38 Tekil Noktaların Civarında Davranış
Üç tekillik tipini Laurent açılımına bakarak ayırt etmiştik. Aynı ayrım, fonksiyonun tekil noktaya yaklaşırken nasıl davrandığına bakılarak da yapılabilir — ve bu ikinci bakış, tiplerin karakterini çok daha canlı gösterir: kutupta modül düzenli biçimde patlar, kaldırılabilir tekillikte hiçbir şey olmaz, esaslı tekillikte ise fonksiyon adeta çıldırır.
38.1 Kutupta: Modül Sonsuza Gider
Teorem 38.1 (Kutupta Limit) \(z_0\), bir \(f\) fonksiyonunun kutbuysa
\[\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \tag{1}\]
İspat
\(z_0\), \(m\)-inci mertebeden bir kutup olsun. Kutup karakterizasyonu gereği
\[f(z) = \frac{\varphi(z)}{(z - z_0)^m}\]
yazılabilir; burada \(\varphi\), \(z_0\)’da analitik ve \(\varphi(z_0) \neq 0\)’dır. O hâlde
\[\lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = \lim_{z\to z_0} \frac{(z - z_0)^m}{\varphi(z)} = \frac{\displaystyle\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^m}{\displaystyle\lim_{z\to z_0}\varphi(z)} = \frac{0}{\varphi(z_0)} = 0\]
Sonsuz içeren limitler teoremi gereği bu, tam olarak \((1)\) demektir.
\(\blacksquare\)
Kutup, tekilliğin en “uysal” biçimidir: fonksiyon her yönden sonsuza gider ve gidiş hızı, kutup mertebesiyle belirlenir.
38.2 Kaldırılabilir Tekillikte: Sınırlılık
Teorem 38.2 (Kaldırılabilir Tekillikte Sınırlılık) \(z_0\), bir \(f\) fonksiyonunun kaldırılabilir tekil noktasıysa, \(f\) bu noktanın delinmiş bir \(0 < |z - z_0| < \varepsilon\) komşuluğunda analitik ve sınırlıdır.
İspat
\(f\)’ye \(z_0\)’da uygun değer atandığında (\(f(z_0) = a_0\)) fonksiyon bir \(|z - z_0| < R_2\) diskinde analitik olur. O hâlde \(\varepsilon < R_2\) olmak üzere kapalı \(|z - z_0| \le \varepsilon\) diskinde süreklidir; kapalı sınırlı bölgede sürekli fonksiyonun modülü sınırlı olduğundan \(f\) bu diskte, dolayısıyla delinmiş komşulukta sınırlıdır.
\(\blacksquare\)
Bunun tersi de doğrudur ve bir Riemann teoremidir:
Teorem 38.3 (Riemann Lemması) \(f\), bir \(z_0\) noktasının delinmiş \(0 < |z - z_0| < \varepsilon\) komşuluğunda analitik ve sınırlı olsun. \(f\), \(z_0\)’da analitik değilse, orada kaldırılabilir bir tekilliğe sahiptir.
İspat
\(f\), \(z_0\)’da analitik olmadığından \(z_0\) ayrık bir tekil noktadır ve delinmiş komşulukta bir Laurent temsili vardır:
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z - z_0)^n} \tag{2}\]
\(C\), \(\rho < \varepsilon\) olmak üzere pozitif yönlü \(|z - z_0| = \rho\) çemberi olsun. Laurent katsayı formülü
\[b_n = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)\,dz}{(z - z_0)^{-n+1}} \qquad (n = 1, 2, \dots) \tag{3}\]
verir. Sınırlılık hipotezi, \(0 < |z - z_0| < \varepsilon\) iken \(|f(z)| \le M\) olacak bir \(M > 0\) sabitinin varlığını söyler. ML eşitsizliğiyle
\[|b_n| \le \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{M}{\rho^{-n+1}}\cdot 2\pi\rho = M\rho^n \qquad (n = 1, 2, \dots)\]
\(b_n\) katsayıları sabittir; \(\rho\) ise istendiği kadar küçük seçilebilir. Sağ taraf sıfıra gittiğinden bütün \(b_n\) katsayıları sıfır olmak zorundadır: \((2)\) açılımının esas kısmı yoktur, yani \(z_0\) kaldırılabilir bir tekilliktir.
