4 Kompleks Sayıların Kökleri
Reel sayılarda \(x^2 = -1\) çözümsüzdü; kompleks sayılarda ise durum tam tersine döner: sıfırdan farklı her sayının tam \(n\) tane \(n\)-inci kökü vardır. Üstel form bu kökleri hem bulur hem de geometrilerini gösterir: hepsi bir çember üzerinde, düzgün bir çokgenin köşelerindedir.
4.1 Üstel Formların Eşitliği
Kök almanın anahtarı, iki üstel formun ne zaman aynı sayıyı temsil ettiğini bilmektir:
\[r_1 e^{i\theta_1} = r_2 e^{i\theta_2} \iff r_1 = r_2 \;\text{ ve }\; \theta_1 = \theta_2 + 2k\pi \;\; (k \in \mathbb{Z})\]
Modüller eşit olmalı; argümanlar ise ancak \(2\pi\)’nin bir tam katı kadar farklı olabilir.
4.2 \(n\)-inci Köklerin Bulunması
\(z_0 = r_0 e^{i\theta_0} \neq 0\) verilsin ve \(z^n = z_0\) denklemini çözelim. \(z = re^{i\theta}\) yazılırsa denklem
\[r^n e^{in\theta} = r_0 e^{i\theta_0}\]
olur. Eşitlik ölçütüne göre \(r^n = r_0\) ve \(n\theta = \theta_0 + 2k\pi\); yani
\[r = \sqrt[n]{r_0}, \qquad \theta = \frac{\theta_0}{n} + \frac{2k\pi}{n} \qquad (k \in \mathbb{Z})\]
Burada \(\sqrt[n]{r_0}\), pozitif reel sayının bilinen tek pozitif köküdür. \(k\)’nin ardışık \(n\) değeri farklı noktalar üretir; \(k\)’ye \(n\) eklemek argümanı \(2\pi\) artırdığından aynı noktaya döner.
Teorem 4.1 (n-inci Kökler) \(z_0 = r_0 e^{i\theta_0} \neq 0\) sayısının tam \(n\) tane \(n\)-inci kökü vardır:
\[c_k = \sqrt[n]{r_0}\, \exp\!\left[i\left(\frac{\theta_0}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)\right] \qquad (k = 0, 1, \dots, n-1)\]
Kökler, \(|z| = \sqrt[n]{r_0}\) çemberi üzerinde eşit aralıklarla dizilir ve \(n \ge 3\) için düzgün bir \(n\)-genin köşelerini oluşturur.
Köklerin kümesi \(z_0^{1/n}\) ile gösterilir. \(\theta_0 = \operatorname{Arg} z_0\) seçilerek elde edilen \(c_0\) köküne esas kök denir.
\(\omega_n = \exp\!\left(i\dfrac{2\pi}{n}\right)\) yazılırsa tüm kökler tek kökten üretilir:
\[c_k = c_0\, \omega_n^k \qquad (k = 0, 1, \dots, n-1)\]
Geometrik okuma: \(\omega_n\) ile çarpmak \(2\pi/n\) kadar döndürmektir; kökler, \(c_0\)’ın ardışık döndürmeleridir.
4.3 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 4.1 (Küp Kökler) \((-8i)^{1/3}\) köklerinin tümünü bulunuz.
Çözüm
\(-8i = 8\exp\!\left[i\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right]\) olduğundan kökler
\[c_k = 2\exp\!\left[i\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\right)\right] \qquad (k = 0, 1, 2)\]
Tek tek yazalım:
\[c_0 = 2e^{-i\pi/6} = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) = \sqrt{3} - i\]
\[c_1 = 2e^{i\pi/2} = 2i\]
\[c_2 = 2e^{i7\pi/6} = -\sqrt{3} - i\]
Üç kök, \(|z| = 2\) çemberi üzerinde eşkenar üçgenin köşeleridir. Sağlama: \((2i)^3 = 8i^3 = -8i\).
\(\blacksquare\)
Örnek 4.2 (Birim Kökleri) \(1\) sayısının \(n\)-inci köklerini bulunuz.
