceden denklem çıkar:
\[\big(e^{iw}\big)^2 - 2iz\big(e^{iw}\big) - 1 = 0\]
İkinci dereceden formülle (kompleks karekökün iki değerli olduğunu hatırlayarak):
\[e^{iw} = iz + \big(1 - z^2\big)^{1/2}\]
Burada \(\pm\) yazmaya gerek yoktur: \((1 - z^2)^{1/2}\) zaten iki değerlidir ve iki işareti birden kapsar. Logaritma alınıp \(w\) çekilirse:
Teorem 18.1 (Ters Sinüs Formülü) \[\sin^{-1} z = -i \log\!\left[iz + \big(1 - z^2\big)^{1/2}\right]\]
Karekökün iki değeri ve logaritmanın sonsuz basamağıyla \(\sin^{-1} z\), çok değerli bir fonksiyondur.
Örnek 18.1 (Bir Ters Sinüs Kümesi) \(\sin^{-1}(-i)\) değerlerini bulunuz.
Çözüm
\(z = -i\) için \(iz = 1\) ve \(1 - z^2 = 2\); formül
\[\sin^{-1}(-i) = -i\log\big(1 \pm \sqrt{2}\big)\]
verir. İki durumu ayrı ayrı açalım:
\[\log\big(1 + \sqrt{2}\big) = \ln\big(1 + \sqrt{2}\big) + 2n\pi i\]
\[\log\big(1 - \sqrt{2}\big) = \ln\big(\sqrt{2} - 1\big) + (2n + 1)\pi i\]
(ikincisinde sayı negatiftir; modülü \(\sqrt{2} - 1\), argümanı \(\pi\)’dir). Şimdi kritik gözlem:
\[\ln\big(\sqrt{2} - 1\big) = \ln\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = -\ln\big(1 + \sqrt{2}\big)\]
Böylece iki küme tek kalıpta birleşir:
\[\log\big(1 \pm \sqrt{2}\big) = (-1)^n \ln\big(1 + \sqrt{2}\big) + n\pi i \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
(\(n\) çiftken birinci, tekken ikinci kümenin elemanları gelir). Sonuç:
\[\sin^{-1}(-i) = n\pi + i(-1)^{n+1}\ln\big(1 + \sqrt{2}\big) \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
\(\blacksquare\)
18.2 Ters Kosinüs ve Ters Tanjant
Aynı teknik diğer iki fonksiyona uygulanır:
\[\cos^{-1} z = -i\log\!\left[z + i\big(1 - z^2\big)^{1/2}\right]\]
\[\tan^{-1} z = \frac{i}{2}\, \log\frac{i + z}{i - z}\]
Üçü de çok değerlidir. Karekök ve logaritma için belirli dallar seçildiğinde her biri tek değerli ve analitik olur; çünkü analitik fonksiyonların bileşkeleridir.
18.3 Türevler
Dallar seçildikten sonra türevler zincir kuralıyla hesaplanır:
\[\frac{d}{dz}\sin^{-1} z = \frac{1}{\big(1 - z^2\big)^{1/2}}, \qquad \frac{d}{dz}\cos^{-1} z = \frac{-1}{\big(1 - z^2\big)^{1/2}}\]
İlk ikisi, karekök için seçilen dala bağlıdır: kökün öbür dalı seçilirse işaret değişir. Ters tanjantın türevi ise karekök içermediğinden dal seçiminden bağımsızdır:
\[\frac{d}{dz}\tan^{-1} z = \frac{1}{1 + z^2}\]
Bu fonksiyonlar için \(\arcsin z\), \(\arccos z\), \(\arctan z\) gösterimleri de yaygındır; içerik aynıdır. Reel analizdeki “esas değer aralığı” alışkanlığının kompleks karşılığı, karekök ve logaritma dallarının açıkça söylenmesidir.
18.4 Ters Hiperbolik Fonksiyonlar
\(z = \sinh w = \dfrac{e^w - e^{-w}}{2}\) denkleminde \(e^w\) için ikinci dereceden denklem kurulursa aynı yöntem şunları verir:
\[\sinh^{-1} z = \log\!\left[z + \big(z^2 + 1\big)^{1/2}\right]\]
\[\cosh^{-1} z = \log\!\left[z + \big(z^2 - 1\big)^{1/2}\right]\]
\[\tanh^{-1} z = \frac{1}{2}\, \log\frac{1 + z}{1 - z}\]
Reel analizden tanıdık formüllerle biçimsel özdeşlik tam; tek fark, buradaki \(\log\)’un kompleks (ve çok değerli) olmasıdır.
