28 Maksimum Modül İlkesi
Analitik bir fonksiyonun modülü bir tepe noktası yapabilir mi? Bu bölümün yanıtı kesindir: hayır — bir domenin iç noktasında modül maksimuma ulaşırsa fonksiyon sabittir. Sonuç, uygulamada son derece pratiktir: kapalı bir bölgede en büyük değeri aramak için yalnızca sınıra bakmak yeterlidir.
28.1 Gauss Ortalama Değer Teoremi
Teorem 28.1 (Gauss Ortalama Değer Teoremi) \(f\), \(z_0\) merkezli \(\rho\) yarıçaplı çemberin içinde ve üzerinde analitik olsun. O zaman \(f\)’nin merkezdeki değeri, çember üzerindeki değerlerinin aritmetik ortalamasıdır:
\[f(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)\,d\theta \tag{1}\]
İspat
Cauchy integral formülünü \(C_\rho\): \(|z - z_0| = \rho\) çemberi üzerinde yazalım:
\[f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_\rho} \frac{f(z)\,dz}{z - z_0}\]
\(z = z_0 + \rho e^{i\theta}\) \((0 \le \theta \le 2\pi)\) parametrizasyonuyla \(dz = i\rho e^{i\theta}\,d\theta\) ve \(z - z_0 = \rho e^{i\theta}\) olduğundan
\[f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} \frac{f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)}{\rho e^{i\theta}}\,i\rho e^{i\theta}\,d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)\,d\theta\]
\(\blacksquare\)
28.2 Yerel Maksimum Lemması
Teorem 28.2 (Modül Lemması) \(f\), \(|z - z_0| < \varepsilon\) komşuluğunda analitik olsun. Bu komşuluğun her \(z\) noktasında
\[|f(z)| \le |f(z_0)|\]
ise \(f(z)\), komşuluk boyunca sabit \(f(z_0)\) değerine sahiptir.
İspat
\(z_1\), komşulukta \(z_0\)’dan farklı bir nokta ve \(\rho = |z_1 - z_0|\) olsun. \(C_\rho\), \(z_0\) merkezli, \(z_1\)’den geçen pozitif yönlü çember olmak üzere Teorem 28.1 uygulanır:
\[\big|f(z_0)\big| \le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \big|f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)\big|\,d\theta \tag{2}\]
Öte yandan hipotez gereği
\[\big|f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)\big| \le \big|f(z_0)\big| \qquad (0 \le \theta \le 2\pi) \tag{3}\]
olduğundan
\[\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \big|f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)\big|\,d\theta \le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \big|f(z_0)\big|\,d\theta = \big|f(z_0)\big| \tag{4}\]
\((2)\) ve \((4)\) birlikte, aradaki ifadelerin eşit olmasını zorlar:
\[\int_0^{2\pi} \Big[\big|f(z_0)\big| - \big|f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)\big|\Big]\,d\theta = 0\]
İntegrand \(\theta\)’ya göre süreklidir ve \((3)\) gereği negatif değildir; integrali sıfır olan böyle bir fonksiyon özdeş olarak sıfırdır:
\[\big|f\big(z_0 + \rho e^{i\theta}\big)\big| = \big|f(z_0)\big| \qquad (0 \le \theta \le 2\pi) \tag{5}\]
Özel olarak \(|f(z_1)| = |f(z_0)|\). \(z_1\), delinmiş komşulukta keyfi olduğundan \(|f(z)| = |f(z_0)|\) eşitliği tüm komşulukta geçerlidir; yani \(|f|\) bir domende sabittir. Modülü sabit olan analitik fonksiyonun kendisi de sabittir; dolayısıyla komşuluktaki her \(z\) için \(f(z) = f(z_0)\)’dır.
\(\blacksquare\)
28.3 Maksimum Modül İlkesi
Teorem 28.3 (Maksimum Modül İlkesi) Bir \(f\) fonksiyonu bir \(D\) domeninde analitik ve sabit değilse, \(|f(z)|\) modülü \(D\)’de maksimum değere sahip değildir. Yani \(D\)’deki tüm \(z\) noktaları için \(|f(z)| \le |f(z_0)|\) olacak biçimde bir \(z_0 \in D\) noktası yoktur.
İspat
Böyle bir \(z_0\) noktasının var olduğunu varsayıp \(f\)’nin \(D\) boyunca sabit olmak zorunda kalacağını göstereceğiz.
