10 Analitik Fonksiyonlar
Bir noktada türevin varlığı zayıf bir bilgidir: \(|z|^2\) yalnızca başlangıçta türevlenebilir ama bu ona hiçbir ayrıcalık kazandırmaz. Kompleks analizin gerçek kahramanı, türevi bir açık kümenin her noktasında var olan fonksiyonlardır.
10.1 Tanımlar
Tanım 10.1 (Analitiklik) \(f\) fonksiyonu, \(z_0\)’ın bir komşuluğunun her noktasında türevi varsa \(z_0\)’da analitiktir. Açık bir kümenin her noktasında analitikse o kümede analitik denir. Tüm düzlemde analitik fonksiyona tam fonksiyon denir.
Tanım 10.2 (Tekil Nokta) \(f\), \(z_0\)’da analitik olmasın ama \(z_0\)’ın her komşuluğu \(f\)’nin analitik olduğu bir nokta içersin; böyle bir \(z_0\)’a \(f\)’nin bir tekil noktası denir.
Üç temel örnek kavramları ayrıştırır:
- \(f(z) = 1/z\), delinmiş düzlemde analitiktir; \(z = 0\) onun tekil noktasıdır.
- \(f(z) = |z|^2\) hiçbir yerde analitik değildir: türevi yalnızca \(z=0\)’da vardır, hiçbir açık kümede yoktur. Tekil noktası da yoktur — çünkü analitik olduğu nokta yoktur.
- Polinomlar tam fonksiyonlardır.
Analitikliğin gerek koşulları önceki bölümlerden miras kalır: analitik fonksiyon süreklidir ve bileşenleri Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar.
10.2 Analitik Fonksiyonların Cebiri
Türev kuralları doğrudan şu sonuçları verir: iki fonksiyon bir \(D\) domeninde analitikse
- toplamları ve çarpımları \(D\)’de analitiktir;
- bölümleri, paydanın sıfırlanmadığı noktalarda analitiktir;
- analitik fonksiyonların bileşkesi analitiktir (zincir kuralı).
Özel olarak bir rasyonel fonksiyon \(P/Q\), \(Q\)’nun sıfırları dışında her yerde analitiktir.
Örnek 10.1 (Bir Rasyonel Fonksiyonun Tekil Noktaları) \[f(z) = \frac{z^3 + 4}{(z^2 - 3)(z^2 + 1)}\]
fonksiyonu, paydanın sıfırları olan \(z = \pm\sqrt{3}\) ve \(z = \pm i\) dışında tüm düzlemde analitiktir; bu dört nokta \(f\)’nin tekil noktalarıdır.
Örnek 10.2 (Bir Tam Fonksiyon) \(f(z) = \cosh x \cos y + i\,\sinh x \sin y\) fonksiyonunun tam olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(u = \cosh x\cos y\), \(v = \sinh x \sin y\) için
\[u_x = \sinh x\cos y = v_y, \qquad u_y = -\cosh x\sin y = -v_x\]
Kısmi türevler her yerde sürekli ve Cauchy-Riemann denklemleri her yerde sağlanır; yeterlilik teoremi her noktada uygulanır. (Bu fonksiyon, ileride tanışacağımız \(\cosh z\)’dir.)
\(\blacksquare\)
10.3 Türevi Sıfır Olan Fonksiyon Sabittir
Teorem 10.1 (Sabitlik Teoremi) Bir \(D\) domeninde \(f'(z) = 0\) ise \(f\), \(D\)’de sabittir.
İspat
\(f = u + iv\) yazalım. \(f' = u_x + iv_x = 0\) olduğundan \(u_x = v_x = 0\); Cauchy-Riemann denklemleriyle \(u_y = v_y = 0\) da çıkar. Yani \(\nabla u = (u_x, u_y)\) gradyanı \(D\)’de özdeş sıfırdır.
\(D\) içindeki herhangi bir \(L\) doğru parçası üzerinde, parça boyunca yönlü türev \(\dfrac{du}{ds} = \nabla u \cdot \mathbf{U} = 0\) olduğundan \(u\), \(L\) boyunca sabittir. \(D\) bir domen olduğundan herhangi iki noktası, tamamen \(D\)’de kalan sonlu sayıda doğru parçasıyla birleştirilebilir; parça parça sabitlik zincir boyunca taşınır ve \(u\), \(D\)’nin tamamında tek bir \(a\) değerini alır. Aynı akıl yürütme \(v\) için bir \(b\) sabiti verir; \(f(z) = a + bi\) olur.
\(\blacksquare\)
Teoremde \(D\)’nin bağlantılı olması vazgeçilmezdir: iki ayrık açık diskten oluşan kümede, her diskte farklı sabit değer alan fonksiyonun türevi de sıfırdır ama fonksiyon sabit değildir.
