5 Kompleks Düzlemde Bölgeler
Limit, süreklilik ve analitiklik gibi kavramların tümü “bir noktanın yakını” fikrine dayanır. Bu bölümde, ileride sürekli kullanacağımız topolojik sözlüğü kuruyoruz: komşuluk, açık ve kapalı küme, domen, bölge ve yığılma noktası.
5.1 Komşuluklar
Tanım 5.1 (Komşuluk) \(z_0\) noktasının bir \(\varepsilon\)-komşuluğu, \(\varepsilon > 0\) olmak üzere
\[|z - z_0| < \varepsilon\]
eşitsizliğini sağlayan tüm \(z\) noktalarının kümesidir: \(z_0\) merkezli, \(\varepsilon\) yarıçaplı çemberin içi. Merkezin çıkarılmasıyla elde edilen
\[0 < |z - z_0| < \varepsilon\]
kümesine delinmiş komşuluk denir.
5.2 İç, Dış ve Sınır Noktaları
\(S\), kompleks düzlemin bir alt kümesi olsun. Bir \(z_0\) noktası için üç olasılık vardır:
- \(z_0\)’ın tamamen \(S\) içinde kalan bir komşuluğu varsa \(z_0\), \(S\)’nin bir iç noktasıdır.
- \(z_0\)’ın \(S\) ile hiç ortak noktası olmayan bir komşuluğu varsa \(z_0\), \(S\)’nin bir dış noktasıdır.
- Bu ikisi de değilse — yani her komşuluğu hem \(S\)’den hem \(S\) dışından nokta içeriyorsa — \(z_0\) bir sınır noktasıdır.
Sınır noktalarının tümüne \(S\)’nin sınırı denir.
Örnek 5.1 (Birim Diskin Sınırı) \(|z| < 1\) ve \(|z| \le 1\) kümelerinin her ikisinin de sınırı \(|z| = 1\) çemberidir: çember üzerindeki bir noktanın her komşuluğu, hem diskten hem disk dışından nokta içerir. Fark şudur: birinci küme sınırının hiçbir noktasını içermez, ikincisi tamamını içerir.
5.3 Açık ve Kapalı Kümeler
Tanım 5.2 (Açık ve Kapalı Küme) Sınırının hiçbir noktasını içermeyen kümeye açık, sınırının tüm noktalarını içeren kümeye kapalı denir. Bir küme açıktır ancak ve ancak her noktası bir iç noktaysa. \(S\)’nin kapanışı \(\bar{S}\), \(S\) ile sınırının birleşimidir ve her zaman kapalıdır.
İki uç örneğe dikkat edilmelidir:
- \(0 < |z| \le 1\) kümesi ne açık ne kapalıdır: sınır noktası \(0\)’ı içermez (kapalı değil), ama sınır noktalarından oluşan \(|z| = 1\) çemberini içerir (açık değil).
- Tüm düzlem \(\mathbb{C}\), sınır noktası olmadığından hem açık hem kapalıdır.
5.4 Bağlantılılık, Domen ve Bölge
Tanım 5.3 (Domen ve Bölge) Açık bir \(S\) kümesi, herhangi iki noktası tamamen \(S\) içinde kalan sonlu sayıda doğru parçasından oluşan bir çokgensel yolla birleştirilebiliyorsa bağlantılıdır.
Açık, bağlantılı ve boş olmayan bir kümeye domen denir. Bir domene sınır noktalarının bir kısmı, tamamı eklenirse (ya da hiçbiri eklenmezse) elde edilen kümeye bölge denir.
Her komşuluk bir domendir. Halka biçimindeki
\[1 < |z| < 2\]
kümesi de bir domendir: açıktır ve içindeki herhangi iki nokta, halkadan çıkmadan çokgensel bir yolla birleştirilebilir.
Domen tanımındaki bağlantılılık koşulu keyfi değildir. Analizin birçok teoremi — örneğin türevi her yerde sıfır olan fonksiyonun sabit olması — ancak bağlantılı kümelerde geçerlidir: iki ayrık parçadan oluşan bir açık kümede fonksiyon her parçada farklı bir sabit değer alabilir.
5.5 Sınırlılık
Bir \(S\) kümesi, her noktası bir \(|z| \le R\) diski içinde kalacak biçimde bir \(R\) bulunabiliyorsa sınırlıdır; aksi hâlde sınırsızdır. Örneğin \(|z| \le 1\) sınırlı, sağ yarı düzlem \(\operatorname{Re} z \ge 0\) sınırsızdır.
5.6 Yığılma Noktaları
Tanım 5.4 (Yığılma Noktası) Bir \(z_0\) noktasının her delinmiş komşuluğu \(S\)’den en az bir nokta içeriyorsa, \(z_0\)’a \(S\)’nin bir yığılma noktası denir.
Yığılma noktası kümenin elemanı olmak zorunda değildir; kümeye “sonsuz kez yaklaşılan” noktadır.
Teorem 5.1 (Kapalılık ve Yığılma Noktaları) Bir küme kapalıdır ancak ve ancak tüm yığılma noktalarını içeriyorsa.