\(P\), \(D\)’nin herhangi bir başka noktası olsun. \(D\) bir domen olduğundan \(z_0\)’ı \(P\)’ye bağlayan ve tamamen \(D\)’de kalan bir \(L\) çokgensel yolu vardır. \(d\), \(L\) üzerindeki noktalardan \(D\)’nin sınırına olan en kısa uzaklığı göstersin (\(D\) tüm düzlemse \(d\) herhangi bir pozitif değer olabilir). \(L\) üzerinde
\[z_0,\, z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_{n-1},\, z_n = P, \qquad |z_k - z_{k-1}| < d\]
koşulunu sağlayan sonlu bir nokta dizisi seçelim ve her \(z_k\) merkezli, \(d\) yarıçaplı \(N_k\) komşuluğunu alalım. Her komşuluk \(D\)’nin içindedir ve her \(N_k\)’nın merkezi \(N_{k-1}\)’in içinde kalır.
\(|f(z)|\), \(z_0\)’da maksimum değere sahip olduğundan bu değer \(N_0\) üzerinde de maksimumdur; Teorem 28.2 gereği \(f(z)\), \(N_0\) boyunca sabit \(f(z_0)\) değerini alır. Özellikle \(f(z_1) = f(z_0)\)’dır. O hâlde \(N_1\)’in her \(z\) noktasında \(|f(z)| \le |f(z_1)|\) olur ve lemma yeniden uygulanabilir:
\[f(z) = f(z_1) = f(z_0) \qquad (z \in N_1)\]
\(z_2 \in N_1\) olduğundan \(f(z_2) = f(z_0)\)’dır ve zincir aynı biçimde ilerler. Sonunda \(N_n\) komşuluğuna varılır ve \(f(z_n) = f(z_0)\), yani \(f(P) = f(z_0)\) elde edilir. \(P\), \(D\)’de keyfi olduğundan \(f\), \(D\) boyunca sabittir — hipotezle çelişir.
\(\blacksquare\)
28.4 Kapalı Bölgelerde Sonuç
Kapalı ve sınırlı bir \(R\) bölgesinin içinde analitik ve \(R\) üzerinde sürekli olan bir \(f\) fonksiyonunun modülü, kapalı sınırlı bölgede maksimumuna ulaşır. Maksimum modül ilkesi bu maksimumun nerede olduğunu söyler:
Teorem 28.4 (Maksimum Sınırdadır) \(f\), kapalı ve sınırlı bir \(R\) bölgesinde sürekli, \(R\)’nin içinde analitik ve sabit olmasın. O zaman \(|f(z)|\)’nin \(R\) üzerindeki maksimum değeri — ki daima ulaşılır — asla iç bölgede değil, \(R\)’nin sınırı üzerinde bir yerdedir.
Örnek 28.1 (Dikdörtgen Üzerinde Sinüsün Modülü) \(R\), \(0 \le x \le \pi\), \(0 \le y \le 1\) dikdörtgen bölgesi olsun. \(f(z) = \sin z\) tam fonksiyonunun modülünün \(R\) üzerindeki maksimumunu bulunuz.
Çözüm
Teoreme göre maksimum sınırdadır; hangi sınır noktasında olduğunu doğrudan hesapla görelim. Sinüsün modül formülüyle
\[|f(z)| = \sqrt{\sin^2 x + \sinh^2 y}\]
\(\sin^2 x\) terimi \(0 \le x \le \pi\) aralığında \(x = \pi/2\) iken en büyüktür; artan bir fonksiyon olan \(\sinh^2 y\) ise \(0 \le y \le 1\) aralığında \(y = 1\) iken en büyüktür. Dolayısıyla maksimum
\[z = \frac{\pi}{2} + i, \qquad |f(z)| = \sqrt{1 + \sinh^2 1} = \cosh 1\]
sınır noktasında gerçekleşir; bu nokta gerçekten dikdörtgenin sınırındadır, iç noktası değildir.
\(\blacksquare\)
28.5 Harmonik Fonksiyonlara Uygulanışı
Teorem 28.5 (Harmonik Bileşen İçin Maksimum) \(f = u + iv\), kapalı sınırlı bir \(R\) bölgesinde sürekli, içinde analitik ve sabit olmasın. O zaman \(u(x, y)\) harmonik bileşeninin \(R\) üzerindeki maksimum değeri de sınır üzerinde alınır, iç bölgede değil.
