25 Basit ve Çok Bağlantılı Domenler
Cauchy-Goursat teoremi tek bir basit kapalı çevre için kuruldu. Uygulamada ise iki genişlemeye ihtiyaç duyarız: eğri kendini kesiyorsa ne olur, ve domende delikler varsa integral nasıl davranır? Bu bölüm iki soruyu da yanıtlıyor; ikincisinin yanıtı, rezidü kuramının bütün hesap tekniğini önceden haber verir.
25.1 Basit Bağlantılı Domenler
Tanım 25.1 (Basit Bağlantılı Domen) Bir \(D\) domeni, içindeki her basit kapalı çevre yalnızca \(D\)’nin noktalarını çevreliyorsa basit bağlantılıdır. Sezgisel olarak: \(D\)’nin “deliği” yoktur.
Bir disk, bir yarı düzlem ve tüm düzlem basit bağlantılıdır. Buna karşılık aynı merkezli iki çember arasında kalan halka domen basit bağlantılı değildir: halkanın içindeki bir çember, halkaya ait olmayan noktaları (merkezdeki deliği) çevreler.
Teorem 25.1 (Basit Bağlantılı Domende Cauchy-Goursat) \(f\) fonksiyonu basit bağlantılı bir \(D\) domeninde analitikse, \(D\)’deki her kapalı \(C\) çevresi için
\[\int_C f(z)\,dz = 0 \tag{1}\]
Burada \(C\)’nin basit olması gerekmez; kendini kesebilir.
İspat
\(C\) basit kapalıysa sonuç doğrudan Cauchy-Goursat teoremidir: \(C\), \(D\)’nin içinde kaldığından \(f\), \(C\)’nin üstünde ve içinde analitiktir.
\(C\) kapalı olup kendini sonlu sayıda noktada kesiyorsa, \(C\) sonlu sayıda basit kapalı çevreden oluşur. Örneğin dört ilmekli bir eğri için \(C_1, C_2, C_3, C_4\) basit kapalı çevreleri \(C\)’yi oluşturur; her birine Cauchy-Goursat uygulanırsa
\[\int_C f(z)\,dz = \sum_{k=1}^{4} \int_{C_k} f(z)\,dz = 0\]
Kapalı çevrenin kendini sonsuz çoklukta noktada kestiği durumda incelikler doğar; teorem yine geçerlidir, ancak kanıtı farklı bir yaklaşım ister.
\(\blacksquare\)
Örnek 25.1 (Diskte Kapalı Çevre) \(C\), açık disk \(|z| < 2\) içindeki herhangi bir kapalı çevre olsun (kendini kesebilir). O zaman
\[\int_C \frac{z\,e^{z}}{\big(z^2 + 9\big)^5}\,dz = 0\]
Çünkü disk basit bağlantılı bir domendir ve integrandın tekil noktaları \(z = \pm 3i\) diskin dışındadır.
25.2 Ters Türevin Varlığı
Teorem 25.2 (Basit Bağlantılı Domende Ters Türev) Basit bağlantılı bir \(D\) domeninde analitik olan bir \(f\) fonksiyonunun \(D\)’de her yerde bir ters türevi vardır.
İspat
\(f\), \(D\)’de analitik olduğundan süreklidir; Teorem 25.1 gereği \(D\)’deki her kapalı çevre üzerinde integrali sıfırdır. Ters türev teoreminin (c) \(\Rightarrow\) (a) yönü, \(D\)’de bir ters türevin var olduğunu verir.
\(\blacksquare\)
Sonlu düzlem basit bağlantılı olduğundan bu, hemen şunu söyler: her tam fonksiyonun tüm düzlemde bir ters türevi vardır.
25.3 Çok Bağlantılı Domenler
Tanım 25.2 (Çok Bağlantılı Domen) Basit bağlantılı olmayan domene çok bağlantılı denir.
Aşağıdaki teorem, Cauchy-Goursat teoreminin delikli domenlere uyarlamasıdır. Fikri şudur: dış çevre boyunca dolaşırken, iç deliklerin etrafında ters yönde dolaşılırsa toplam sıfırlanır.
Teorem 25.3 (Çok Bağlantılı Domende Cauchy-Goursat) Aşağıdaki koşullar sağlansın:
\(C\) pozitif yönlü basit kapalı bir çevredir;
\(C_k\) \((k = 1, 2, \dots, n)\) çevreleri \(C\)’nin içinde kalan, tümü negatif yönlü, ayrık ve içleri ortak noktaya sahip olmayan basit kapalı çevrelerdir.
