30 Taylor Serileri
Analitik bir fonksiyon, analitik olduğu her diskin merkezinde kuvvet serisine açılır. Bu bölümün teoremi kompleks analizin en kullanışlı sonuçlarındandır: bir kez türevlenebilme, sonsuz bir polinom gibi davranmayı beraberinde getirir.
30.1 Taylor Teoremi
Teorem 30.1 (Taylor Teoremi) \(f\) fonksiyonu, \(z_0\) merkezli \(R_0\) yarıçaplı \(|z - z_0| < R_0\) diski üzerinde analitik olsun. O zaman \(f(z)\), bu diskin her noktasında kuvvet serisi temsiline sahiptir:
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \big(z - z_0\big)^n \qquad \big(|z - z_0| < R_0\big) \tag{1}\]
Katsayılar
\[a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \qquad (n = 0, 1, 2, \dots) \tag{2}\]
biçimindedir. Açık yazımıyla:
\[f(z) = f(z_0) + \frac{f'(z_0)}{1!}(z - z_0) + \frac{f''(z_0)}{2!}(z - z_0)^2 + \cdots \tag{3}\]
İspat
Önce merkezin başlangıç noktasında olduğu \(z_0 = 0\) durumunu kuralım; genel durum sonunda kaydırma ile çıkacak.
\(|z| = r\) olsun ve \(C_0\), pozitif yönlü \(|s| = r_0\) çemberini göstersin; burada \(r < r_0 < R_0\)’dır. \(f\), \(C_0\)’ın içinde ve üzerinde analitik ve \(z\), \(C_0\)’ın içinde olduğundan Cauchy integral formülü uygulanır:
\[f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_0} \frac{f(s)\,ds}{s - z} \tag{4}\]
İntegranddaki \(1/(s - z)\) çarpanını geometrik seriye hazırlayalım:
\[\frac{1}{s - z} = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1 - (z/s)} \tag{5}\]
Geometrik seri özdeşliği, \(z \neq 1\) için
\[\frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{N-1} z^n + \frac{z^N}{1 - z}\]
biçiminde sonlu toplam ve kalan olarak yazılabilir. Burada \(z\) yerine \(z/s\) konursa \((5)\) ifadesi
\[\frac{1}{s - z} = \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{s^{n+1}}\,z^n + z^N\,\frac{1}{(s - z)s^N} \tag{6}\]
olur. İki taraf \(f(s)\) ile çarpılıp \(C_0\) üzerinde \(s\)’ye göre integrallenirse
\[\int_{C_0} \frac{f(s)\,ds}{s - z} = \sum_{n=0}^{N-1}\left(\int_{C_0} \frac{f(s)\,ds}{s^{n+1}}\right) z^n + z^N \int_{C_0} \frac{f(s)\,ds}{(s - z)s^N}\]
Genişletilmiş Cauchy integral formülü
\[\frac{1}{2\pi i}\int_{C_0} \frac{f(s)\,ds}{s^{n+1}} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\]
verdiğinden, her taraf \(1/(2\pi i)\) ile çarpıldığında
\[f(z) = \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,z^n + \rho_N(z) \tag{7}\]
elde edilir; kalan
\[\rho_N(z) = \frac{z^N}{2\pi i}\int_{C_0} \frac{f(s)\,ds}{(s - z)s^N} \tag{8}\]
Geriye \(\lim\limits_{N \to \infty} \rho_N(z) = 0\) göstermek kalır. \(s \in C_0\) için
\[|s - z| \ge \big||s| - |z|\big| = r_0 - r\]
olduğuna dikkat edelim. \(M\), \(|f(s)|\)’nin \(C_0\) üzerindeki maksimum değeri olmak üzere ML eşitsizliği ile
\[\big|\rho_N(z)\big| \le \frac{r^N}{2\pi}\cdot \frac{M}{(r_0 - r)\,r_0^N}\cdot 2\pi r_0 = \frac{M r_0}{r_0 - r}\left(\frac{r}{r_0}\right)^N\]
\(r/r_0 < 1\) olduğundan sağ taraf \(N \to \infty\) iken sıfıra gider; \(z_0 = 0\) durumu kanıtlanmıştır.
Merkezi kaydırma. \(f\), \(|z - z_0| < R_0\) diskinde analitik olsun. \(g(z) = f(z + z_0)\) bileşkesi \(|z| < R_0\) diskinde analitiktir; az önceki sonuç \(g\)’ye uygulanır:
\[g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!}\,z^n \implies f(z + z_0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\,z^n \qquad \big(|z| < R_0\big)\]
Bu denklemde ve geçerlilik koşulunda \(z\) yerine \(z - z_0\) yazılırsa teoremdeki \((1)\) açılımı çıkar.
\(\blacksquare\)
\(z_0 = 0\) özel durumunda seriye Maclaurin serisi denir:
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,z^n \qquad \big(|z| < R_0\big) \tag{9}\]
Bir \(z_0\) noktasında analitik olan her fonksiyon, o nokta civarında Taylor serisine sahiptir: analitiklik bir \(|z - z_0| < \varepsilon\) komşuluğunda geçerlidir ve bu \(\varepsilon\), teoremdeki \(R_0\) olarak iş görür. \(f\) tam ise \(R_0\) istendiği kadar büyük seçilebilir; seri tüm düzlemde \(f(z)\)’ye yakınsar.
