36 Ayrık Tekil Noktaların Üç Tipi
Bir ayrık tekil noktanın karakterini, Laurent açılımının negatif kuvvetli kısmı belirler ve sınıflandırmanın tamamı tek bir soruya dayanır: bu kısımda sıfırdan farklı kaç terim var? Yalnızca üç olasılık vardır — hiç, sonlu sayıda (en az bir), sonsuz sayıda — ve her biri bir tekillik tipini tanımlar. Sınıflandırma yalnızca bir isimlendirme değildir: kutuplar için rezidüyü seri yazmadan veren pratik formüller elde edeceğiz.
36.1 Esas Kısım
\(z_0\), \(f\)’nin ayrık bir tekil noktası olsun; \(0 < |z - z_0| < R_2\) delinmiş diskinde
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z - z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z - z_0)^n} \tag{1}\]
Tanım 36.1 (Esas Kısım) \((1)\) açılımının negatif kuvvetleri içeren
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n} = \frac{b_1}{z - z_0} + \frac{b_2}{(z-z_0)^2} + \cdots \tag{2}\]
kısmına, \(f\)’nin \(z_0\)’daki esas kısmı denir.
36.2 Sınıflandırma
Esas Kısım Boşsa: Kaldırılabilir Tekil Nokta
Tanım 36.2 (Kaldırılabilir Tekil Nokta) Esas kısımda hiç terim yoksa — yani her \(b_n\) katsayısı sıfırsa — \(z_0\)’a kaldırılabilir tekil nokta denir. Bu durumda delinmiş diskteki açılım bir kuvvet serisinden ibarettir:
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n = a_0 + a_1 (z - z_0) + a_2 (z - z_0)^2 + \cdots \tag{3}\]
\[\big(0 < |z - z_0| < R_2\big)\]
Adın gerekçesi: \(f\)’ye \(z_0\)’da \(f(z_0) = a_0\) değeri atanırsa \((3)\) açılımı \(|z - z_0| < R_2\) diskinin tamamında geçerli olur; kuvvet serisinin toplamı yakınsaklık çemberi içinde analitik olduğundan \(f\), \(z_0\)’da analitik hâle gelir. Tekillik böylece “kaldırılmış” olur. Esas kısımda \(b_1\) terimi de bulunmadığından, kaldırılabilir bir noktadaki rezidü daima sıfırdır.
Örnek 36.1 (Kaldırılabilir Tekillik) \(f(z) = \dfrac{1 - \cos z}{z^2}\) için orijin kaldırılabilir bir tekil noktadır:
\[f(z) = \frac{1}{z^2}\left[1 - \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots\right)\right] = \frac{1}{2!} - \frac{z^2}{4!} + \frac{z^4}{6!} - \cdots\]
\[(0 < |z| < \infty)\]
Negatif kuvvetli hiçbir terim yoktur. \(f(0) = \dfrac{1}{2}\) değeri atandığında \(f\) tam olur.
Esas Kısım Sonluysa: Kutup
Tanım 36.3 (Kutup) Esas kısım boş değil ama sonluysa — yani
\[b_m \neq 0 \quad \text{ve} \quad b_{m+1} = b_{m+2} = \cdots = 0\]
olacak biçimde bir \(m \ge 1\) tam sayısı varsa — \(z_0\)’a \(m\)-inci mertebeden kutup denir. Açılım bu durumda
\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n + \frac{b_1}{z - z_0} + \cdots + \frac{b_m}{(z - z_0)^m} \tag{4}\]
\[\big(0 < |z - z_0| < R_2\big)\]
biçimindedir. \(m = 1\) durumunda basit kutup adı kullanılır.
Örnek 36.2 (Basit Kutup) \[\frac{z^2 - 2z + 3}{z - 2} = z + \frac{3}{z - 2} = 2 + (z - 2) + \frac{3}{z-2}\]
\[\big(0 < |z - 2| < \infty\big)\]
Esas kısım tek terimlidir: \(z_0 = 2\) bir basit kutuptur ve rezidü \(b_1 = 3\)’tür.
Örnek 36.3 (İkinci Mertebeden Kutup) \[\frac{1}{z^2(1+z)} = \frac{1}{z^2}\cdot\frac{1}{1 - (-z)} = \frac{1}{z^2}\big(1 - z + z^2 - z^3 + \cdots\big) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{z} + 1 - z + \cdots\]
\((0 < |z| < 1)\) açılımında esas kısım iki terimlidir: orijin ikinci mertebeden bir kutuptur ve
\[\operatorname*{Rez}_{z=0} \frac{1}{z^2(1+z)} = -1\]
Örnek 36.4 (Üçüncü Mertebeden Kutup) \[\frac{\sinh z}{z^4} = \frac{1}{z^4}\left(z + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^7}{7!} + \cdots\right) = \frac{1}{z^3} + \frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{z} + \frac{z}{5!} + \frac{z^3}{7!} + \cdots\]
\((0 < |z| < \infty)\) açılımında en yüksek negatif kuvvet \(3\)’tür: orijin üçüncü mertebeden kutuptur ve rezidü \(B = \dfrac{1}{6}\)’dır.
