23  Ters Türevler

\(\displaystyle\int_C z\,dz\) her yolda aynı çıkmış, \(\displaystyle\int_C \bar{z}\,dz\) ise yola göre değişmişti. Aradaki fark tek bir kavramda düğümlenir: integrandın bir ters türevinin var olup olmaması. Bu bölümün teoremi, yoldan bağımsızlığı üç eşdeğer yüzüyle karakterize eder — ve kalkülüsün temel teoremini çevre integrallerine taşır.

23.1 Ters Türev

Tanım 23.1 (Ters Türev) \(f\), bir \(D\) domeninde sürekli olsun. \(D\)’nin her noktasında \(F'(z) = f(z)\) koşulunu sağlayan bir \(F\) fonksiyonuna \(f\)’nin \(D\)’deki bir ters türevi denir.

Ters türev, türevi olan bir fonksiyon olduğundan zorunlu olarak analitiktir. Ayrıca toplamsal sabit dışında tektir: iki ters türevin farkının türevi \(D\)’de sıfırdır ve sabitlik teoremi gereği fark sabittir.

23.2 Denklik Teoremi

Teorem 23.1 (Üçlü Denklik) \(f\), bir \(D\) domeninde sürekli olsun. Aşağıdaki ifadelerden biri doğruysa üçü birden doğrudur:

  1. \(f\)’nin \(D\)’de bir \(F\) ters türevi vardır;

  2. sabit \(z_1\) noktasından sabit \(z_2\) noktasına giden, tamamen \(D\)’de kalan tüm çevreler boyunca \(f\)’nin integralleri aynı değere sahiptir ve bu ortak değer

\[\int_{z_1}^{z_2} f(z)\,dz = F(z)\Big]_{z_1}^{z_2} = F(z_2) - F(z_1)\]

  1. tamamen \(D\)’de kalan her kapalı çevre üzerinde \(f\)’nin integrali sıfırdır.
İspat

Üç ifadenin denkliği için (a) \(\Rightarrow\) (b) \(\Rightarrow\) (c) \(\Rightarrow\) (a) zincirini kurmak yeterlidir.

(a) \(\Rightarrow\) (b). \(F' = f\) olsun. \(C\): \(z = z(t)\) \((a \le t \le b)\), \(z_1\)’den \(z_2\)’ye \(D\)’de kalan düzgün bir yay ise zincir kuralıyla

\[\frac{d}{dt} F[z(t)] = F'[z(t)]\,z'(t) = f[z(t)]\,z'(t) \qquad (a \le t \le b)\]

Temel teorem uygulanır:

\[\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f[z(t)]z'(t)\,dt = F[z(t)]\Big]_a^b = F(z_2) - F(z_1)\]

\(C\), düzgün yayların eklenmesiyle oluşan genel bir çevreyse, her \(C_k\) parçası \(z_k\)’den \(z_{k+1}\)’e uzansın; parça değerleri teleskopik toplanır:

\[\int_C f(z)\,dz = \sum_{k=1}^{n} \big[F(z_{k+1}) - F(z_k)\big] = F(z_{n+1}) - F(z_1)\]

Değer yalnız uçlara bağlıdır; (b) kanıtlandı.

(b) \(\Rightarrow\) (c). \(C\), \(D\)’de kapalı bir çevre olsun; üzerinde iki nokta \(z_1, z_2\) seçip \(C\)’yi, ikisi de \(z_1\)’den \(z_2\)’ye giden \(C_1\) ve \(C_2\) yollarına ayıralım: \(C = C_1 - C_2\). Yoldan bağımsızlıkla

\[\int_{C_1} f\,dz = \int_{C_2} f\,dz \implies \int_C f\,dz = \int_{C_1} f\,dz + \int_{-C_2} f\,dz = \int_{C_1} f\,dz - \int_{C_2} f\,dz = 0\]

z₁ z₂ C₁ C₂ D C = C₁ − C₂ (C₂ ters yönde dolaşılır)
Kapalı C çevresi üzerinde iki nokta seçilince C, ikisi de z1'den z2'ye giden iki yola ayrılır: C1 (üst) ve C2 (alt). C'yi dolaşmak C1'i ileri, C2'yi geri (−C2) izlemektir; yoldan bağımsızlıkla iki integral eşit olduğundan C üzerindeki integral sıfırdır.

