33 Kuvvet Serileriyle İşlemler
Serilerle çalışırken en çok ihtiyaç duyulan haklar şunlardır: terim terime integralleyebilmek, türetebilmek, çarpıp bölebilmek. Düzgün yakınsaklık bu hakların hepsini verir — ve bir bonus daha: bir fonksiyonun belirli bir bölgedeki seri temsili tektir.
33.1 Terim Terime İntegrasyon
Teorem 33.1 (Terim Terime İntegrasyon) \(C\), kuvvet serisi
\[S(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \tag{1}\]
serisinin yakınsaklık çemberinin içinde herhangi bir çevre ve \(g\), \(C\) üzerinde sürekli herhangi bir fonksiyon olsun. Serinin her terimi \(g(z)\) ile çarpılarak oluşan seri, \(C\) üzerinde terim terime integrallenebilir:
\[\int_C g(z)\,S(z)\,dz = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_C g(z)\,(z - z_0)^n\,dz \tag{2}\]
İspat
\(g\) ve \(S\), \(C\) üzerinde süreklidir. \(\rho_N\), serinin \(N\) terimden sonraki kalanı olmak üzere
\[g(z) S(z) = \sum_{n=0}^{N-1} a_n\, g(z)(z - z_0)^n + g(z)\rho_N(z)\]
yazılabilir; sonlu toplamın terimleri \(C\) üzerinde sürekli olduğundan integralleri vardır ve
\[\int_C g(z)S(z)\,dz = \sum_{n=0}^{N-1} a_n \int_C g(z)(z - z_0)^n dz + \int_C g(z)\rho_N(z)\,dz \tag{3}\]
\(M\), \(|g(z)|\)’nin \(C\) üzerindeki maksimumu ve \(L\), \(C\)’nin uzunluğu olsun. Düzgün yakınsaklık gereği her \(\varepsilon > 0\) için, \(C\) üzerindeki tüm \(z\) noktalarında
\[N > N_\varepsilon \implies \big|\rho_N(z)\big| < \varepsilon\]
sağlayan ve \(z\)’den bağımsız bir \(N_\varepsilon\) vardır. ML eşitsizliğiyle
\[N > N_\varepsilon \implies \left| \int_C g(z)\rho_N(z)\,dz \right| < M\varepsilon L\]
yani son integral \(N \to \infty\) iken sıfıra gider. \((3)\) ifadesinde limit alınırsa \((2)\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Teorem 33.2 (Toplam Analitiktir) Bir kuvvet serisinin toplamı \(S(z)\), yakınsaklık çemberinin içindeki her noktada analitiktir.
İspat
\(g(z) = 1\) alınsın ve \(C\), yakınsaklık çemberinin içinde kalan herhangi bir kapalı çevre olsun. \((z - z_0)^n\) fonksiyonları tam olduğundan
\[\int_C (z - z_0)^n\,dz = 0 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots)\]
ve Teorem 33.1 gereği her böyle çevre için \(\displaystyle\int_C S(z)\,dz = 0\)’dır. \(S\) ayrıca süreklidir; Morera teoremi gereği \(S\), bu domende analitiktir.
\(\blacksquare\)
Örnek 33.1 (Analitikliğin Serilerle Saptanması) \[f(z) = \begin{cases} \dfrac{e^z - 1}{z}, & z \neq 0 \\[2mm] 1, & z = 0 \end{cases}\]
fonksiyonunun tam olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Üstel fonksiyonun Maclaurin açılımı her \(z\) için
\[e^z - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\]
verir. İki taraf \(z\)’ye bölünürse, \(z \neq 0\) için
\[f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n-1}}{n!} = 1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \frac{z^3}{4!} + \cdots \tag{4}\]
Sağdaki seri \(z = 0\)’da da yakınsar ve değeri \(1 = f(0)\)’dır; yani \((4)\) temsili her \(z\) için geçerlidir. Teorem 33.2 gereği \(f\) tamdır.