\(f\) fonksiyonu bu çevrelerin tümü üzerinde ve \(C\)’nin içinde her \(C_k\)’nın dışında kalan noktalardan oluşan kapalı bölgede analitikse
\[\int_C f(z)\,dz + \sum_{k=1}^{n} \int_{C_k} f(z)\,dz = 0 \tag{2}\]
İspat
Dış çevre \(C\)’yi iç çevre \(C_1\)’e bağlayan, uç uca eklenmiş doğru parçalarından oluşan bir \(L_1\) çokgensel yolu çizelim; \(C_1\)’i \(C_2\)’ye bağlayan \(L_2\), ve bu şekilde devam ederek \(C_n\)’i \(C\)’ye bağlayan \(L_{n+1}\) yolları alınsın.
Bu kesikler, bölgeyi iki basit kapalı çevrenin — \(\Gamma_1\) ve \(\Gamma_2\) — çevrelediği iki parçaya ayırır. Her \(\Gamma\), çokgensel yolların ve \(C\) ile \(C_k\)’ların parçalarının birleşimidir ve öyle yönlendirilebilir ki, üzerinde yürürken çevrelenen bölge daima solda kalsın.
\(f\), her iki çevrenin üzerinde ve içinde analitik olduğundan Cauchy-Goursat teoremi uygulanır:
\[\int_{\Gamma_1} f(z)\,dz = 0, \qquad \int_{\Gamma_2} f(z)\,dz = 0\]
İki integral toplandığında, her \(L_k\) yolu iki kez ve zıt yönlerde katedildiğinden bu parçaların katkıları birbirini yok eder; geriye yalnızca \(C\) ve \(C_k\)’lar boyunca alınan integraller kalır. Bu da tam olarak \((2)\) eşitliğidir.
\(\blacksquare\)
25.4 Yolun Deformasyonu İlkesi
Teorem 25.4 (Yolun Deformasyonu) \(C_1\) ve \(C_2\) pozitif yönlü basit kapalı çevreler ve \(C_1\), \(C_2\)’nin içinde olsun. \(f\) fonksiyonu bu iki çevre ve aralarındaki tüm noktalardan oluşan kapalı bölgede analitikse
\[\int_{C_2} f(z)\,dz = \int_{C_1} f(z)\,dz \tag{3}\]
İspat
Teorem 25.3 tek bir iç çevreyle uygulanır; iç çevre negatif yönlü alınmalıdır:
\[\int_{C_2} f(z)\,dz + \int_{-C_1} f(z)\,dz = 0\]
\(\displaystyle\int_{-C_1} f\,dz = -\int_{C_1} f\,dz\) olduğundan istenen eşitlik çıkar.
\(\blacksquare\)
Bu sonuca yolun deformasyonu ilkesi denir: \(C_1\) çevresi, \(f\)’nin analitik olduğu noktalardan geçerek sürekli biçimde \(C_2\)’ye deforme edilirse, \(f\)’nin çevre üzerindeki integrali hiç değişmez. İntegralin değeri eğrinin ayrıntılı biçimine değil, hangi tekil noktaları çevrelediğine bağlıdır — rezidü kuramının bütün hesap mantığı bu gözlemin üzerine kurulur.
Örnek 25.2 (Orijini Çevreleyen Her Çevre) \(C\), orijini çevreleyen herhangi bir pozitif yönlü basit kapalı çevre olsun. O zaman
\[\int_C \frac{dz}{z} = 2\pi i\]
Çözüm
Orijin merkezli ve tamamen \(C\)’nin içinde kalacak kadar küçük yarıçaplı, pozitif yönlü bir \(C_0\) çemberi alalım. \(f(z) = 1/z\) fonksiyonu \(z = 0\) dışında her yerde analitik olduğundan, iki çevre arasındaki kapalı bölgede analitiktir ve Teorem 25.4 uygulanır:
\[\int_C \frac{dz}{z} = \int_{C_0} \frac{dz}{z} = 2\pi i\]
Son değer, çember üzerinde doğrudan hesapla bulunmuştu. Dikkat edilecek nokta: \(C\) ne kadar çarpık olursa olsun, orijini bir kez çevrelediği sürece sonuç değişmez.
\(\blacksquare\)
25.5 Alıştırma
Alıştırma 25.1 (Bağlantılılık Alıştırmaları)
\(C\), \(|z| = 3\) pozitif yönlü çemberi olmak üzere \(\displaystyle\int_C \frac{dz}{z - 2}\) integralini, \(z = 2\) merkezli küçük bir çembere deforme ederek hesaplayınız.
\(C\), \(|z| = 2\) pozitif yönlü çemberi olsun. \(\displaystyle\int_C \frac{dz}{z^2 - 1}\) integralinin, \(z = 1\) ve \(z = -1\) çevresindeki iki küçük çember üzerindeki integrallerin toplamına eşit olduğunu gerekçelendiriniz.
\(|z| > 0\) delinmiş düzleminin neden basit bağlantılı olmadığını, \(1/z\) fonksiyonunun orada ters türevi bulunmadığı gerçeğiyle ilişkilendirerek açıklayınız.