İspat
Bileşke fonksiyon \(g(z) = e^{f(z)}\), \(R\)’de sürekli, içinde analitiktir ve sabit değildir. Modülü
\[|g(z)| = e^{u(x,y)}\]
olduğundan Teorem 28.4 gereği \(|g|\)’nin maksimumu sınırdadır. Üstel fonksiyon artan olduğundan \(e^{u}\)’nun maksimuma ulaştığı nokta, \(u\)’nun da maksimuma ulaştığı noktadır.
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, ısı iletimi ve potansiyel kuramının temel fiziksel sezgisini matematikleştirir: durağan bir sıcaklık dağılımında en sıcak nokta, cismin içinde değil, daima yüzeyinde bulunur.
28.6 Alıştırma
Alıştırma 28.1 (Maksimum Modül Alıştırmaları)
\(R\), \(0 \le x \le 1\), \(0 \le y \le 1\) karesi olsun. \(f(z) = z^2\) için \(|f(z)|\)’nin \(R\) üzerindeki maksimumunun hangi noktada alındığını belirleyiniz.
\(R\), \(|z| \le 1\) kapalı diski olsun. \(f(z) = e^{z}\) için \(|f(z)|\)’nin maksimum değerinin \(e\) olduğunu ve \(z = 1\) noktasında alındığını gösteriniz.
Maksimum modül ilkesinin minimum için doğrudan geçerli olmadığını, \(f(z) = z\) fonksiyonunu \(|z| \le 1\) diskinde inceleyerek açıklayınız; sıfırlanmayan fonksiyonlar için \(1/f\) üzerinden minimum ilkesinin nasıl kurulacağını tartışınız.
Çözüm
a) \(f(z) = z^2\) tam bir fonksiyondur ve \(R\) kapalı ve sınırlıdır; maksimum modül ilkesi gereği \(|f|\) maksimumunu sınırda alır. Modülü sadeleştirelim:
\[|f(z)| = |z^2| = |z|^2 = x^2 + y^2\]
Yani \(|f|\) maksimumunu, kare üzerinde başlangıca en uzak noktada alır. \(0 \le x \le 1\) ve \(0 \le y \le 1\) için \(x^2 + y^2\) ifadesi her iki değişkende de artan olduğundan en büyük değer \(x = y = 1\) köşesindedir:
\[\max_{z \in R} |f(z)| = |1 + i|^2 = 2 \qquad (z = 1 + i)\]
b) Modül yalnızca reel kısma bağlıdır:
\[|f(z)| = \big|e^{z}\big| = e^{x}\]
Reel üstel fonksiyon artan olduğundan maksimum, \(x\)’in en büyük olduğu noktadadır. \(|z| \le 1\) diskinde \(x \le |z| \le 1\) olup eşitlik yalnızca \(z = 1\) için sağlanır:
\[\max_{|z| \le 1} \big|e^z\big| = e^1 = e \qquad (z = 1)\]
Maksimumun sınır noktasında çıkması, teoremin öngördüğü davranıştır.
c) \(f(z) = z\) fonksiyonunu \(|z| \le 1\) diskinde ele alalım. \(|f(z)| = |z|\) ifadesi minimumunu \(z = 0\) noktasında alır ve değeri \(0\)’dır. Bu nokta diskin iç noktasıdır; demek ki “modül minimumunu da sınırda alır” biçiminde bir ilke doğru değildir.
Aksayan tek şey \(f\)’nin sıfırlanmasıdır. \(f\), bir domende analitik, kapanışında sürekli ve hiçbir yerde sıfır değilse \(g = 1/f\) de aynı bölgede analitik ve süreklidir. Maksimum modül ilkesi \(g\)’ye uygulanırsa \(|g| = 1/|f|\) maksimumunu sınırda alır; bir kesrin paydası küçüldükçe kendisi büyüdüğünden bu, tam olarak
\[\min_{z \in \overline{D}} |f(z)| \quad \text{sınırda alınır}\]
demektir. Böylece minimum ilkesi, “sıfırlanmama” koşulu eklendiğinde geri kazanılır. \(f(z) = z\) örneğinde bu koşul sağlanmadığı için sonuç da geçerli değildir.
\(\blacksquare\)
Cauchy kuramı tamamlandı. Bir sonraki kısımda analitik fonksiyonların en verimli temsiline geçiyoruz: sonsuz toplamlar. Diziler ve seriler bölümüyle başlıyoruz.