Esas Kısım Sonsuzsa: Esaslı Tekil Nokta
Tanım 36.4 (Esaslı Tekil Nokta) Esas kısımda sonsuz sayıda sıfırdan farklı katsayı varsa, \(z_0\)’a esaslı tekil nokta denir.
Örnek 36.5 (Esaslı Tekillik) \[e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot\frac{1}{z^n} = 1 + \frac{1}{1!}\cdot\frac{1}{z} + \frac{1}{2!}\cdot\frac{1}{z^2} + \cdots \qquad (0 < |z| < \infty)\]
Esas kısımda sonsuz terim vardır: orijin esaslı bir tekil noktadır ve rezidü \(b_1 = 1\)’dir.
Esaslı tekil noktalar, fonksiyonun davranışının en vahşi hâle geldiği yerlerdir. Picard teoremi bunu çarpıcı biçimde ifade eder: bir fonksiyon, esaslı tekil noktasının her komşuluğunda, olası bir istisna dışında her sonlu değeri sonsuz kez alır. Bir sonraki bölümde bu üç tipin limit davranışlarını karşılaştıracağız.
Bir Bakışta
| Esas kısımdaki terim sayısı | Tekilliğin tipi | Ayırt edici özellik |
|---|---|---|
| hiç | kaldırılabilir | \(f(z_0) = a_0\) atanınca \(f\) analitik olur; rezidü \(0\) |
| sonlu — sonuncusu \(b_m \neq 0\) | \(m\)-inci mertebeden kutup | \(z \to z_0\) iken \(|f(z)| \to \infty\) |
| sonsuz | esaslı | limit yoktur; davranış vahşidir (Picard) |
Üçüncü sütundaki davranışlardan kutuptaki \(|f(z)| \to \infty\) ile esaslı tekillikteki Casorati-Weierstrass teoremi bir sonraki bölümde kanıtlanacak, Picard teoremi ise kanıtsız aktarılacaktır. Sınıflandırmanın kendisi yalnızca katsayı saymaya dayanır.
36.3 Kutuplarda Rezidü
Kutup mertebesini ve rezidüyü bulmanın temel yolu uygun Laurent serisini yazmaktır; ama çoğu zaman şu teorem çok daha hızlıdır.
Teorem 36.1 (Kutup Karakterizasyonu ve Rezidü Formülü) Bir \(f\) fonksiyonunun ayrık tekil noktası \(z_0\), \(m\)-inci mertebeden bir kutuptur ancak ve ancak \(f(z)\)
\[f(z) = \frac{\varphi(z)}{(z - z_0)^m} \tag{5}\]
biçiminde yazılabiliyorsa; burada \(\varphi\), \(z_0\)’da analitik ve \(\varphi(z_0) \neq 0\)’dır. Ayrıca
\[m = 1 \implies \operatorname*{Rez}_{z = z_0} f(z) = \varphi(z_0) \tag{6}\]
\[m \ge 2 \implies \operatorname*{Rez}_{z = z_0} f(z) = \frac{\varphi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!} \tag{7}\]
İspat
(\(\Leftarrow\)) \(f\), \((5)\) biçiminde olsun. \(\varphi\), \(z_0\)’da analitik olduğundan bir \(|z - z_0| < \varepsilon\) komşuluğunda Taylor serisine sahiptir:
\[\begin{aligned} \varphi(z) &= \varphi(z_0) + \frac{\varphi'(z_0)}{1!}(z - z_0) + \cdots + \frac{\varphi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}(z-z_0)^{m-1}\\[1mm] &\quad + \sum_{n=m}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n \end{aligned}\]
\((5)\)’te yerine konursa, \(0 < |z - z_0| < \varepsilon\) için
\[\begin{aligned} f(z) &= \frac{\varphi(z_0)}{(z - z_0)^m} + \frac{\varphi'(z_0)/1!}{(z-z_0)^{m-1}} + \cdots + \frac{\varphi^{(m-1)}(z_0)/(m-1)!}{z - z_0}\\[1mm] &\quad + \sum_{n=m}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^{n-m} \end{aligned}\]
Bu bir Laurent serisidir; \(\varphi(z_0) \neq 0\) olduğundan esas kısım tam olarak \(m\) terimlidir, yani \(z_0\) gerçekten \(m\)-inci mertebeden bir kutuptur. \(1/(z - z_0)\) teriminin katsayısı da rezidüyü verir ve \((6)\)–\((7)\) formülleri okunur.