\(\blacksquare\)
38.3 Esaslı Tekillikte: Casorati-Weierstrass
Esaslı tekil noktalarda ne limit sonsuza gider ne de fonksiyon sınırlı kalır. Gerçekte olan çok daha çarpıcıdır:
Teorem 38.4 (Casorati-Weierstrass Teoremi) \(z_0\), bir \(f\) fonksiyonunun esaslı tekil noktası ve \(w_0\) herhangi bir kompleks sayı olsun. O zaman her \(\varepsilon > 0\) için
\[\big|f(z) - w_0\big| < \varepsilon \tag{4}\]
eşitsizliği, \(z_0\)’ın her delinmiş \(0 < |z - z_0| < \delta\) komşuluğundaki bir \(z\) noktasında sağlanır.
İspat
Olmayana ergi kuralım. \(z_0\) ayrık tekil nokta olduğundan \(f\)’nin analitik olduğu delinmiş bir \(0 < |z - z_0| < \delta\) komşuluğu vardır; \((4)\) koşulunun bu komşuluktaki hiçbir noktada sağlanmadığını varsayalım. O hâlde
\[0 < |z - z_0| < \delta \implies \big|f(z) - w_0\big| \ge \varepsilon\]
Bu durumda
\[g(z) = \frac{1}{f(z) - w_0} \qquad \big(0 < |z - z_0| < \delta\big) \tag{5}\]
fonksiyonu kendi tanım domeninde analitiktir ve \(|g(z)| \le 1/\varepsilon\) ile sınırlıdır. Teorem 38.3 gereği \(z_0\), \(g\)’nin kaldırılabilir tekilliğidir; \(g\)’yi \(z_0\)’da analitik olacak biçimde tanımlayalım.
Durum 1: \(g(z_0) \neq 0\). \((5)\)’ten \(f\)’yi çekelim:
\[f(z) = \frac{1}{g(z)} + w_0 \qquad \big(0 < |z - z_0| < \delta\big) \tag{6}\]
Sağ taraf \(z_0\)’da analitiktir; \(f(z_0) = \dfrac{1}{g(z_0)} + w_0\) tanımlandığında \(f\) de \(z_0\)’da analitik olur. Bu, \(z_0\)’ın esaslı değil kaldırılabilir tekillik olması demektir — çelişki.
Durum 2: \(g(z_0) = 0\). \(g\), \(|z - z_0| < \delta\) komşuluğunda özdeş sıfır olamaz (aksi hâlde \((5)\) anlamsızlaşır); sıfırların ayrıklığı gereği \(g\)’nin \(z_0\)’da sonlu bir \(m\) mertebeli sıfırı vardır. O zaman \((6)\) ifadesi ve sıfır-kutup teoremi, \(f\)’nin \(z_0\)’da \(m\)-inci mertebeden bir kutbu olduğunu söyler — yine çelişki.
Her iki durumda da \(z_0\)’ın esaslı tekil nokta olmasıyla çelişki doğar; varsayım yanlıştır.
\(\blacksquare\)
Casorati-Weierstrass teoremi şunu ifade eder: bir fonksiyon, esaslı tekil noktasının her delinmiş komşuluğunda, önceden verilen herhangi bir sayıya istendiği kadar yakın değerler alır. Daha da güçlü olan Picard teoremi, fonksiyonun bu komşuluklarda — olası bir istisna dışında — her sonlu değeri gerçekten sonsuz kez aldığını söyler.
Örnek 38.1 (e^{1/z}’nin Orijin Civarındaki Vahşiliği) \(f(z) = e^{1/z}\) için orijin esaslı bir tekil noktadır. Teoremin öngördüğü davranışı somut olarak görelim: verilen sıfırdan farklı bir \(w_0 = \rho e^{i\alpha}\) sayısı için
\[z_n = \frac{1}{\ln\rho + i(\alpha + 2n\pi)} \qquad (n = 0, 1, 2, \dots)\]
alalım. \(e^{1/z_n} = e^{\ln \rho + i(\alpha + 2n\pi)} = \rho e^{i\alpha} = w_0\) olur ve \(n \to \infty\) iken \(z_n \to 0\)’dır. Yani \(e^{1/z}\), orijinin her delinmiş komşuluğunda sıfırdan farklı her değeri sonsuz kez alır; alınamayan tek değer \(0\)’dır — Picard teoremindeki “olası istisna” tam olarak budur.