İspat
\(z_0\), \(S\)’nin \(S\)’de olmayan bir yığılma noktası olsun. Her komşuluğu \(S\)’den nokta içerir; \(z_0 \notin S\) olduğundan aynı komşuluk \(S\) dışından da nokta (\(z_0\)’ın kendisi) içerir. O hâlde \(z_0\) bir sınır noktasıdır ve \(S\) onu içermediğinden \(S\) kapalı değildir. Tersine, \(S\) kapalı değilse sınırının bir \(z_0\) noktasını içermez; \(z_0\)’ın her komşuluğu \(S\)’den nokta içerir ve \(z_0 \notin S\) olduğundan bu noktalar \(z_0\)’dan farklıdır — yani \(z_0\), \(S\)’de olmayan bir yığılma noktasıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 5.2 (Bir Dizinin Yığılma Noktası) \(S = \left\{ \dfrac{i}{n} : n = 1, 2, 3, \dots \right\}\) kümesinin tek yığılma noktası \(z_0 = 0\)’dır.
Çözüm
\(i/n \to 0\) olduğundan \(0\)’ın her delinmiş komşuluğu kümeden nokta içerir; \(0\) bir yığılma noktasıdır. Kümenin herhangi bir \(i/n\) noktası ise yalıtılmıştır: komşu elemanlara uzaklığı pozitif olduğundan, yeterince küçük delinmiş komşuluğu kümeden hiç nokta içermez. Düzlemin başka hiçbir noktası da kümeye yığılmaz: sanal eksen dışındaki bir nokta eksene pozitif uzaklıktadır, eksen üzerindeki \(0\) dışındaki noktalar ise \(i/n\) terimlerinden pozitif uzaklıkta kalır. \(0 \notin S\) olduğundan, teoreme göre \(S\) kapalı değildir.
\(\blacksquare\)
5.7 Alıştırma
Alıştırma 5.1 (Küme Sınıflandırması) Aşağıdaki kümelerin açık mı, kapalı mı, domen mi olduğunu; sınırlarını ve sınırlılıklarını belirleyiniz.
\(|z - 2 + i| \le 1\)
\(|2z + 3| > 4\)
\(\operatorname{Im} z > 1\)
\(0 \le \arg z \le \pi/4\) \((z \neq 0)\)
Çözüm
a) \(|z - (2 - i)| \le 1\) koşulu, \(2 - i\) merkezli \(1\) yarıçaplı kapalı disktir. Sınır, \(|z - 2 + i| = 1\) çemberidir ve bu çember kümenin içindedir; küme tüm sınır noktalarını barındırdığından kapalıdır. Çemberin üzerindeki noktaların hiçbiri iç nokta olmadığı için küme açık değildir, dolayısıyla domen de değildir. Tümüyle \(|z| \le 1 + |2 - i| = 1 + \sqrt{5}\) diskinin içinde kaldığından sınırlıdır.
b) Eşitsizliği merkez-yarıçap biçimine getirelim:
\[|2z + 3| > 4 \iff 2\left|z + \frac{3}{2}\right| > 4 \iff \left|z + \frac{3}{2}\right| > 2\]
Bu, \(-3/2\) merkezli \(2\) yarıçaplı çemberin dışıdır: her noktası iç noktadır, yani küme açıktır; herhangi iki noktası çemberin dışında kalan kırık çizgilerle birleştirilebildiğinden bağlantılıdır — açık ve bağlantılı olduğu için domendir. Sınırı \(\big|z + \tfrac{3}{2}\big| = 2\) çemberidir ve bu çember kümeye ait değildir. Modülü istendiği kadar büyük noktalar içerdiğinden sınırsızdır.
c) \(\operatorname{Im} z > 1\) kümesi, \(y = 1\) doğrusunun üstünde kalan açık yarı düzlemdir. Her noktası iç noktadır (açık), yarı düzlem bağlantılıdır (domen), sınırı \(\operatorname{Im} z = 1\) doğrusudur ve bu doğru kümeye dahil değildir. Yatayda ve yukarıda sınır tanımadığından sınırsızdır.
d) \(0 \le \arg z \le \pi/4\) kümesi, başlangıç noktasından çıkan iki ışının arasında kalan kapalı açı bölgesidir; ancak \(z \neq 0\) dışlanmıştır. İç noktalar \(0 < \arg z < \pi/4\) olanlardır; ışınların üzerindeki noktalar kümeye ait olduğu hâlde iç nokta değildir, dolayısıyla küme açık değildir. Öte yandan \(z = 0\) noktası bir sınır noktasıdır (her komşuluğu hem kümeden hem tümleyeninden nokta içerir) ve kümeye ait değildir; bu yüzden küme kapalı da değildir. Sınırı, \(\arg z = 0\) ve \(\arg z = \pi/4\) ışınları ile başlangıç noktasından oluşur. Işınlar sonsuza uzandığından küme sınırsızdır.
\(\blacksquare\)
Sahne hazır: bir sonraki kısımda bu düzlem üzerinde fonksiyonları tanımlayıp kompleks analizin asıl nesnesine, analitik fonksiyonlara doğru yola çıkıyoruz.