(\(\Rightarrow\)) \(z_0\), \(m\)-inci mertebeden bir kutup olsun; \((4)\) açılımı geçerlidir (\(b_m \neq 0\)).
\[\varphi(z) = \begin{cases} (z - z_0)^m f(z), & z \neq z_0 \\ b_m, & z = z_0\end{cases}\]
tanımlayalım. \((4)\) ile çarpım açıldığında
\[\varphi(z) = b_m + b_{m-1}(z - z_0) + \cdots + b_1 (z - z_0)^{m-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^{m+n}\]
elde edilir; sağ taraf \(|z - z_0| < R_2\) diskinde yakınsayan bir kuvvet serisidir, dolayısıyla \(\varphi\) orada — özellikle \(z_0\)’da — analitiktir ve \(\varphi(z_0) = b_m \neq 0\)’dır. Bu da \((5)\) gösterimidir.
\(\blacksquare\)
36.4 Çözümlü Uygulamalar
Örnek 36.6 (Basit Kutupta Rezidü) \(f(z) = \dfrac{z + 1}{z^2 + 9}\) fonksiyonunun tekil noktalarını ve rezidülerini bulunuz.
Çözüm
\(z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i)\) olduğundan tekil noktalar \(z = \pm 3i\)’dir. \(z = 3i\) için
\[f(z) = \frac{\varphi(z)}{z - 3i}, \qquad \varphi(z) = \frac{z+1}{z + 3i}\]
\(\varphi\), \(z = 3i\)’de analitik ve \(\varphi(3i) \neq 0\) olduğundan bu bir basit kutuptur; \((6)\) ile
\[B_1 = \varphi(3i) = \frac{3i + 1}{6i} = \frac{3i+1}{6i}\cdot\frac{-i}{-i} = \frac{3 - i}{6}\]
Benzer hesapla \(z = -3i\) noktası da basit kutuptur ve rezidüsü \(B_2 = \dfrac{3 + i}{6}\)’dır.
\(\blacksquare\)
Örnek 36.7 (Üçüncü Mertebeden Kutupta Rezidü) \(f(z) = \dfrac{z^3 + 2z}{(z - i)^3}\) fonksiyonunun \(z = i\)’deki kutup mertebesini ve rezidüsünü bulunuz.
Çözüm
\(\varphi(z) = z^3 + 2z\) tamdır ve \(\varphi(i) = i^3 + 2i = -i + 2i = i \neq 0\)’dır; demek ki \(z = i\), üçüncü mertebeden bir kutuptur. \((7)\) formülüyle (\(m = 3\)):
\[\varphi''(z) = 6z \implies B = \frac{\varphi''(i)}{2!} = \frac{6i}{2} = 3i\]
\(\blacksquare\)
Örnek 36.8 (Çok Değerli Fonksiyonun Dalıyla) \[f(z) = \frac{(\log z)^3}{z^2 + 1}, \qquad \log z = \ln r + i\theta \quad (r > 0,\ 0 < \theta < 2\pi)\]
dalı için \(z = i\) tekilliğindeki rezidüyü bulunuz.
Çözüm
\[f(z) = \frac{\varphi(z)}{z - i}, \qquad \varphi(z) = \frac{(\log z)^3}{z + i}\]
\(\varphi\), seçilen dalın tanımlı olduğu bölgede \(z = i\)’de analitiktir ve
\[\varphi(i) = \frac{(\log i)^3}{2i} = \frac{\left(\ln 1 + i\dfrac{\pi}{2}\right)^3}{2i} = \frac{\left(i\dfrac{\pi}{2}\right)^3}{2i} = \frac{-i\dfrac{\pi^3}{8}}{2i} = -\frac{\pi^3}{16} \neq 0\]
Basit kutuptur; rezidü \(B = -\dfrac{\pi^3}{16}\)’dır.
\(\blacksquare\)
\(f(z) = \dfrac{\sinh z}{z^4}\) için “\(\varphi(z) = \sinh z\), \(m = 4\)” yazıp \((7)\) formülünü uygulamak yanlıştır: formülün geçerliliği \(\varphi(z_0) \neq 0\) koşuluna bağlıdır, oysa \(\sinh 0 = 0\)’dır. Doğru yol, Örnek 36.4 hesabındaki gibi birkaç Laurent terimi yazmaktır; orada kutbun aslında üçüncü mertebeden olduğu ve rezidünün \(1/6\) çıktığı görülmüştü.
Örnek 36.9 (Seriyle Teoremin Birleştirilmesi) \(f(z) = \dfrac{1}{z\left(e^z - 1\right)}\) fonksiyonunun \(z = 0\)’daki kutup mertebesini ve rezidüsünü bulunuz.
