20 Yaylar ve Çevreler
Kompleks integraller reel eksen aralıkları üzerinde değil, düzlemdeki eğriler üzerinde alınır. Bu bölümde integral almaya elverişli eğri sınıflarını tanımlıyoruz: yaydan başlayıp adım adım çevre kavramına ulaşacağız.
20.1 Yaylar
Tanım 20.1 (Yay) \(x(t)\) ve \(y(t)\), \(a \le t \le b\) aralığında sürekli reel fonksiyonlar olmak üzere
\[z = z(t) = x(t) + i\,y(t) \qquad (a \le t \le b)\]
denklemiyle temsil edilen nokta kümesine bir yay (\(C\)) denir. Tanım, \([a, b]\) aralığından düzleme sürekli bir gönderim kurar; görüntü noktaları, artan \(t\)’ye göre doğal bir yönle sıralanır.
Tanım 20.2 (Basit Yay ve Basit Kapalı Eğri) \(t_1 \neq t_2\) iken \(z(t_1) \neq z(t_2)\) oluyorsa — yani eğri kendisiyle kesişmiyorsa — \(C\)’ye basit yay (Jordan yayı) denir. Yalnızca uçlarda çakışma varsa (\(z(b) = z(a)\)) \(C\), bir basit kapalı eğridir (Jordan eğrisi). Basit kapalı eğri, saat yönünün tersine yönlendirilmişse pozitif yönlüdür.
Aynı nokta kümesi, farklı parametrizasyonlarla farklı yaylar tanımlayabilir; yay kavramı kümeyle birlikte dolaşım biçimini de içerir. Dört örnek farkları gösterir:
Örnek 20.1 (Aynı Küme, Farklı Yaylar)
- Kırık çizgi:
\[z = \begin{cases} x + ix, & 0 \le x \le 1 \\ x + i, & 1 \le x \le 2 \end{cases}\]
\(0\)’dan \(1 + i\)’ye, oradan \(2 + i\)’ye giden iki doğru parçasından oluşan basit bir yaydır.
Birim çember: \(z = e^{i\theta}\) \((0 \le \theta \le 2\pi)\), saat yönünün tersine dolaşılan pozitif yönlü bir basit kapalı eğridir. \(z_0\) merkezli \(R\) yarıçaplı çember de \(z = z_0 + Re^{i\theta}\) ile aynı biçimde temsil edilir.
\(z = e^{-i\theta}\) \((0 \le \theta \le 2\pi)\): nokta kümesi aynı birim çemberdir; ama dolaşım saat yönündedir — b’dekiyle aynı yay değildir.
\(z = e^{i2\theta}\) \((0 \le \theta \le 2\pi)\): yine birim çember, ama iki kez dolaşılır; b ve c’den farklı bir yaydır ve basit kapalı eğri değildir.
20.2 Yeniden Parametrizasyon
Parametre aralığı, eğriyi değiştirmeden başka bir aralıkla takas edilebilir. \(\varphi\), \([\alpha, \beta]\)’yı \([a, b]\)’ye gönderen, \(\varphi(\alpha) = a\) ve \(\varphi(\beta) = b\) koşullarını sağlayan, sürekli türevli ve her noktada \(\varphi'(\tau) > 0\) olan bir fonksiyon olsun. O zaman
\[Z(\tau) = z[\varphi(\tau)] \qquad (\alpha \le \tau \le \beta)\]
aynı yayı, aynı yönle temsil eder; \(\varphi' > 0\) koşulu yön korumanın güvencesidir.
20.3 Düzgün Yaylar ve Uzunluk
Tanım 20.3 (Türevlenebilir ve Düzgün Yay) \(x'(t)\) ve \(y'(t)\), \([a, b]\)’nin tamamında var ve sürekliyse \(C\)’ye türevlenebilir yay denir; türevi \(z'(t) = x'(t) + iy'(t)\)’dir. Ek olarak açık aralıkta \(z'(t) \neq 0\) ise \(C\) düzgün yaydır: her noktada iyi tanımlı, sürekli dönen bir birim teğet vektörü
\[\mathbf{T} = \frac{z'(t)}{|z'(t)|}\]
vardır.