Çözüm
\(1 = 1 \cdot e^{i0}\) olduğundan
\[1^{1/n} = \exp\!\left(i\frac{2k\pi}{n}\right) = 1,\; \omega_n,\; \omega_n^2,\; \dots,\; \omega_n^{n-1}\]
Kökler birim çember üzerindedir ve \(1\) noktası her zaman köşelerden biridir. \(n = 2\) için \(\pm 1\); \(n = 3\) için eşkenar üçgen \(1\), \(\big(-1 \pm \sqrt{3}i\big)/2\); \(n = 4\) için kare \(\pm 1, \pm i\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.3 (Karekökler ve Yarım Açı) \(\big(\sqrt{3} + i\big)^{1/2}\) köklerini \(x + iy\) biçiminde yazınız.
Çözüm
\(\sqrt{3} + i = 2e^{i\pi/6}\) olduğundan iki karekök
\[c_k = \sqrt{2}\, \exp\!\left[i\left(\frac{\pi}{12} + k\pi\right)\right] \qquad (k = 0, 1)\]
biçimindedir; yani \(c_1 = -c_0\). Esas kökü açmak için yarım açı formüllerini kullanalım:
\[\cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 + \cos(\pi/6)}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\]
\[\sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 - \cos(\pi/6)}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\]
Böylece
\[c_0 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + i\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)\]
ve kökler \(\pm c_0\) olur.
\(\blacksquare\)
4.4 Alıştırma
Alıştırma 4.1 (Kök Hesapları)
\((-16)^{1/4}\) köklerinin tümünü bulunuz ve \(\pm\sqrt{2}(1 \pm i)\) biçiminde yazılabildiklerini gösteriniz.
\((-1)^{1/3}\) köklerini bulunuz ve \(z^3 + 1\) polinomunun \(\big(z + 1\big)\big(z^2 - z + 1\big)\) çarpanlarına ayrılışıyla karşılaştırınız.
Çözüm
a) Önce \(-16\) sayısını üstel forma yazalım: modülü \(16\), esas argümanı \(\pi\)’dir, yani \(-16 = 16\,e^{i\pi}\). Dördüncü kökler formülünde \(r_0 = 16\), \(\theta_0 = \pi\), \(n = 4\) alınır:
\[c_k = \sqrt[4]{16}\,\exp\!\left[i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{4}\right)\right] = 2\,\exp\!\left[i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\right)\right] \qquad (k = 0,1,2,3)\]
Dört değeri tek tek yazalım; \(\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) olduğundan
\[c_0 = 2e^{i\pi/4} = \sqrt{2}\,(1 + i), \qquad c_1 = 2e^{i3\pi/4} = \sqrt{2}\,(-1 + i)\]
\[c_2 = 2e^{i5\pi/4} = -\sqrt{2}\,(1 + i), \qquad c_3 = 2e^{i7\pi/4} = \sqrt{2}\,(1 - i)\]
Dört kök, işaretlerin dört seçimiyle tam olarak \(\pm\sqrt{2}\,(1 \pm i)\) kümesini oluşturur. Beklendiği gibi hepsi \(2\) yarıçaplı çember üzerinde ve bir karenin köşelerinde oturur.
b) \(-1 = e^{i\pi}\) olduğundan küp kökler
\[c_k = \exp\!\left[i\left(\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}\right)\right] \qquad (k = 0,1,2)\]
yani
\[c_0 = e^{i\pi/3} = \frac{1 + \sqrt{3}\,i}{2}, \qquad c_1 = e^{i\pi} = -1, \qquad c_2 = e^{i5\pi/3} = \frac{1 - \sqrt{3}\,i}{2}\]
Karşılaştırma için çarpanlara ayrılışa bakalım. \(z^3 + 1 = (z+1)(z^2 - z + 1)\) ifadesinin sıfırları, \(z = -1\) ile ikinci dereceden denklemin kökleridir:
\[z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}\]
Bunlar tam olarak \(c_1\), \(c_0\) ve \(c_2\)’dir: kök alma işleminin verdiği üç sayı ile polinomun sıfırları aynı kümedir.
\(\blacksquare\)
Kompleks sayıların cebiri ve geometrisi elimizde; analiz yapabilmek için son bir hazırlık kaldı: düzlemin komşuluk, iç nokta, domen gibi topolojik kavramları.