Çözüm
a) İntegrandın tek tekil noktası \(z = 2\)’dir ve \(C\)’nin içindedir. \(C_0\), \(z = 2\) merkezli, tamamen \(C\)’nin içinde kalan pozitif yönlü küçük bir çember olsun (ör. yarıçapı \(\rho < 1\)). İki çevre arasındaki halkada integrand analitik olduğundan deformasyon ilkesi
\[\int_C \frac{dz}{z-2} = \int_{C_0} \frac{dz}{z-2}\]
verir. Sağdaki integral doğrudan hesaplanır: \(z = 2 + \rho e^{i\theta}\) \((0 \le \theta \le 2\pi)\) alındığında \(dz = i\rho e^{i\theta}d\theta\) ve \(z - 2 = \rho e^{i\theta}\) olduğundan yarıçap sadeleşir:
\[\int_{C_0} \frac{dz}{z - 2} = \int_0^{2\pi} \frac{i\rho e^{i\theta}}{\rho e^{i\theta}}\,d\theta = i\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi i\]
Yarıçapın hiç görünmemesi, deformasyon ilkesinin somut kanıtıdır:
\[\int_C \frac{dz}{z - 2} = 2\pi i\]
b) İntegrandın tekil noktaları \(z = 1\) ve \(z = -1\)’dir; ikisi de \(|z| = 2\) çemberinin içindedir. \(C_1\) ve \(C_2\), sırasıyla bu noktaların çevresinde birbirini ve \(C\)’yi kesmeyen, pozitif yönlü küçük çemberler olsun. \(C\)’nin içinde ama \(C_1\) ile \(C_2\)’nin dışında kalan bölge, iki delikli çok bağlantılı bir domendir ve integrand orada analitiktir. Çok bağlantılı domenler teoremi tam olarak bu durumu kapsar. Teoremde iç çevreler negatif yönlüdür; \(\int_{-C_k} f\,dz = -\int_{C_k} f\,dz\) olduğundan \((2)\) eşitliğindeki bu terimler sağa geçirilince
\[\int_C \frac{dz}{z^2 - 1} = \int_{C_1} \frac{dz}{z^2-1} + \int_{C_2} \frac{dz}{z^2-1}\]
Değerleri de bulalım. Basit kesirlere ayıralım:
\[\frac{1}{z^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z+1}\right)\]
\(C_1\) üzerinde ikinci terim analitiktir (tekil noktası \(-1\) dışarıda kalır), dolayısıyla integrali sıfırdır; birinci terim (a) şıkkındaki hesabı verir:
\[\int_{C_1} \frac{dz}{z^2 - 1} = \frac{1}{2}\,(2\pi i) = \pi i\]
Benzer biçimde \(C_2\) üzerinde yalnızca ikinci terim katkı yapar:
\[\int_{C_2} \frac{dz}{z^2-1} = -\frac{1}{2}\,(2\pi i) = -\pi i\]
Toplam sıfırdır: \(\displaystyle\int_C \frac{dz}{z^2-1} = 0\). Sonucun sıfır çıkması, integralin kendiliğinden yok olduğu anlamına gelmez; iki deliğin katkıları birbirini götürmüştür.
c) Basit bağlantılı bir domende, domende kalan her basit kapalı çevrenin içi de domene aittir. Delinmiş düzlemde \(|z| = 1\) çemberini alalım: çember domendedir, ama içindeki \(z = 0\) noktası değildir. Demek ki delinmiş düzlem basit bağlantılı değildir.
Bu geometrik gözlemin analitik karşılığı \(1/z\) fonksiyonudur. Basit bağlantılı bir domende analitik olan her fonksiyonun kapalı çevre integralleri sıfırdır ve üçlü denklik teoremi gereği fonksiyonun orada bir ters türevi bulunur. Oysa \(1/z\) delinmiş düzlemde analitik olduğu hâlde
\[\int_{|z|=1} \frac{dz}{z} = 2\pi i \neq 0\]
olduğundan bir ters türevi olamaz. Delinmiş düzlem basit bağlantılı olsaydı bu imkânsızdı. Logaritmanın tek bir dalla tüm delinmiş düzlemde tanımlanamamasının — her dal için bir kesim atmak zorunda kalmamızın — kaynağı da aynı topolojik engeldir.
\(\blacksquare\)
Elimizde artık güçlü bir araç var: analitiklik, kapalı çevre integrallerini sıfırlıyor. Bir sonraki bölümde bu aracı ters çevirip şaşırtıcı bir sonuç elde edeceğiz — bir fonksiyonun iç noktalardaki değerleri, yalnızca sınırdaki değerleriyle belirlenir: Cauchy integral formülü.