Daha keskin ifadeyle: seri, \(z_0\)’dan \(f\)’nin analitik olmadığı en yakın noktaya olan uzaklık yarıçaplı çemberin içinde \(f(z)\)’ye yakınsar.
30.2 Temel Maclaurin Açılımları
Örnek 30.1 (Üstel Fonksiyon) \(f(z) = e^z\) tam olduğundan her \(z\) için geçerli bir Maclaurin serisine sahiptir. \(f^{(n)}(z) = e^z\) ve \(f^{(n)}(0) = 1\) olduğundan
\[e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \qquad (|z| < \infty) \tag{10}\]
\(z = x + i0\) alındığında reel analizden bilinen \(e^x = \sum x^n/n!\) açılımına inilir.
Örnek 30.2 (Açılımdan Açılım Türetmek) \(z^2 e^{3z}\) tam fonksiyonunun Maclaurin serisini bulunuz.
Çözüm
Türev hesaplamak yerine \((10)\) açılımında \(z\) yerine \(3z\) yazıp \(z^2\) ile çarpmak yeterlidir:
\[z^2 e^{3z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}\,z^{n+2} \qquad (|z| < \infty)\]
İndis kaydırılarak (\(n \to n - 2\)) standart biçime getirilir:
\[z^2 e^{3z} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3^{n-2}}{(n-2)!}\,z^{n} \qquad (|z| < \infty)\]
\(\blacksquare\)
Örnek 30.3 (Sinüs ve Kosinüs) \(\sin z\) ve \(\cos z\) fonksiyonlarının Maclaurin serilerini bulunuz.
Çözüm
Üstel tanımdan ve \((10)\) açılımından:
\[\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = \frac{1}{2i}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(iz)^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-iz)^n}{n!}\right] = \frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}\big[1 - (-1)^n\big]\frac{i^n z^n}{n!}\]
\(n\) çiftken \(1 - (-1)^n = 0\)’dır; yalnızca tek indisler hayatta kalır. \(n = 2n + 1\) yazılırsa, \(1 - (-1)^{2n+1} = 2\) ve \(i^{2n+1} = (i^2)^n\,i = (-1)^n i\) olduğundan
\[\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \qquad (|z| < \infty) \tag{11}\]
Serilerin terim terime türetilebilmesi (kuvvet serileriyle işlemler bölümünde kanıtlanacak) kullanılırsa
\[\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\,\frac{2n+1}{(2n+1)!}\,z^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\,\frac{z^{2n}}{(2n)!} \qquad (|z| < \infty) \tag{12}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 30.4 (Hiperbolik Fonksiyonlar) \(\sinh z = -i\sin(iz)\) bağıntısı kullanılarak, \((11)\) açılımında \(z\) yerine \(iz\) yazılıp \(-i\) ile çarpılırsa
\[\sinh z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \qquad (|z| < \infty) \tag{13}\]
Benzer biçimde \(\cosh z = \cos(iz)\) ile \((12)\) açılımından
\[\cosh z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!} \qquad (|z| < \infty) \tag{14}\]
Merkez değiştirmek de kolaydır: \((14)\) açılımında \(z\) yerine \(z + 2\pi i\) yazılıp \(\cosh(z + 2\pi i) = \cosh z\) periyodikliği kullanılırsa, \(z_0 = -2\pi i\) civarındaki Taylor serisi elde edilir:
\[\cosh z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z + 2\pi i)^{2n}}{(2n)!} \qquad (|z| < \infty)\]
30.3 Geometrik Açılım ve Kaydırmalar
Örnek 30.5 (1/(1−z) Açılımı) \(f(z) = \dfrac{1}{1 - z}\) fonksiyonu \(z = 1\)’de analitik değildir; en yakın tekil nokta orada olduğundan Maclaurin serisi \(|z| < 1\) diskinde geçerlidir. Türevler
\[f^{(n)}(z) = \frac{n!}{(1 - z)^{n+1}} \implies f^{(n)}(0) = n!\]
olduğundan katsayılar \(a_n = 1\) çıkar:
\[\frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \qquad (|z| < 1) \tag{15}\]
Bu, geometrik serinin toplam formülünün Taylor teoremiyle ikinci bir kanıtıdır.
Bu tek açılımdan, değişken değiştirerek başka temsiller üretilir:
- \(z \mapsto -z\) (ve \(|-z| < 1 \iff |z| < 1\)):
\[\frac{1}{1 + z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n \qquad (|z| < 1)\]
- \(z \mapsto 1 - z\) (geçerlilik koşulu \(|1 - z| < 1\), yani \(|z - 1| < 1\)):
\[\frac{1}{z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (z - 1)^n \qquad \big(|z - 1| < 1\big)\]
Bu ikincisi, \(1/z\) fonksiyonunun \(z_0 = 1\) civarındaki Taylor serisidir — \(z = 0\) tekil noktasına olan uzaklık, yarıçapı belirler.