18.5 Alıştırma
Alıştırma 18.1 (Ters Fonksiyon Hesapları)
\(\tan^{-1}(2i)\) kümesini formülden hesaplayınız.
\(\cos^{-1} 2\) değerlerinin \(2n\pi \mp i\ln\big(2 + \sqrt{3}\big)\) olduğunu gösteriniz; reel eksenin \([-1, 1]\) dışındaki noktalarında ters kosinüsün neden reel değer alamadığını yorumlayınız.
\(\sinh^{-1} i\) kümesini hesaplayınız ve hiperbolik sinüsün sıfırlarıyla karşılaştırınız.
Çözüm
a) Formülde \(z = 2i\) yazalım. Önce logaritmanın argümanını sadeleştirelim:
\[\frac{i + z}{i - z} = \frac{i + 2i}{i - 2i} = \frac{3i}{-i} = -3\]
Böylece
\[\tan^{-1}(2i) = \frac{i}{2}\log(-3)\]
\(-3\) sayısının modülü \(3\), argümanları \(\pi + 2n\pi\) olduğundan \(\log(-3) = \ln 3 + i(2n+1)\pi\)’dir:
\[\tan^{-1}(2i) = \frac{i}{2}\Big[\ln 3 + i(2n+1)\pi\Big] = -\frac{(2n+1)\pi}{2} + \frac{i}{2}\ln 3\]
\(n\) tüm tam sayıları taradığında \(-\dfrac{(2n+1)\pi}{2}\) ifadesi \(\left(n + \dfrac{1}{2}\right)\pi\) değerlerinin aynısını üretir; küme
\[\tan^{-1}(2i) = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi + \frac{i}{2}\ln 3 \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
b) Formülde \(z = 2\) alalım. Karekök çift değerlidir:
\[\big(1 - z^2\big)^{1/2} = (-3)^{1/2} = \pm i\sqrt{3}\]
Logaritmanın argümanı iki değer alır:
\[z + i\big(1-z^2\big)^{1/2} = 2 + i\big(\pm i \sqrt{3}\big) = 2 \mp \sqrt{3}\]
Her ikisi de pozitif reel sayıdır (\(2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268\)), dolayısıyla logaritmaları
\[\log\big(2 \mp \sqrt{3}\big) = \ln\big(2 \mp \sqrt{3}\big) + 2n\pi i\]
Formülü tamamlayalım:
\[\cos^{-1} 2 = -i\Big[\ln\big(2 \mp \sqrt{3}\big) + 2n\pi i\Big] = 2n\pi - i\ln\big(2 \mp \sqrt{3}\big)\]
\((2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = 1\) olduğundan \(\ln(2 - \sqrt3) = -\ln(2 + \sqrt3)\)’tür; iki işaret tek ifadede toplanır:
\[\cos^{-1} 2 = 2n\pi \mp i \ln\big(2 + \sqrt{3}\big)\]
Neden hiçbir değer reel değil? Reel bir \(w\) için \(\cos w\) değerleri \([-1, 1]\) aralığından çıkamaz. Dolayısıyla \(\cos w = 2\) denkleminin reel çözümü olamaz; çözümün sanal kısmı zorunlu olarak sıfırdan farklıdır. Kompleks düzlemde ise \(\cos\) sınırsızdır ve denklem — üstelik sonsuz çok — çözüme sahiptir.
c) Formülde \(z = i\) yazalım; karekökün içi sıfır olur:
\[\big(z^2 + 1\big)^{1/2} = \big(i^2 + 1\big)^{1/2} = 0\]
Geriye yalnızca logaritma kalır:
\[\sinh^{-1} i = \log(i) = \ln 1 + i\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = \left(2n + \frac{1}{2}\right)\pi i\]
Karşılaştırma: hiperbolik sinüsün sıfırları \(n\pi i\) noktalarıdır. Bulunan çözümler ise sanal eksende bu sıfırların tam ortasında, her birinden \(\pi/2\) uzaklıkta oturur. Bunun nedeni \(\sinh(iy) = i\sin y\) bağıntısıdır: sanal eksen üzerinde \(\sinh\), reel sinüsün \(i\) katı gibi davranır; sıfırlar \(\sin y = 0\) noktalarına, \(\sinh w = i\) çözümleri ise \(\sin y = 1\) noktalarına — yani sinüsün tepe noktalarına — karşılık gelir. Doğrulama:
\[\sinh\left[\left(2n + \frac{1}{2}\right)\pi i\right] = i \sin\left[\left(2n + \frac{1}{2}\right)\pi\right] = i\]
\(\blacksquare\)
Elemanter fonksiyonlar kütüphanesi tamamlandı. Dördüncü kısımda kompleks analizin motoruna geçiyoruz: integral kuramı.