Çözüm
\(z(e^z - 1)\) tamdır ve sıfırları \(z = 2n\pi i\) noktalarıdır; orijin \(f\)’nin ayrık tekil noktasıdır. Maclaurin serisiyle
\[z\big(e^z - 1\big) = z\left(\frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots\right) = z^2\left(1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \cdots\right)\]
Böylece
\[f(z) = \frac{\varphi(z)}{z^2}, \qquad \varphi(z) = \frac{1}{1 + \dfrac{z}{2!} + \dfrac{z^2}{3!} + \cdots}\]
\(\varphi\), orijinin bir komşuluğunda analitiktir (payda orada sıfırlanmaz) ve \(\varphi(0) = 1 \neq 0\)’dır: \(z = 0\) ikinci mertebeden bir kutuptur. \((7)\) formülüyle \(B = \varphi'(0)\):
\[\varphi'(z) = \frac{-\left(\dfrac{1}{2!} + \dfrac{2z}{3!} + \cdots\right)}{\left(1 + \dfrac{z}{2!} + \dfrac{z^2}{3!} + \cdots\right)^2} \implies \varphi'(0) = -\frac{1}{2}\]
Yani \(\operatorname*{Rez}\limits_{z=0} f(z) = -\dfrac{1}{2}\).
\(\blacksquare\)
36.5 Alıştırma
Alıştırma 36.1 (Sınıflandırma Alıştırmaları) Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen noktalardaki tekillik tipini belirleyiniz ve rezidüyü hesaplayınız.
\(\dfrac{z^2}{1 + z}\), \(z = -1\)
\(\dfrac{1 - \cosh z}{z^3}\), \(z = 0\)
\(\dfrac{e^{2z}}{(z-1)^2}\), \(z = 1\)
\(z\exp\!\left(\dfrac{1}{z}\right)\), \(z = 0\)
Çözüm
a) Fonksiyonu \(\dfrac{\varphi(z)}{z - z_0}\) biçiminde yazalım:
\[\frac{z^2}{1+z} = \frac{z^2}{z - (-1)}, \qquad \varphi(z) = z^2\]
\(\varphi\), \(z = -1\)’de analitik ve \(\varphi(-1) = 1 \neq 0\) olduğundan tekil nokta basit kutuptur (birinci mertebeden). Basit kutupta rezidü \(\varphi(z_0)\)’dır:
\[\operatorname{Rez}_{z=-1}\frac{z^2}{1+z} = \varphi(-1) = 1\]
b) Payın Maclaurin açılımıyla başlayalım:
\[1 - \cosh z = 1 - \left(1 + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots\right) = -\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} - \cdots\]
\(z^3\)’e bölelim:
\[\frac{1 - \cosh z}{z^3} = -\frac{1}{2z} - \frac{z}{24} - \cdots\]
Negatif kuvvetli kısımda yalnızca \(1/z\) terimi vardır; payda \(z^3\) olmasına rağmen tekillik birinci mertebeden kutuptur (payın çift katlı sıfırı payda mertebesini iki düşürür). Rezidü:
\[\operatorname{Rez}_{z=0}\frac{1-\cosh z}{z^3} = -\frac{1}{2}\]
c) Fonksiyon \(\dfrac{\varphi(z)}{(z-1)^2}\) biçimindedir; \(\varphi(z) = e^{2z}\) analitik ve \(\varphi(1) = e^2 \neq 0\) olduğundan \(z = 1\) ikinci mertebeden kutuptur. \(m = 2\) için rezidü formülü \(\varphi'(z_0)\)’dır:
\[\varphi'(z) = 2e^{2z} \implies \operatorname{Rez}_{z=1}\frac{e^{2z}}{(z-1)^2} = \varphi'(1) = 2e^2\]
d) Açılımı yazalım:
\[z\exp\!\left(\frac{1}{z}\right) = z\left(1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!\,z^2} + \frac{1}{3!\,z^3} + \cdots\right) = z + 1 + \frac{1}{2z} + \frac{1}{6z^2} + \cdots\]
Negatif kuvvetli kısım sonsuz çok terim içerdiğinden \(z = 0\) bir esaslı tekil noktadır. Rezidü yine \(1/z\)’nin katsayısıdır:
\[\operatorname{Rez}_{z=0} z\,e^{1/z} = \frac{1}{2}\]
\(\blacksquare\)
Kutupları saptamanın bir yolu daha vardır ve genellikle en kullanışlısıdır: paydanın sıfırlarına bakmak. Sıfırlarla kutuplar arasındaki bu kesin ilişki sıfırlar ve kutuplar bölümünün konusudur.