Bonus olarak, sürekliliğinden bir limit okunur:
\[\lim_{z \to 0} \frac{e^z - 1}{z} = f(0) = 1\]
\(\blacksquare\)
33.2 Terim Terime Türetme
Teorem 33.3 (Terim Terime Türetme) Kuvvet serisi \((1)\), yakınsaklık çemberinin içindeki her noktada terim terime türetilebilir:
\[S'(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n\,a_n (z - z_0)^{n-1} \tag{5}\]
İspat
\(z\), yakınsaklık çemberinin içinde bir nokta; \(C\), bu çemberin içinde kalan ve \(z\)’yi çevreleyen pozitif yönlü basit kapalı bir çevre olsun. \(C\) üzerindeki her \(s\) noktasında
\[g(s) = \frac{1}{2\pi i}\cdot\frac{1}{(s - z)^2}\]
tanımlayalım; \(g\), \(C\) üzerinde süreklidir. Teorem 33.1 uygulanırsa
\[\int_C g(s)S(s)\,ds = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_C g(s)(s - z_0)^n\,ds \tag{6}\]
\(S\), \(C\)’nin içinde ve üzerinde analitik olduğundan genişletilmiş Cauchy integral formülü sol tarafı verir:
\[\int_C g(s)S(s)\,ds = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{S(s)\,ds}{(s - z)^2} = S'(z)\]
Aynı formül sağdaki her integrale de uygulanır:
\[\int_C g(s)(s - z_0)^n ds = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{(s - z_0)^n}{(s - z)^2}\,ds = \frac{d}{dz}(z - z_0)^n\]
\((6)\) böylece
\[S'(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,\frac{d}{dz}(z - z_0)^n\]
biçimine iner; bu da \((5)\) ile aynıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 33.2 (Türetmeyle Yeni Açılım) Taylor bölümünde
\[\frac{1}{z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (z - 1)^n \qquad \big(|z - 1| < 1\big)\]
açılımını bulmuştuk. İki tarafı türetelim:
\[-\frac{1}{z^2} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\,n\,(z-1)^{n-1} \qquad \big(|z-1| < 1\big)\]
İşaret düzenlenip indis kaydırılırsa
\[\frac{1}{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1)(z - 1)^n \qquad \big(|z - 1| < 1\big)\]
Yeni bir Taylor hesabı yapmadan ikinci bir açılım elde edildi.
33.3 Temsillerin Tekliği
Teorem 33.4 (Taylor Temsilinin Tekliği) Bir \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\) serisi, \(|z - z_0| = R\) çemberinin içindeki tüm noktalarda \(f(z)\)’ye yakınsıyorsa, bu seri zorunlu olarak \(f\)’nin \(z_0\) civarındaki Taylor serisidir.
İspat
Hipotez, \(|z - z_0| < R\) diskinde
\[f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (z - z_0)^k\]
demektir (toplam indisini \(k\) ile gösterdik). \(n\) sabit bir tam sayı olmak üzere
\[g(z) = \frac{1}{2\pi i}\cdot\frac{1}{(z - z_0)^{n+1}}\]
alalım ve \(C\), \(z_0\) merkezli, yarıçapı \(R\)’den küçük bir çember olsun. Teorem 33.1 ile
\[\int_C g(z)f(z)\,dz = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \int_C g(z)(z - z_0)^k\,dz \tag{7}\]
Sol taraf, genişletilmiş Cauchy integral formülüyle
\[\int_C g(z)f(z)\,dz = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)\,dz}{(z - z_0)^{n+1}} = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\]
Sağ taraftaki integraller ise temel integrallerle hesaplanır:
\[\int_C g(z)(z - z_0)^k\,dz = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{dz}{(z - z_0)^{n - k + 1}} = \begin{cases} 0, & k \neq n \\ 1, & k = n \end{cases}\]
Böylece \((7)\)’nin sağ tarafı tek bir terime, \(a_n\)’e iner ve
\[a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\]
çıkar — tam olarak Taylor katsayısı.
\(\blacksquare\)
Teorem 33.5 (Laurent Temsilinin Tekliği) Bir \(\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n\) serisi, \(z_0\) merkezli bir halka domenindeki tüm noktalarda \(f(z)\)’ye yakınsıyorsa, bu seri \(f\)’nin o domendeki Laurent serisidir.
İspat
Kanıt, Teorem 33.4 ile aynı yolu izler; tek fark, terim terime integrasyon teoreminin negatif kuvvetleri de içeren serilere uygulanmasıdır (bu, \(w = 1/(z - z_0)\) dönüşümüyle gerekçelendirilir). Seri, halkada kalan bir \(C\) çevresi üzerinde \((z - z_0)^{-n-1}\) ile çarpılıp terim terime integrallenir; temel integraller yalnızca tek bir terimi ayakta bıraktığından
\[c_n = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)\,dz}{(z - z_0)^{n+1}} \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
yani Laurent teoremindeki katsayı formülü elde edilir.
