7 Limitler ve Süreklilik
Kompleks limit tanımı, reel analizdeki tanımın sözcüğü sözcüğüne taşınmışıdır; tek fark, mutlak değerin yerini modülün almasıdır. Ama bu küçük değişimin büyük bir sonucu vardır: \(z\), limit noktasına her yönden yaklaşabilir ve limit hepsinde aynı olmak zorundadır.
7.1 Limit Tanımı
Tanım 7.1 (Limit) \(f\), \(z_0\)’ın bir delinmiş komşuluğunda tanımlı olsun.
\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0\]
demek şudur: her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki
\[0 < |z - z_0| < \delta \implies |f(z) - w_0| < \varepsilon\]
Limit varsa tektir: \(w_0\) ve \(w_1\) ikisi de limitse, \(|w_1 - w_0| \le |f(z) - w_0| + |f(z) - w_1| < 2\varepsilon\) her \(\varepsilon\) için sağlanır; dolayısıyla \(w_1 = w_0\).
Tanım, \(f\)’nin tanım kümesinin sınırındaki noktalara da uyarlanır: \(z\)’nin yalnızca tanım kümesinde kalan değerleri hesaba katılır.
Örnek 7.1 (Tanımla Limit Doğrulama) \(f(z) = \dfrac{i\bar{z}}{2}\), \(|z| < 1\) açık diskinde tanımlı olsun. \(\lim\limits_{z \to 1} f(z) = \dfrac{i}{2}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(z\) diskte olmak üzere
\[\left| \frac{i\bar{z}}{2} - \frac{i}{2} \right| = \frac{|\bar{z} - 1|}{2} = \frac{|z - 1|}{2}\]
Verilen \(\varepsilon\) için \(\delta = 2\varepsilon\) seçilirse, \(0 < |z - 1| < \delta\) iken \(|f(z) - i/2| < \varepsilon\) olur.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.2 (Yönlere Göre Değişen Limit) \(f(z) = \dfrac{z}{\bar{z}}\) fonksiyonunun \(z \to 0\) için limiti yoktur.
Çözüm
Reel eksen boyunca \(z = x\) için \(f = x/x = 1\); sanal eksen boyunca \(z = iy\) için \(f = iy/(-iy) = -1\). İki yönden iki farklı değere yaklaşılır; limit tek olmak zorunda olduğundan var olamaz.
\(\blacksquare\)
Reel analizde sağdan ve soldan limitlerin eşitliği yeterlidir; kompleks düzlemde ise sonsuz çoklukta yaklaşma yönü ve eğrisi vardır. İki (hatta her doğrusal) yönde aynı değeri bulmak limiti garanti etmez — tanımın gücü tam da bu evrensellikte yatar.
7.2 Limit Teoremleri
Teorem 7.1 (Bileşen Limitleri) \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\), \(z_0 = x_0 + iy_0\) ve \(w_0 = u_0 + iv_0\) olsun. O zaman
\[\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0 \iff \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u = u_0 \;\text{ ve }\; \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v = v_0\]
İspat
(\(\Leftarrow\)) \(|f - w_0| = |(u - u_0) + i(v - v_0)| \le |u - u_0| + |v - v_0|\) olduğundan, bileşen limitleri varsa her biri \(\varepsilon/2\)’den küçük yapılır ve \(f \to w_0\) çıkar.
(\(\Rightarrow\)) \(|u - u_0| \le |f - w_0|\) ve \(|v - v_0| \le |f - w_0|\) eşitsizlikleri, \(f \to w_0\) iken bileşenlerin de yakınsadığını verir.
\(\blacksquare\)
Teorem 7.2 (Limitlerin Cebiri) \(\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = w_0\) ve \(\lim\limits_{z \to z_0} g(z) = W_0\) ise
\[\lim_{z \to z_0} \big[f(z) + g(z)\big] = w_0 + W_0, \qquad \lim_{z \to z_0} f(z)g(z) = w_0 W_0\]
ve \(W_0 \neq 0\) olduğunda
\[\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{w_0}{W_0}\]
İspat
Üç kural da Teorem 7.1 üzerinden reel analizdeki karşılıklarına indirgenir: kompleks bir limitin varlığı, reel ve sanal kısımların limitlerinin varlığıyla eşdeğerdir. Toplam, çarpım ve bölüm açıldığında ortaya çıkan bileşenler, \(u, v, U, V\) reel fonksiyonlarının sonlu toplam ve çarpımlarıdır; her birine reel analizdeki limit kuralları uygulanır ve sonuçlar yeniden birleştirilir. Bölüm kuralında \(W_0 \neq 0\) koşulu, paydanın \(z_0\) yakınında sıfırdan uzak kalmasını sağlar.
