1 Kompleks Sayıların Cebirsel Yapısı
Kompleks analizin bütün yapısı tek bir cebirsel adım üzerine kurulur: reel sayı çiftlerine, karesi \(-1\) olan bir eleman içerecek biçimde çarpma tanımlamak. Bu bölümde kompleks sayıları sıralı ikililer olarak kurup dört işlemin tamamını elde edeceğiz.
1.1 Toplamlar ve Çarpımlar
Tanım 1.1 (Kompleks Sayı) Bir kompleks sayı, reel sayıların sıralı bir \((x, y)\) ikilisidir; \(xy\)-düzleminin noktaları gibi düşünülür. Kompleks sayıların kümesi \(\mathbb{C}\) ile gösterilir ve düzlem bu yorumla kompleks düzlem adını alır.
\(z = (x, y)\) sayısının ilk bileşenine reel kısım, ikinci bileşenine sanal kısım denir:
\[\operatorname{Re} z = x, \qquad \operatorname{Im} z = y\]
İki kompleks sayı, ancak ve ancak reel kısımları ve sanal kısımları ayrı ayrı eşitse eşittir.
\((0, y)\) biçimindeki sayılar \(y\) ekseni üzerinde yer alır; bu yüzden \(y\) eksenine sanal eksen denir ve \((0, y)\) sayıları saf sanal olarak adlandırılır.
Tanım 1.2 (Toplam ve Çarpım) \(z_1 = (x_1, y_1)\) ve \(z_2 = (x_2, y_2)\) için toplam ve çarpım şöyle tanımlanır:
\[z_1 + z_2 = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)\]
\[z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2,\; y_1 x_2 + x_1 y_2)\]
\((x, 0)\) biçimindeki sayılar bu işlemler altında tıpkı reel sayılar gibi davranır:
\[(x_1, 0) + (x_2, 0) = (x_1 + x_2, 0), \qquad (x_1, 0)(x_2, 0) = (x_1 x_2, 0)\]
Bu nedenle \((x, 0)\) sayısını \(x\) reel sayısıyla özdeşleştirir ve \(x = (x, 0)\) yazarız; kompleks sayı sistemi, reel sayı sisteminin doğal bir genişlemesidir.
1.2 \(i\) Sayısı ve \(x + iy\) Gösterimi
\(i = (0, 1)\) olarak tanımlansın. Herhangi bir \(z = (x, y)\) sayısı
\[z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0)\]
biçiminde ayrışır; çünkü \((0,1)(y,0) = (0 \cdot y - 1 \cdot 0,\; 1 \cdot y + 0 \cdot 0) = (0, y)\). Özdeşleştirmeyle bu,
\[z = x + iy\]
demektir. Çarpım tanımı \(i\)’nin karesini hemen verir:
\[i^2 = (0,1)(0,1) = (-1, 0) = -1\]
\(z = x + iy\) gösterimi kullanıldığında ikili tanımlarını ezberlemeye gerek kalmaz: kompleks sayılar, \(i^2\) görüldüğü her yerde \(-1\) yazılması kuralıyla, reel sayılardaki gibi çarpılıp toplanır. Örneğin
\[(x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i y_1 x_2 + i^2 y_1 y_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(y_1 x_2 + x_1 y_2)\]
sonucu, tanımdaki çarpımla birebir aynıdır.
1.3 Temel Cebirsel Özellikler
Kompleks sayılarda toplama ve çarpma, reel sayılardaki alışıldık yasaların tümünü sağlar. Değişme ve birleşme yasaları
\[z_1 + z_2 = z_2 + z_1, \qquad z_1 z_2 = z_2 z_1\]
\[(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3), \qquad (z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)\]
ve dağılma yasası
\[z(z_1 + z_2) = z z_1 + z z_2\]
tanımlardan, reel sayıların karşılık gelen yasaları kullanılarak doğrulanır.
Toplamanın birim elemanı \(0 = (0,0)\), çarpmanın birim elemanı \(1 = (1,0)\) sayısıdır:
\[z + 0 = z, \qquad z \cdot 1 = z\]
Her \(z = (x, y)\) sayısının bir toplama tersi vardır ve tektir:
\[-z = (-x, -y), \qquad z + (-z) = 0\]
Çıkarma işlemi bu ters yardımıyla tanımlanır: \(z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)\).
Teorem 1.1 (Çarpma Tersi) Sıfırdan farklı her \(z = (x, y)\) kompleks sayısının, \(z z^{-1} = 1\) koşulunu sağlayan tek bir çarpma tersi vardır:
\[z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2 + y^2},\; \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)\]
İspat
\(z^{-1} = (u, v)\) arıyoruz; \((x,y)(u,v) = (1,0)\) koşulu, çarpım tanımına göre
\[xu - yv = 1, \qquad yu + xv = 0\]
lineer sistemine denktir. Sistemin katsayı determinantı \(x^2 + y^2\)’dir ve \(z \neq 0\) olduğundan sıfırdan farklıdır; dolayısıyla tek çözüm vardır:
\[u = \frac{x}{x^2 + y^2}, \qquad v = \frac{-y}{x^2 + y^2}\]
\(\blacksquare\)
\(z = 0\) sayısının çarpma tersi yoktur: \(0 \cdot w = 0 \neq 1\) her \(w\) için geçerlidir.