\(\blacksquare\)
Teklik teoremleri, bir açılımı nasıl bulduğumuzun önemsiz olduğunu söyler: geometrik seriden türetin, terim terime türetin, iki seriyi çarpın — bulduğunuz sonuç Taylor/Laurent serisinin ta kendisidir. Bu yüzden pratikte katsayı integrallerini hesaplamak yerine bilinen açılımlar cebirsel olarak işlenir; rezidü hesapları tamamen bu kolaylık üzerine kuruludur.
33.4 Çarpım ve Bölüm
\(f\) ve \(g\), \(|z - z_0| < R\) diskinde yakınsayan iki kuvvet serisinin toplamları olsun. Her ikisi de analitik olduğundan çarpımları da analitiktir ve aynı diskte geçerli bir Taylor açılımına sahiptir:
\[f(z)g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \qquad \big(|z - z_0| < R\big)\]
Katsayılar, çarpımın türevleri için Leibniz kuralından okunur:
\[c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot\frac{g^{(n-k)}(z_0)}{(n-k)!} = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}\]
Bu formül, iki seriyi biçimsel olarak terim terime çarpıp benzer kuvvetleri toplamakla aynı sonucu verir; elde edilen seriye iki serinin Cauchy çarpımı denir.
Örnek 33.3 (Serilerin Çarpımı) \(\dfrac{e^z}{1 + z}\) fonksiyonunun Maclaurin serisinin ilk terimlerini bulunuz.
Çözüm
Tekil nokta \(z = -1\) olduğundan açılım \(|z| < 1\) diskinde geçerlidir. İki bilinen seriyi çarpalım:
\[\frac{e^z}{1+z} = \left(1 + z + \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{6}z^3 + \cdots\right)\left(1 - z + z^2 - z^3 + \cdots\right)\]
Benzer kuvvetler alt alta toplanırsa:
\[\frac{e^z}{1 + z} = 1 + \frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{3}z^3 + \cdots \qquad (|z| < 1)\]
(\(z\)’nin birinci kuvveti sadeleşir: \(1\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 0\).)
\(\blacksquare\)
Bölme de aynı mantıkla yürür: \(g(z) \neq 0\) olduğu bir diskte \(f/g\) analitiktir, dolayısıyla Taylor serisine sahiptir ve katsayıları seri bölmesiyle bulunur.
Örnek 33.4 (Seri Bölmesiyle Laurent Açılımı) \(\dfrac{1}{z^2 \sinh z}\) fonksiyonunun \(0 < |z| < \pi\) delinmiş diskindeki Laurent serisinin ilk üç sıfırdan farklı terimini bulunuz.
Çözüm
\(\sinh z\)’nin sıfırları \(z = n\pi i\) olduğundan (hiperbolik fonksiyonlar), orijine en yakın sıfırlar \(\pm \pi i\)’dir; delinmiş diskin yarıçapı \(\pi\) olur.
Maclaurin açılımıyla \(\sinh z = z + \dfrac{z^3}{3!} + \dfrac{z^5}{5!} + \cdots\) olduğundan
\[\frac{1}{z^2 \sinh z} = \frac{1}{z^3}\left(\frac{1}{1 + \dfrac{z^2}{3!} + \dfrac{z^4}{5!} + \cdots}\right)\]
Parantez içindeki bölümü seri bölmesiyle açalım: \(1\)’i, paydadaki seriye bölmek
\[\frac{1}{1 + \dfrac{z^2}{3!} + \dfrac{z^4}{5!} + \cdots} = 1 - \frac{1}{3!}z^2 + \left[\frac{1}{(3!)^2} - \frac{1}{5!}\right]z^4 + \cdots\]
\[= 1 - \frac{1}{6}z^2 + \frac{7}{360}z^4 + \cdots\]
verir (\(|z| < \pi\)). Katsayı kontrolü: \(\dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{120} = \dfrac{10 - 3}{360} = \dfrac{7}{360}\).
\(1/z^3\) ile çarpılırsa aranan Laurent serisi çıkar:
\[\frac{1}{z^2\sinh z} = \frac{1}{z^3} - \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{z} + \frac{7}{360}z + \cdots \qquad (0 < |z| < \pi)\]
\(\blacksquare\)
33.5 Alıştırma
Alıştırma 33.1 (Seri İşlemleri Alıştırmaları)
\(\dfrac{z}{(z^2+1)^2}\) fonksiyonunun Maclaurin serisini, \(\dfrac{1}{1+z^2}\) açılımını türeterek bulunuz.