(c) \(\Rightarrow\) (a). Kapalı çevre integralleri sıfır olsun. Önce (c)’nin (b)’yi verdiğine dikkat edelim: \(z_1\)’den \(z_2\)’ye iki yol \(C_1, C_2\) için \(C_1 - C_2\) kapalıdır, integrali sıfırdır, dolayısıyla iki yol aynı değeri verir. Şimdi \(z_0 \in D\) sabitleyip

\[F(z) = \int_{z_0}^{z} f(s)\,ds \qquad (z \in D)\]

tanımlayalım; yoldan bağımsızlık sayesinde bu tanım tek değerlidir. \(F' = f\) olduğunu gösterelim.

\(z \in D\) verilsin; \(z + \Delta z\), \(z\)’nin tamamen \(D\)’de kalan bir komşuluğunda olsun (\(\Delta z \neq 0\)). Yolları \(z\)’den \(z + \Delta z\)’ye bir doğru parçasıyla tamamlayarak

\[F(z + \Delta z) - F(z) = \int_{z}^{z + \Delta z} f(s)\,ds\]

yazabiliriz (integral doğru parçası üzerinden alınabilir). \(\displaystyle\int_z^{z+\Delta z} ds = \Delta z\) olduğundan

\[f(z) = \frac{1}{\Delta z}\int_z^{z+\Delta z} f(z)\,ds \implies \frac{F(z + \Delta z) - F(z)}{\Delta z} - f(z) = \frac{1}{\Delta z}\int_z^{z+\Delta z} \big[f(s) - f(z)\big]\,ds\]

\(f\), \(z\)’de süreklidir: her \(\varepsilon > 0\) için \(|s - z| < \delta\) iken \(|f(s) - f(z)| < \varepsilon\) olacak bir \(\delta > 0\) vardır. \(|\Delta z| < \delta\) seçilirse doğru parçası üzerindeki her \(s\) için bu kestirim geçerlidir ve ML eşitsizliğiyle

\[\left| \frac{F(z + \Delta z) - F(z)}{\Delta z} - f(z) \right| \le \frac{1}{|\Delta z|}\, \varepsilon\, |\Delta z| = \varepsilon\]

Demek ki

\[\lim_{\Delta z \to 0} \frac{F(z + \Delta z) - F(z)}{\Delta z} = f(z)\]

yani \(F'(z) = f(z)\); (a) kanıtlandı ve zincir kapandı.

\(\blacksquare\)

Teorem, üç ifadeden herhangi birinin belirli bir \(f\) için doğru olduğunu iddia etmez; yalnızca ya üçünün birden doğru ya üçünün birden yanlış olduğunu söyler. İspat, teorem kutusunun içinde katlanmış olarak duruyor; önce teoremin nasıl kullanıldığını görelim.

23.3 Çözümlü Uygulamalar

Örnek 23.1 (Doğrudan Temel Teorem) Sürekli \(f(z) = z^2\) fonksiyonu tüm düzlemde \(F(z) = \dfrac{z^3}{3}\) ters türevine sahiptir; \(z = 0\)’dan \(z = 1 + i\)’ye her çevre için

\[\int_0^{1+i} z^2\,dz = \frac{z^3}{3}\Bigg]_0^{1+i} = \frac{(1 + i)^3}{3} = \frac{2}{3}\,(-1 + i)\]

Örnek 23.2 (Delinmiş Düzlemde 1/z²) \(f(z) = \dfrac{1}{z^2}\), delinmiş düzlem \(|z| > 0\)’da süreklidir ve orada \(F(z) = -\dfrac{1}{z}\) ters türevine sahiptir. Dolayısıyla başlangıç noktasını çevreleyen pozitif yönlü \(z = 2e^{i\theta}\) \((-\pi \le \theta \le \pi)\) çemberi için — hesaba gerek kalmadan —

\[\int_C \frac{dz}{z^2} = 0\]

Kapalı çevre başlangıçtan geçmediği sürece bu sonuç tüm kapalı çevrelerde geçerlidir.