\(\blacksquare\)
Doğrudan sonuçlar: \(\lim c = c\), \(\lim\limits_{z \to z_0} z = z_0\), \(\lim\limits_{z \to z_0} z^n = z_0^n\) ve her \(P\) polinomu için
\[\lim_{z \to z_0} P(z) = P(z_0)\]
7.3 Sonsuzdaki Nokta
Kompleks düzleme tek bir sonsuzdaki nokta \(\infty\) eklenirse genişletilmiş kompleks düzlem elde edilir. Geometrik model Riemann küresidir: düzleme başlangıç noktasında teğet bir küre alınır; kuzey kutbu \(N\) ile düzlemdeki \(z\) noktasını birleştiren doğru küreyi \(N\) dışında tam bir noktada keser. Bu eşleme (stereografik izdüşüm) düzlemin noktalarını kürenin \(N\) dışındaki noktalarıyla birebir eşler; \(N\)’nin kendisi \(\infty\)’a karşılık gelir. Küçük \(\varepsilon > 0\) olmak üzere
\[|z| > \frac{1}{\varepsilon}\]
kümesi, \(\infty\)’un bir komşuluğu olarak tanımlanır.
Teorem 7.3 (Sonsuz İçeren Limitler) Sonsuz içeren limitler, sıradan limitlere şu sözlükle çevrilir:
\[\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \iff \lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = 0\]
\[\lim_{z \to \infty} f(z) = w_0 \iff \lim_{z \to 0} f\!\left(\frac{1}{z}\right) = w_0\]
\[\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty \iff \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = 0\]
İspat
Her denklik, komşuluk tanımlarının doğrudan yazılmasıyla çıkar. Birincisini görelim: \(\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \infty\) demek, her \(\varepsilon > 0\) için \(0 < |z - z_0| < \delta\) olduğunda
\[|f(z)| > \frac{1}{\varepsilon}\]
olması demektir. Bu eşitsizlik ise
\[\left|\frac{1}{f(z)} - 0\right| < \varepsilon\]
koşuluyla birebir aynıdır; yani \(1/f\) fonksiyonunun \(z_0\)’daki limiti sıfırdır. Diğer iki denklik, \(\infty\) komşuluğunun \(|z| > 1/\varepsilon\) tanımıyla aynı biçimde yazılır.
\(\blacksquare\)
Örnek 7.3 (Üç Tipik Hesap) Aşağıdaki limitleri doğrulayınız.
\[\text{a)}\; \lim_{z \to -1} \frac{iz + 3}{z + 1} = \infty \qquad \text{b)}\; \lim_{z \to \infty} \frac{2z + i}{z + 1} = 2 \qquad \text{c)}\; \lim_{z \to \infty} \frac{2z^3 - 1}{z^2 + 1} = \infty\]
Çözüm
- Ters çevirip sıfıra gittiğini görelim:
\[\lim_{z \to -1} \frac{z + 1}{iz + 3} = \frac{0}{-i + 3} = 0\]
- \(z \to 1/z\) değişimiyle:
\[\lim_{z \to 0} \frac{2/z + i}{1/z + 1} = \lim_{z \to 0} \frac{2 + iz}{1 + z} = 2\]
- Hem ters çevirip hem değişken değiştirerek:
\[\lim_{z \to 0} \frac{(1/z)^2 + 1}{2(1/z)^3 - 1} = \lim_{z \to 0} \frac{z + z^3}{2 - z^3} = 0\]
\(\blacksquare\)
7.4 Süreklilik
Tanım 7.2 (Süreklilik) \(f\), \(z_0\)’da süreklidir demek şu üç koşulun sağlanmasıdır: \(\lim\limits_{z \to z_0} f(z)\) vardır, \(f(z_0)\) tanımlıdır ve
\[\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\]
Bir bölgenin her noktasında sürekli olan fonksiyona o bölgede sürekli denir.