10.4 Katılık Örnekleri
Analitiklik o kadar kısıtlayıcıdır ki, üzerine küçük bir ek koşul koymak fonksiyonu tümüyle dondurabilir.
Örnek 10.3 (Eşleniği de Analitikse) \(f\) ve \(\overline{f(z)}\) bir \(D\) domeninde birlikte analitikse \(f\), \(D\)’de sabittir.
Çözüm
\(f = u + iv\) ve \(\bar{f} = u - iv\) yazalım. \(f\) analitik olduğundan
\[u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x\]
\(\bar{f}\) analitik olduğundan (bileşenleri \(u\) ve \(-v\)):
\[u_x = -v_y, \qquad u_y = v_x\]
Taraf tarafa toplanırsa \(u_x = 0\) ve \(u_y = 0\); geri konursa \(v_x = v_y = 0\). O hâlde \(f' = u_x + iv_x = 0\) ve Teorem 10.1 gereği \(f\) sabittir.
\(\blacksquare\)
Örnek 10.4 (Modülü Sabitse) \(|f(z)|\) bir \(D\) domeninde sabitse \(f\) de sabittir.
Çözüm
\(|f(z)| = c\) olsun. \(c = 0\) ise \(f \equiv 0\)’dır. \(c \neq 0\) ise \(f\), \(D\)’de hiç sıfırlanmaz ve
\[f(z)\,\overline{f(z)} = c^2 \implies \overline{f(z)} = \frac{c^2}{f(z)}\]
Sağ taraf, sıfırlanmayan analitik fonksiyonun bölümü olarak \(D\)’de analitiktir; yani \(\bar{f}\) de analitiktir. Önceki örneğe göre \(f\) sabittir.
\(\blacksquare\)
Reel türevlenebilir fonksiyonlar esnektir: bir parçasını değiştirip kalanını koruyabilirsiniz. Analitik fonksiyonlar ise kristal gibidir — modülünü sabitlemek, eşleniğini analitik yapmak veya (ileride görüleceği gibi) küçücük bir yayda değerlerini bilmek, fonksiyonun tamamını belirler. Bu katılık kompleks analizin en güçlü teoremlerinin kaynağıdır.
10.5 Alıştırma
Alıştırma 10.1 (Analitiklik Soruları)
\(f(z) = \dfrac{2z + 1}{z(z^2 + 1)}\) fonksiyonunun tekil noktalarını bulunuz.
\(f(z) = \dfrac{z^2+1}{(z + 2)(z^2 + 2z + 2)}\) fonksiyonunun tekil noktalarını bulunuz.
Bir \(D\) domeninde \(f\) analitik ve reel değerliyse sabit olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) İki polinomun bölümü, payda sıfırdan farklı olduğu her noktada analitiktir. Paydayı sıfırlayan noktaları bulalım:
\[z\big(z^2 + 1\big) = 0 \iff z = 0 \quad \text{veya} \quad z^2 = -1 \iff z = 0,\; z = i,\; z = -i\]
Bu üç noktada pay sıfır değildir (\(z = 0\) için \(1\), \(z = \pm i\) için \(1 \pm 2i\)), dolayısıyla sadeleşme yoktur. \(f\), bu noktaların her birinin delinmiş komşuluğunda analitik ama kendisinde analitik olmadığından tekil noktalar
\[z = 0, \qquad z = i, \qquad z = -i\]
noktalarıdır.
b) Paydanın ikinci çarpanının sıfırlarını bulalım:
\[z^2 + 2z + 2 = 0 \implies z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i\]
Payda ayrıca \(z = -2\) için sıfırdır. Payın bu noktalardaki değerleri sıfırdan farklıdır: \(z = -2\) için \(z^2 + 1 = 5\); \(z = -1 \pm i\) için \(z^2 = \mp 2i\) olduğundan \(z^2 + 1 = 1 \mp 2i \neq 0\). Tekil noktalar
\[z = -2, \qquad z = -1 + i, \qquad z = -1 - i\]
c) \(f = u + iv\) yazalım. \(f\) reel değerli olduğundan \(D\)’nin her noktasında \(v(x,y) = 0\)’dır, dolayısıyla \(v\)’nin tüm kısmi türevleri sıfırdır. \(f\) analitik olduğu için Cauchy-Riemann denklemleri geçerlidir:
\[u_x = v_y = 0, \qquad u_y = -v_x = 0\]
Türev formülü artık
\[f'(z) = u_x + i v_x = 0\]
verir; yani \(f'\), \(D\) boyunca özdeş olarak sıfırdır. Türevi bir domende sıfır olan fonksiyon sabit olduğundan \(f\) sabittir.
\(\blacksquare\)
Analitik fonksiyonların bileşenleri sıradan fonksiyonlar değildir: ikisi de Laplace denklemini sağlar. Bu bağlantı bizi harmonik fonksiyonlara götürüyor.