Uyarı1/z aynı oyuna gelmez

\(\dfrac{1}{z}\)’nin ters türevi olmaya tek aday \(\log z\)’nin dallarıdır; ama hiçbir dal, delinmiş düzlemin tamamında tanımlı ve analitik değildir — her dal kendi kesimi üzerinde çöker. Nitekim \(|z| = 2\) çemberi üzerinde \(\displaystyle\int_C \dfrac{dz}{z} = 2\pi i \neq 0\) bulunmuştu; teorem gereği delinmiş düzlemde ters türev var olamaz. Yine de dallar, çemberin parçaları üzerinde kullanılabilir — sıradaki örnek tekniği gösterir.

Örnek 23.3 (İki Dalla Tam Çember) \(C\), pozitif yönlü \(|z| = 2\) çemberi olsun. \(\displaystyle\int_C \dfrac{dz}{z} = 2\pi i\) değerini, logaritmanın iki dalını kullanarak yeniden elde edelim.

Çözüm

Çemberi iki yarıya bölelim: \(C_1\), \(-2i\)’den \(2i\)’ye sağ yarı; \(C_2\), \(2i\)’den \(-2i\)’ye sol yarı.

C₁ üzerinde Log z (−π < Θ < π) Re Im 2i −2i C₁ Log kesimi Θ = ±π C₂ üzerinde log z (0 < θ < 2π) Re Im 2i −2i C₂ log kesimi θ = 0 her dalın kesimi, kullanıldığı yarım çembere dokunmaz
Her yarım çember için kesimi öbür tarafta kalan bir dal seçilir: sağ yarı C1 üzerinde esas dal Log z (kesimi negatif reel eksen), sol yarı C2 üzerinde 0 < θ < 2π dalı (kesimi pozitif reel eksen). İki parçanın toplamı 2πi'yi verir. Tek bir dal çemberin tamamını kapsayamaz, çünkü her dalın kesimi çemberi keser.

Sağ yarıda esas dal iş görür: \(\operatorname{Log} z\) \((r > 0,\; -\pi < \Theta < \pi)\), sağ yarı düzlemi içeren domende \(1/z\)’nin ters türevidir:

\[\int_{C_1} \frac{dz}{z} = \operatorname{Log} z\Big]_{-2i}^{2i} = \left(\ln 2 + i\frac{\pi}{2}\right) - \left(\ln 2 - i\frac{\pi}{2}\right) = \pi i\]

Sol yarıda esas dalın kesimi yolu keser; \(\log z = \ln r + i\theta\) \((0 < \theta < 2\pi)\) dalına geçilir:

\[\int_{C_2} \frac{dz}{z} = \log z\Big]_{2i}^{-2i} = \left(\ln 2 + i\frac{3\pi}{2}\right) - \left(\ln 2 + i\frac{\pi}{2}\right) = \pi i\]

Toplam: \(\displaystyle\int_C \frac{dz}{z} = \pi i + \pi i = 2\pi i\).

\(\blacksquare\)

Örnek 23.4 (Karekök Dalıyla İntegral) \(C_1\), \(z = -3\)’ten \(z = 3\)’e reel eksenin üstünden geçen herhangi bir çevre olsun. Çok değerli \(z^{1/2}\)’nin

\[f_1(z) = \sqrt{r}\, e^{i\theta/2} \qquad \left(r > 0,\; -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}\right)\]

dalını alarak \(\displaystyle\int_{C_1} z^{1/2}\,dz\) integralini hesaplayınız.