1.4 Sıfır Çarpanları Yoktur
Teorem 1.2 (Çarpımın Sıfır Olması) \(z_1 z_2 = 0\) ise \(z_1 = 0\) veya \(z_2 = 0\) olmalıdır (ikisi birden de sıfır olabilir).
İspat
\(z_1 z_2 = 0\) olsun ve \(z_1 \neq 0\) olduğunu varsayalım. O zaman \(z_1^{-1}\) vardır ve
\[z_2 = 1 \cdot z_2 = (z_1^{-1} z_1) z_2 = z_1^{-1} (z_1 z_2) = z_1^{-1} \cdot 0 = 0\]
\(\blacksquare\)
Bu özellik, reel sayılardan tanıdığımız “çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır” kuralının kompleks sayılarda da aynen geçerli olduğunu söyler; denklem çözerken çarpanlara ayırmayı güvenle kullanabiliriz.
1.5 Bölme
Bölme, çarpma tersiyle tanımlanır (\(z_2 \neq 0\)):
\[\frac{z_1}{z_2} = z_1 z_2^{-1}\]
Bileşenler cinsinden açık formül
\[\frac{z_1}{z_2} = \left( \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2},\; \frac{y_1 x_2 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} \right)\]
biçimindedir; ama bu formül ezberlenmez. Pratikte pay ve payda, paydanın sanal kısmının işareti değiştirilmiş kopyasıyla — yani \(x_2 - iy_2\) ile — çarpılır; payda böylece reel sayı \(x_2^2 + y_2^2\) olur. Bu işlem, bir sonraki bölümde tanıtılacak eşlenik kavramının ilk görünüşüdür.
Örnek 1.1 (Bölme İşlemi) \(\dfrac{4 + i}{2 - 3i}\) bölümünü \(x + iy\) biçiminde yazınız.
Çözüm
Pay ve paydayı \(2 + 3i\) ile çarpalım:
\[\frac{4 + i}{2 - 3i} = \frac{(4 + i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} = \frac{8 + 12i + 2i + 3i^2}{4 + 9} = \frac{5 + 14i}{13} = \frac{5}{13} + \frac{14}{13}i\]
\(\blacksquare\)
Bölmeyle ilgili beklenen özdeşliklerin tümü tanımdan çıkar; sık kullanılanlar şunlardır (\(z_1, z_2 \neq 0\)):
\[\frac{1}{z_1 z_2} = \frac{1}{z_1} \cdot \frac{1}{z_2}, \qquad \frac{z_3 + z_4}{z_1} = \frac{z_3}{z_1} + \frac{z_4}{z_1}, \qquad \left(\frac{z_3}{z_1}\right)\left(\frac{z_4}{z_2}\right) = \frac{z_3 z_4}{z_1 z_2}\]
1.6 Binom Formülü
Reel cebirdeki binom açılımı, kanıtı yalnızca değişme–birleşme–dağılma yasalarına dayandığından kompleks sayılarda da geçerlidir: \(n = 1, 2, \dots\) için
\[(z_1 + z_2)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z_1^k \, z_2^{\,n-k}\]
1.7 Alıştırma
Alıştırma 1.1 (Cebirsel İşlemler) Aşağıdaki sayıları \(x + iy\) biçiminde yazınız.
\((2 - 3i)(-2 + i)\)
\(\dfrac{1 + 2i}{3 - 4i} + \dfrac{2 - i}{5i}\)
\((1 - i)^4\)
Çözüm
a) Çarpımı dağıtıp \(i^2 = -1\) yazalım:
\[(2 - 3i)(-2 + i) = -4 + 2i + 6i - 3i^2 = -4 + 8i + 3 = -1 + 8i\]
b) Her iki bölümü de paydanın eşleniğiyle genişletelim. İlk terim:
\[\frac{1 + 2i}{3 - 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{3 + 4i + 6i - 8}{9 + 16} = \frac{-5 + 10i}{25} = \frac{-1 + 2i}{5}\]
İkinci terimde payda saf sanaldır; \(1/i = -i\) olduğundan
\[\frac{2 - i}{5i} = \frac{(2 - i)(-i)}{5} = \frac{-2i + i^2}{5} = \frac{-1 - 2i}{5}\]
Toplarsak sanal kısımlar birbirini götürür:
\[\frac{-1 + 2i}{5} + \frac{-1 - 2i}{5} = \frac{-2}{5}\]
c) Önce kareyi alıp sonucu tekrar karelemek en kısa yoldur:
\[(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i, \qquad (1 - i)^4 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4\]
\(\blacksquare\)
Cebirsel işlemler tamamlandı; sırada kompleks sayıların geometrisi var: vektör yorumu, modül ve eşlenik.