38.4 Üç Tipin Karşılaştırması
| Tekillik tipi | Esas kısım | \(z \to z_0\) davranışı |
|---|---|---|
| Kaldırılabilir | terim yok | limit vardır ve sonludur; fonksiyon sınırlıdır |
| \(m\)-inci mertebeden kutup | \(m\) terim | \(\lvert f(z)\rvert \to \infty\) |
| Esaslı | sonsuz terim | limit yoktur; her değere istendiği kadar yaklaşılır |
Bir tekil noktanın tipini saptamak için Laurent serisi yazmak şart değildir: \(f(z)\)’nin \(z \to z_0\) limitine bakmak çoğu zaman yeterlidir. Limit sonluysa kaldırılabilir, sonsuzsa kutup, yoksa esaslıdır.
38.5 Alıştırma
Alıştırma 38.1 (Davranış Alıştırmaları) Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen noktalardaki tekillik tipini, limit davranışına bakarak belirleyiniz.
\(\dfrac{\sin z}{z}\), \(z = 0\)
\(\dfrac{1}{(z - 1)^3}\), \(z = 1\)
\(\cos\dfrac{1}{z}\), \(z = 0\)
\(\dfrac{e^z}{z^2}\), \(z = 0\)
Çözüm
Ölçüt üç durumu birbirinden ayırır: \(z \to z_0\) iken sonlu bir limit varsa tekillik kaldırılabilir, \(|f| \to \infty\) ise kutup, ikisi de olmuyorsa esaslıdır.
a) Sinüsün açılımını \(z\)’ye bölelim:
\[\frac{\sin z}{z} = \frac{1}{z}\left(z - \frac{z^3}{6} + \cdots\right) = 1 - \frac{z^2}{6} + \cdots\]
Limit sonludur:
\[\lim_{z \to 0}\frac{\sin z}{z} = 1\]
Tekillik kaldırılabilirdir; \(f(0) = 1\) tanımlandığında fonksiyon tam olur.
b) \(z \to 1\) iken payda sıfıra gider, pay sabit \(1\)’dir:
\[\lim_{z \to 1}\left|\frac{1}{(z-1)^3}\right| = \infty\]
Tekillik bir kutuptur. Mertebesi, negatif kuvvetlerin en büyüğü olan \(3\)’tür: fonksiyon zaten \(\dfrac{\varphi(z)}{(z-1)^3}\) biçimindedir ve \(\varphi \equiv 1 \neq 0\)’dır. Yani üçüncü mertebeden kutup.
c) İki farklı yaklaşımı karşılaştıralım. Reel eksen boyunca \(z = x \to 0\) alınırsa
\[\cos\frac{1}{x}\]
değeri \(-1\) ile \(1\) arasında hiç durulmadan salınır; limit yoktur. Sanal eksen boyunca \(z = iy \to 0\) alınırsa, \(\cos(-i/y) = \cosh(1/y)\) olduğundan
\[\left|\cos\frac{1}{iy}\right| = \cosh\frac{1}{y} \to \infty\]
Ne sonlu bir limit ne de \(\infty\) elde edildiğinden tekillik esaslıdır. (Casorati-Weierstrass teoremi bu davranışı keskinleştirir: her delinmiş komşulukta değerler tüm düzlemde yoğundur.)
d) \(z \to 0\) iken pay \(e^z \to 1\), payda \(z^2 \to 0\)’dır:
\[\lim_{z\to 0}\left|\frac{e^z}{z^2}\right| = \infty\]
Tekillik bir kutuptur. Fonksiyon \(\dfrac{\varphi(z)}{z^2}\) biçiminde ve \(\varphi(0) = e^0 = 1 \neq 0\) olduğundan mertebesi \(2\)’dir: ikinci mertebeden kutup. Laurent açılımı da aynı şeyi söyler:
\[\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \cdots\]
\(\blacksquare\)
Rezidü kuramının tüm mekanizması hazır. Son kısımda bu makineyi çalıştırıyoruz: reel analizde hesaplanamayan integraller, kompleks düzlemde birkaç rezidüyle çözülecek — has olmayan integraller.