13 Üstel Fonksiyon
Elemanter fonksiyonlar ailesinin atası üstel fonksiyondur: logaritma onun tersi, trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar onun lineer kombinasyonlarıdır. Reel \(e^x\)’in düzleme genişlemesi tek doğal biçimde yapılır — ve bu genişleme, reel eksende görünmeyen bir özellik kazandırır: periyodiklik.
13.1 Tanım
Tanım 13.1 (Üstel Fonksiyon) \(z = x + iy\) için üstel fonksiyon, Euler formülü yardımıyla tanımlanır:
\[e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\]
\(\exp z\) gösterimi de kullanılır.
Tanım, \(y = 0\) için reel üstel fonksiyona iner. Daha önce gösterdik: \(u = e^x\cos y\), \(v = e^x\sin y\) bileşenleri her yerde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ve
\[\frac{d}{dz} e^z = e^z\]
olur; \(e^z\) bir tam fonksiyondur.
Kökler bölümünde \(z^{1/n}\) yazımı, \(z\)’nin \(n\)-inci kökleri kümesini anlatıyordu; bu uzlaşma \(e^{1/n}\)’e uygulanmaz. Kompleks analizde \(e^z\) daima tanımdaki tek değerdir; \(z = 1/n\) konduğunda pozitif \(\sqrt[n]{e}\) sayısı anlaşılır, kök kümesi kastedilmez.
13.2 Toplama Özelliği
Teorem 13.1 (Üstel Fonksiyonun Toplama Özelliği) Her \(z_1, z_2\) için
\[e^{z_1} e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}\]
İspat
\(z_k = x_k + iy_k\) yazalım. Reel üstel fonksiyonun çarpım kuralı ve üstel formda çarpma ile
\[e^{z_1}e^{z_2} = \big(e^{x_1}e^{iy_1}\big)\big(e^{x_2}e^{iy_2}\big) = e^{x_1 + x_2}\, e^{i(y_1 + y_2)} = e^{z_1 + z_2}\]
\(\blacksquare\)
Toplama özelliğinden bölme kuralı ve ters çıkar:
\[\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}} = e^{z_1 - z_2}, \qquad \frac{1}{e^z} = e^{-z}\]
13.3 Modül, Argüman ve Sıfırlanmama
Tanımın kendisi \(e^z\)’nin kutupsal ayrışmasıdır: modül ve argüman doğrudan okunur:
\[|e^z| = e^x, \qquad \arg e^z = y + 2n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
\(e^x > 0\) olduğundan önemli bir sonuç elde ederiz:
\[e^z \neq 0 \qquad \text{(her } z \text{ için)}\]
Üstel fonksiyon \(0\) değerini asla almaz; birazdan göreceğimiz gibi başka her kompleks değeri alır.
13.4 Periyodiklik
\(e^{i2\pi} = 1\) olduğundan
\[e^{z + 2\pi i} = e^z e^{i2\pi} = e^z\]
Üstel fonksiyon, saf sanal periyot \(2\pi i\) ile periyodiktir. Reel üstel fonksiyonun birebirliği düzlemde kaybolur: düzlem, her biri aynı değerleri üreten \(2\pi\) yüksekliğinde yatay şeritlere dilimlenir.
\(e^x\) daima pozitifken \(e^z\) negatif (hatta istenen her sıfırdan farklı değerde) olabilir:
\[e^{i\pi} = -1, \qquad e^{\ln 2 + i\pi} = -2\]
“Üstel fonksiyon pozitiftir” alışkanlığı yalnızca reel eksende geçerlidir.
13.5 \(e^z = w\) Denkleminin Çözümü
Üstel fonksiyonun hangi değerleri aldığını görmek için \(w \neq 0\) verilip \(e^z = w\) çözülür. \(w = \rho e^{i\varphi}\) (\(\rho > 0\), \(\varphi = \operatorname{Arg} w\)) yazılırsa, \(e^x e^{iy} = \rho e^{i\varphi}\) eşitliğinden
\[x = \ln \rho, \qquad y = \varphi + 2n\pi\]
Yani sonsuz çoklukta çözüm vardır — dikey bir doğru üzerinde \(2\pi\) aralıklarla dizilirler. Bu hesap, bir sonraki bölümdeki logaritmanın doğum belgesidir.