Örnek 30.6 (Negatif Kuvvetlerin İlk Görünüşü) \[f(z) = \frac{1 + 2z^2}{z^3 + z^5}\]
fonksiyonunu \(z\)’nin kuvvetlerini içeren bir seriye açınız.
Çözüm
\(f\), \(z = 0\)’da analitik olmadığından Maclaurin serisi yoktur. Yine de cebirsel bir düzenleme sonuç verir:
\[f(z) = \frac{1}{z^3}\cdot\frac{2(1 + z^2) - 1}{1 + z^2} = \frac{1}{z^3}\left(2 - \frac{1}{1 + z^2}\right)\]
\((15)\) açılımında \(z\) yerine \(-z^2\) konursa
\[\frac{1}{1 + z^2} = 1 - z^2 + z^4 - z^6 + z^8 - \cdots \qquad (|z| < 1)\]
Yerine yazalım: \(0 < |z| < 1\) için
\[f(z) = \frac{1}{z^3}\Big(2 - 1 + z^2 - z^4 + z^6 - z^8 + \cdots\Big) = \frac{1}{z^3} + \frac{1}{z} - z + z^3 - z^5 + \cdots\]
\(1/z^3\) ve \(1/z\) terimleri, \(z\)’nin negatif kuvvetleridir. Böyle açılımların kuramı bir sonraki bölümün konusudur.
\(\blacksquare\)
30.4 Alıştırma
Alıştırma 30.1 (Taylor Serisi Alıştırmaları)
\(f(z) = \dfrac{z}{z^4 + 9}\) fonksiyonunun Maclaurin serisini bulunuz ve geçerlilik yarıçapını belirleyiniz.
\(\dfrac{1}{1 - z}\) fonksiyonunun \(z_0 = i\) civarındaki Taylor serisini bulunuz; geçerlilik koşulunu yazınız.
\(\cos z\) fonksiyonunun \(z_0 = \pi/2\) civarındaki Taylor serisini, \(\cos z = -\sin(z - \pi/2)\) özdeşliğini kullanarak elde ediniz.
Çözüm
a) Türev almak yerine geometrik seriyi kullanalım. Paydayı \(9\) parantezine alalım:
\[\frac{z}{z^4 + 9} = \frac{z}{9}\cdot\frac{1}{1 + \dfrac{z^4}{9}} = \frac{z}{9}\cdot\frac{1}{1 - \left(-\dfrac{z^4}{9}\right)}\]
\(\dfrac{1}{1-w} = \sum w^n\) açılımını \(w = -\dfrac{z^4}{9}\) ile uygulayalım:
\[\frac{z}{z^4+9} = \frac{z}{9}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{4n}}{9^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{9^{n+1}}\,z^{4n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{2n+2}}\,z^{4n+1}\]
Geçerlilik koşulu \(|w| < 1\), yani \(|z|^4 < 9\)’dur:
\[|z| < \sqrt{3}\]
Bu yarıçap, beklendiği gibi başlangıcın tekil noktalara olan uzaklığıdır: \(z^4 = -9\) köklerinin modülü \(9^{1/4} = \sqrt3\)’tür.
b) Merkezi \(z_0 = i\) yapmak için paydayı \(z - i\) cinsinden yazalım:
\[1 - z = (1 - i) - (z - i) = (1-i)\left[1 - \frac{z-i}{1-i}\right]\]
Geometrik seriyi \(w = \dfrac{z-i}{1-i}\) ile uygulayalım:
\[\frac{1}{1-z} = \frac{1}{1-i}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-i}{1-i}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-i)^n}{(1-i)^{n+1}}\]
Geçerlilik koşulu \(|w| < 1\)’dir:
\[|z - i| < |1 - i| = \sqrt{2}\]
Yine tekil noktaya (\(z = 1\)) olan uzaklığı bulduk.
c) \(w = z - \dfrac{\pi}{2}\) yazalım. Verilen özdeşlik \(\cos z = -\sin w\) olduğunu söyler. Sinüsün Maclaurin serisi tüm düzlemde geçerlidir:
\[\sin w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,w^{2n+1}\]
Başına eksi koyup \(w\)’yi geri yazalım:
\[\cos z = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(z - \frac{\pi}{2}\right)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}\left(z - \frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}\]
\(\cos z\) tam olduğundan seri her \(z\) için geçerlidir. İlk terimler açık yazıldığında
\[\cos z = -\left(z - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{6}\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^3 - \cdots\]
elde edilir; \(z = \pi/2\)’de fonksiyonun sıfırlanması ve türevinin \(-1\) olması bu açılımdan doğrudan okunur.
\(\blacksquare\)
Taylor serisi, fonksiyonun analitik olduğu diski gerektiriyordu. Peki tekil nokta merkezdeyse? Yanıt, negatif kuvvetlere kapı açan bir genellemedir: Laurent serileri.