Türevlenebilir bir yayın uzunluğu, kalkülüsten bilinen formülün kompleks yazımıdır:
\[L = \int_a^b \big|z'(t)\big|\,dt, \qquad \big|z'(t)\big| = \sqrt{\big[x'(t)\big]^2 + \big[y'(t)\big]^2}\]
Uzunluk, temsil seçiminden bağımsızdır: \(t = \varphi(\tau)\) değişimiyle, zincir kuralı \(Z'(\tau) = z'[\varphi(\tau)]\,\varphi'(\tau)\) ve \(\varphi' > 0\) sayesinde
\[\int_\alpha^\beta \big|Z'(\tau)\big|\,d\tau = \int_\alpha^\beta \big|z'[\varphi(\tau)]\big|\,\varphi'(\tau)\,d\tau = \int_a^b \big|z'(t)\big|\,dt\]
20.4 Çevreler
Tanım 20.4 (Çevre) Çevre (parçalı düzgün yay), uç uca eklenmiş sonlu sayıda düzgün yaydan oluşan yaydır: \(z(t)\) süreklidir, \(z'(t)\) ise parçalı süreklidir. Yalnızca başlangıç ve bitiş değerleri çakışıyorsa basit kapalı çevre denir.
Kırık çizgiler, çemberler, üçgen ve dikdörtgen sınırları — belirli bir yönle dolaşıldıklarında — hep basit kapalı çevrelerdir. Bir çevrenin uzunluğu, onu oluşturan düzgün yayların uzunluklarının toplamıdır.
Basit kapalı bir eğri, düzlemi ikisi de sınırı \(C\) olan iki domene ayırır: biri sınırlı (iç bölge), diğeri sınırsız (dış bölge). Geometrik olarak apaçık görünen bu ifadenin kanıtı şaşırtıcı derecede zordur; kuram boyunca kanıtsız kabul edeceğiz.
20.5 Alıştırma
Alıştırma 20.1 (Parametrizasyon Alıştırmaları)
\(-1 - i\) noktasından \(1 + i\) noktasına giden doğru parçasını \(z(t)\) biçiminde parametreleyiniz.
\(z = e^{i\theta}\) \((0 \le \theta \le 2\pi)\) birim çemberinin uzunluğunu \(L = \int|z'|\,d\theta\) formülüyle doğrulayınız.
\(y = x^3\) \((-1 \le x \le 1)\) eğrisinin, \(x\)’i parametre alan temsilinin düzgün bir yay tanımladığını gösteriniz.
Çözüm
a) İki nokta arasındaki doğru parçası, uç noktaların bir ağırlıklı ortalamasıyla yazılır. \(-1-i = -(1+i)\) ve \(1 + i\) noktaları başlangıca göre simetrik olduğundan en sade temsil
\[z(t) = (1 + i)\,t \qquad (-1 \le t \le 1)\]
Gerçekten \(z(-1) = -1 - i\) ve \(z(1) = 1 + i\)’dir; ara değerler de \(y = x\) doğrusu üzerindedir. Genel yazım da kullanılabilir:
\[z(t) = (-1-i) + t\big[(1+i) - (-1-i)\big] = (-1-i) + t(2 + 2i) \qquad (0 \le t \le 1)\]
b) Türevi alalım:
\[z'(\theta) = i e^{i\theta} \implies |z'(\theta)| = |i|\,\big|e^{i\theta}\big| = 1\]
Uzunluk formülü artık sabit bir integrand içerir:
\[L = \int_0^{2\pi} |z'(\theta)|\,d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi\]
Bu, birim çemberin bilinen çevresidir.
c) Eğrinin \(x\) parametreli temsili
\[z(x) = x + i x^3 \qquad (-1 \le x \le 1)\]
Türev
\[z'(x) = 1 + 3x^2 i\]
olup her iki bileşeni de \(x\)’in sürekli fonksiyonudur. Ayrıca reel kısmı sabit \(1\) olduğundan \(z'(x)\) hiçbir \(x\) için sıfır olamaz. Son olarak \(x \mapsto z(x)\) birebirdir: farklı \(x\) değerleri farklı reel kısımlar verir. Sürekli türevli ve türevi hiç sıfırlanmayan bu temsil, tanım gereği düzgün bir yay belirtir; birebir olduğundan bu yay ayrıca basittir.
\(\blacksquare\)
Zemin hazır: eğrilerimiz üzerinde artık çevre integrallerini tanımlayabiliriz.