Örnek 13.1 (Üstel Denklem Çözümü) \(e^z = 1 + i\) denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.
Çözüm
\(1 + i = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}\) olduğundan
\[x = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2, \qquad y = \frac{\pi}{4} + 2n\pi\]
\[z = \frac{1}{2}\ln 2 + i\left(2n + \frac{1}{4}\right)\pi \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
Sağlama (\(n = 0\)): \(e^{\frac{1}{2}\ln 2} e^{i\pi/4} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt 2}{2} + i\frac{\sqrt 2}{2}\right) = 1 + i\).
\(\blacksquare\)
13.6 Alıştırma
Alıştırma 13.1 (Üstel Fonksiyon Alıştırmaları)
\(\big|e^{2z}\big|\) modülünü \(x\) cinsinden ifade ediniz ve \(\big|e^{-2z}\big| < 1\) eşitsizliğinin hangi yarı düzlemde geçerli olduğunu belirleyiniz.
\(e^z = -2\) denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.
\(e^{\bar{z}}\) fonksiyonunun hiçbir yerde analitik olmadığını Cauchy-Riemann denklemleriyle gösteriniz.
Çözüm
a) \(2z = 2x + i2y\) olduğundan
\[\big|e^{2z}\big| = \big|e^{2x}e^{i2y}\big| = e^{2x}\big|e^{i2y}\big| = e^{2x}\]
çünkü \(\big|e^{i\theta}\big| = 1\)’dir. Aynı hesap \(-2z\) için \(\big|e^{-2z}\big| = e^{-2x}\) verir. Reel üstel fonksiyon artan olduğundan
\[e^{-2x} < 1 = e^0 \iff -2x < 0 \iff x > 0\]
Eşitsizlik tam olarak \(\operatorname{Re} z > 0\) sağ yarı düzleminde geçerlidir.
b) İki kompleks sayının eşitliğini modül ve argüman olarak ayrı ayrı okuyalım. \(e^z = e^x e^{iy}\) ve \(-2 = 2e^{i\pi}\) olduğundan
\[e^x = 2 \quad \text{ve} \quad e^{iy} = e^{i\pi}\]
Birincisi \(x = \ln 2\) verir. İkincisi, argümanların \(2\pi\)’nin katı kadar farklı olabileceğini söyler:
\[y = \pi + 2n\pi = (2n + 1)\pi \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
Çözümler:
\[z = \ln 2 + (2n+1)\pi i\]
Beklendiği gibi sonsuz çoktur ve ardışık kökler \(2\pi i\) aralıklıdır.
c) \(e^{\bar z} = e^{x - iy} = e^x\cos y - i\,e^x \sin y\) olduğundan
\[u = e^x \cos y, \qquad v = -e^x \sin y\]
Kısmi türevler:
\[u_x = e^x\cos y, \quad u_y = -e^x \sin y, \qquad v_x = -e^x\sin y, \quad v_y = -e^x\cos y\]
Birinci Cauchy-Riemann denklemi:
\[u_x = v_y \iff e^x \cos y = -e^x\cos y \iff 2e^x\cos y = 0 \iff \cos y = 0\]
İkinci denklem:
\[u_y = -v_x \iff -e^x\sin y = e^x \sin y \iff \sin y = 0\]
\(e^x\) hiçbir zaman sıfır olmadığından iki koşul da \(y\) üzerinedir; ama \(\cos y = 0\) ile \(\sin y = 0\) aynı anda sağlanamaz (\(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\)). Demek ki Cauchy-Riemann denklemleri hiçbir noktada sağlanmaz; türev hiçbir yerde var olmaz, dolayısıyla \(e^{\bar z}\) hiçbir noktada analitik değildir.
\(\blacksquare\)
Üstel fonksiyon her sıfırdan farklı değeri sonsuz kez alıyor; öyleyse tersi tek değerli olamaz. Bu çok değerliliği yönetme sanatı, kompleks analizin en incelikli konularından biridir: logaritmik fonksiyon.