Limit teoremlerinden, sürekli fonksiyonların toplamı ve çarpımı süreklidir; bölümü, payda sıfır olmayan noktalarda süreklidir. Polinomlar tüm düzlemde süreklidir. Ayrıca:
- Bileşke süreklidir: \(f\), \(z_0\)’da; \(g\), \(f(z_0)\)’da sürekliyse \(g[f(z)]\) bileşkesi \(z_0\)’da süreklidir.
- \(f(z) = u + iv\) süreklidir \(\iff\) \(u\) ve \(v\) süreklidir.
Teorem 7.4 (Sıfırdan Uzak Kalma) \(f\), \(z_0\)’da sürekli ve \(f(z_0) \neq 0\) ise, \(z_0\)’ın bir komşuluğunda \(f(z) \neq 0\) kalır.
İspat
Süreklilik tanımında \(\varepsilon = |f(z_0)|/2\) alınsın; karşılık gelen \(\delta\)-komşuluğunda \(|f(z) - f(z_0)| < |f(z_0)|/2\) olur. Bu komşulukta bir noktada \(f(z) = 0\) olsaydı \(|f(z_0)| < |f(z_0)|/2\) çelişkisi doğardı.
\(\blacksquare\)
Teorem 7.5 (Kapalı Sınırlı Bölgede Maksimum) \(f\), kapalı ve sınırlı bir \(R\) bölgesinde sürekliyse, \(R\)’nin her \(z\) noktası için
\[|f(z)| \le M\]
olacak ve eşitliğin en az bir noktada sağlanacağı bir \(M\) sayısı vardır: \(|f|\), \(R\) üzerinde maksimumuna ulaşır.
Bu, reel analizde iki değişkenli sürekli \(\sqrt{u^2 + v^2}\) fonksiyonunun kapalı sınırlı kümede uç değer almasının doğrudan sonucudur; ileride integral kestirimlerinde sıkça kullanılacaktır.
7.5 Alıştırma
Alıştırma 7.1 (Limit ve Süreklilik)
\(\lim\limits_{z \to i} \dfrac{z^2 + 1}{z - i}\) limitini hesaplayınız.
\(f(z) = \dfrac{z^2 + 1}{z^4 - 1}\) fonksiyonunun hangi noktalarda sürekli olamayacağını belirleyiniz; kaldırılabilir olanları ayırt ediniz.
Çözüm
a) Pay ve payda \(z \to i\) iken birlikte sıfıra gider; çarpanlara ayırıp sadeleştirelim. \(z^2 + 1 = (z - i)(z + i)\) olduğundan, \(z \neq i\) için
\[\frac{z^2 + 1}{z - i} = \frac{(z - i)(z + i)}{z - i} = z + i\]
Limit, fonksiyonun \(z = i\)’deki değerine değil, delinmiş komşuluktaki davranışına baktığından sadeleşme serbesttir. Sağdaki polinom sürekli olduğu için
\[\lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{z - i} = i + i = 2i\]
b) Bölüm, paydanın sıfır olmadığı her noktada süreklidir. Paydayı çarpanlarına ayıralım:
\[z^4 - 1 = \big(z^2 - 1\big)\big(z^2 + 1\big) = 0 \iff z = 1,\; z = -1,\; z = i,\; z = -i\]
Fonksiyon bu dört noktada tanımsızdır, dolayısıyla yalnızca burada sürekli olamaz. İki durumu ayıralım.
\(z = \pm i\) noktalarında pay da sıfırdır ve ortak çarpan sadeleşir: \(z \neq \pm i\) için
\[f(z) = \frac{z^2 + 1}{\big(z^2 - 1\big)\big(z^2 + 1\big)} = \frac{1}{z^2 - 1}\]
Sağdaki ifade \(z = \pm i\)’de süreklidir ve orada \(z^2 = -1\) olduğundan
\[\lim_{z \to \pm i} f(z) = \frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{2}\]
Limit var olduğuna göre bu iki süreksizlik kaldırılabilirdir: \(f(\pm i) = -1/2\) tanımlanırsa fonksiyon orada sürekli olur.
\(z = \pm 1\) noktalarında ise pay \(z^2 + 1 = 2 \neq 0\) iken payda sıfıra gider; \(|f(z)| \to \infty\) olur ve sonlu bir limit yoktur. Bu iki süreksizlik kaldırılamaz.
\(\blacksquare\)
Süreklilikten bir adım ötesi, kompleks analizi bambaşka bir dünyaya taşıyan kavramdır: türev.