Re Im −3 3 C₁ (üstten) f₁ kesimi: θ = −π/2 C₂ (alttan) kesimi keser
−π/2 < θ < 3π/2 dalının kesimi negatif sanal eksendir: reel eksenin üstünden geçen her C1 yolu kesime hiç dokunmaz, dolayısıyla f1 bu yol üzerinde süreklidir ve ters türevi F1 kullanılabilir. Alttan geçen bir C2 ise kesimi keser; onun için π/2 < θ < 5π/2 dalı gerekir.
Çözüm

Bu dal, üst yarı düzlemi ve reel ekseni (\(0\) hariç) kapsayan domende tanımlı ve \(C_1\) üzerinde süreklidir. Domende bir ters türevi vardır:

\[F_1(z) = \frac{2}{3}\, z^{3/2} = \frac{2}{3}\, r\sqrt{r}\, e^{i3\theta/2} \qquad \left(r > 0,\; -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}\right)\]

Uç değerlerle (\(z = 3\): \(r = 3, \theta = 0\); \(z = -3\): \(r = 3, \theta = \pi\)):

\[\int_{C_1} z^{1/2}\,dz = F_1(3) - F_1(-3) = 2\sqrt{3}\,\big(e^{i0} - e^{i3\pi/2}\big) = 2\sqrt{3}\,(1 + i)\]

Aynı uçlar arasında reel eksenin altından geçen bir \(C_2\) çevresi için \(\left(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{5\pi}{2}\right)\) dalıyla aynı yöntem uygulanabilir.

\(\blacksquare\)

23.4 Alıştırma

Alıştırma 23.1 (Ters Türev Uygulamaları) Aşağıdaki integralleri uygun ters türevlerle hesaplayınız.

  1. \(\displaystyle\int_i^{i/2} e^{\pi z}\,dz\)

  2. \(\displaystyle\int_0^{\pi + 2i} \cos\frac{z}{2}\,dz\)

  3. \(\displaystyle\int_1^3 (z - 2)^3\,dz\)

Çözüm

a) \(e^{\pi z}\) fonksiyonu tüm düzlemde analitiktir ve ters türevi \(\dfrac{e^{\pi z}}{\pi}\)’dir; integral yoldan bağımsızdır:

\[\int_i^{i/2} e^{\pi z}\,dz = \frac{e^{\pi z}}{\pi}\Bigg]_i^{i/2} = \frac{e^{i\pi/2} - e^{i\pi}}{\pi}\]

\(e^{i\pi/2} = i\) ve \(e^{i\pi} = -1\) değerleriyle

\[\int_i^{i/2} e^{\pi z}\,dz = \frac{i - (-1)}{\pi} = \frac{1 + i}{\pi}\]

b) \(\cos\dfrac{z}{2}\) fonksiyonunun ters türevi \(2\sin\dfrac{z}{2}\)’dir:

\[\int_0^{\pi + 2i} \cos\frac{z}{2}\,dz = 2\sin\frac{z}{2}\Bigg]_0^{\pi+2i} = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} + i\right) - 2\sin 0\]

Toplam formülünü uygulayalım:

\[\sin\left(\frac{\pi}{2} + i\right) = \sin\frac{\pi}{2}\cos i + \cos\frac{\pi}{2}\sin i = \cos i = \cosh 1\]

Böylece

\[\int_0^{\pi + 2i} \cos\frac{z}{2}\,dz = 2\cosh 1 = e + \frac{1}{e}\]

c) \((z-2)^3\) fonksiyonunun ters türevi \(\dfrac{(z-2)^4}{4}\)’tür:

\[\int_1^3 (z-2)^3\,dz = \frac{(z-2)^4}{4}\Bigg]_1^3 = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = 0\]

Sonucun sıfır çıkması, integrandın \(z = 2\) noktasına göre tek simetrili olmasının doğal karşılığıdır.

\(\blacksquare\)

Birinci kısmın sonuna geldik. Doğal soru şudur: \(f\) analitikse kapalı çevre integralleri ne zaman kendiliğinden sıfırlanır? Yanıt — Cauchy-Goursat teoremi — ders notlarının ikinci kısmının açılış konusudur.