\(\dfrac{\sinh z}{z}\) fonksiyonunun \(z = 0\)’da \(1\) değeriyle tanımlandığında tam olduğunu gösteriniz.
\(\dfrac{1}{z\sin z}\) fonksiyonunun \(0 < |z| < \pi\) halkasındaki Laurent serisinin ilk iki sıfırdan farklı terimini bulunuz.
Çözüm
a) Geometrik seriden başlayalım; \(w = -z^2\) ile
\[\frac{1}{1+z^2} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^{2n} \qquad (|z| < 1)\]
Yakınsaklık çemberinin içinde terim terime türetme serbesttir. Sol tarafın türevi
\[\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1+z^2}\right) = \frac{-2z}{\big(1+z^2\big)^2}\]
Sağ tarafın türevi ise
\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\,2n\,z^{2n-1}\]
İki ifadeyi eşitleyip \(-2\) ile bölelim:
\[\frac{z}{\big(1+z^2\big)^2} = -\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\,2n\,z^{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,n\,z^{2n-1}\]
İndisi \(m = n-1\) ile kaydırırsak açılım daha okunaklı olur:
\[\frac{z}{\big(1+z^2\big)^2} = \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}(m+1)\,z^{2m+1} = z - 2z^3 + 3z^5 - \cdots \qquad (|z| < 1)\]
Türetme yakınsaklık yarıçapını değiştirmediğinden geçerlilik bölgesi yine \(|z| < 1\)’dir.
b) Hiperbolik sinüsün Maclaurin serisi tüm düzlemde geçerlidir:
\[\sinh z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z + \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} + \cdots\]
Her terimde en az bir \(z\) çarpanı bulunduğundan \(z \neq 0\) için \(z\)’ye bölebiliriz:
\[\frac{\sinh z}{z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n+1)!} = 1 + \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} + \cdots\]
Sağdaki kuvvet serisi \(\sinh z\)’nin serisiyle aynı yakınsaklık bölgesine sahiptir, yani tüm düzlemde yakınsar; bir kuvvet serisinin toplamı yakınsaklık çemberinin içinde analitik olduğundan bu seri bir tam fonksiyon tanımlar. Serinin \(z = 0\)’daki değeri \(1\)’dir; verilen tanım tam olarak bu değeri seçtiğinden
\[f(z) = \begin{cases}\dfrac{\sinh z}{z}, & z \neq 0\\[2mm] 1, & z = 0\end{cases}\]
fonksiyonu seriyle her yerde çakışır ve tamdır. Başlangıçtaki tekillik yalnızca görünüşteydi — kaldırılabilir bir tekillikti.
c) Payda çarpımını serilerle yazalım. Sinüsün açılımından
\[z\sin z = z\left(z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots\right) = z^2\left(1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} - \cdots\right)\]
Tersini almak için \(\dfrac{1}{1-w} = 1 + w + w^2 + \cdots\) açılımını, küçük \(|z|\) için
\[w = \frac{z^2}{6} - \frac{z^4}{120} + \cdots\]
ile kullanalım:
\[\frac{1}{1 - w} = 1 + \left(\frac{z^2}{6} - \frac{z^4}{120}\right) + \left(\frac{z^2}{6}\right)^2 + \cdots = 1 + \frac{z^2}{6} + \left(\frac{1}{36} - \frac{1}{120}\right)z^4 + \cdots\]
Dördüncü mertebe katsayısı \(\dfrac{10 - 3}{360} = \dfrac{7}{360}\)’tır. \(1/z^2\) ile çarpalım:
\[\frac{1}{z\sin z} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{6} + \frac{7}{360}z^2 + \cdots \qquad (0 < |z| < \pi)\]
İlk iki sıfırdan farklı terim \(\dfrac{1}{z^2}\) ve \(\dfrac{1}{6}\)’dır. Geçerlilik bölgesinin dış yarıçapı \(\pi\)’dir: \(\sin z\)’nin başlangıca en yakın sıfırları \(z = \pm\pi\) noktalarıdır. Ayrıca açılımda \(1/z\) terimi bulunmadığına dikkat ediniz; başlangıçtaki rezidü sıfırdır.
\(\blacksquare\)
Seriler kısmı tamamlandı. Şimdi Laurent açılımının en güçlü uygulamasına geçiyoruz: negatif kuvvetlerin ilk katsayısı, tek başına bir integral hesaplama makinesidir — ayrık tekil noktalar ve rezidü.