16 Trigonometrik Fonksiyonlar
Euler formülü \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\) ile eşleniği birlikte çözülürse, sinüs ve kosinüs üstel fonksiyon cinsinden ifade edilir:
\[\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\]
Sağ taraflar her kompleks sayı için anlamlıdır — tanımı düzleme genişletmenin en doğal yolu budur.
16.1 Tanımlar ve Temel Özellikler
Tanım 16.1 (Sinüs ve Kosinüs) \[\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\]
\(e^{iz}\) ve \(e^{-iz}\) tam fonksiyonlar olduğundan \(\sin z\) ve \(\cos z\) tamdır. Türevleri, \(\dfrac{d}{dz}e^{iz} = ie^{iz}\) ve \(\dfrac{d}{dz}e^{-iz} = -ie^{-iz}\) ile:
\[\frac{d}{dz}\sin z = \cos z, \qquad \frac{d}{dz}\cos z = -\sin z\]
Tanımdan doğrudan okunan diğer özellikler:
- \(\sin(-z) = -\sin z\) (tek), \(\cos(-z) = \cos z\) (çift);
- \(e^{iz} = \cos z + i\sin z\) — Euler formülü artık her kompleks \(z\) için geçerlidir.
Alışıldık özdeşliklerin tümü, üstel tanımlar üzerinden cebirle doğrulanır:
\[\sin(z_1 + z_2) = \sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2\]
\[\cos(z_1 + z_2) = \cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2\]
\[\sin 2z = 2\sin z\cos z, \qquad \cos 2z = \cos^2 z - \sin^2 z, \qquad \sin^2 z + \cos^2 z = 1\]
\[\sin\left(z + \frac{\pi}{2}\right) = \cos z, \qquad \sin\left(z - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos z\]
Periyodiklik de aynen taşınır:
\[\sin(z + 2\pi) = \sin z, \qquad \cos(z + 2\pi) = \cos z, \qquad \sin(z + \pi) = -\sin z, \qquad \cos(z + \pi) = -\cos z\]
16.2 Hiperbolik Bileşenli Açılımlar
\(y\) reel olmak üzere tanımlar, reel hiperbolik fonksiyonları üretir:
\[\sin(iy) = \frac{e^{-y} - e^{y}}{2i} = i\sinh y, \qquad \cos(iy) = \frac{e^{-y} + e^{y}}{2} = \cosh y\]
Toplama formüllerinde \(z_1 = x\), \(z_2 = iy\) konursa reel ve sanal kısımlar ortaya çıkar:
\[\sin z = \sin x\cosh y + i\,\cos x\sinh y\]
\[\cos z = \cos x\cosh y - i\,\sin x\sinh y\]
Bu açılımlardan modüller hesaplanır (\(\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y\) kullanılarak):
\[|\sin z|^2 = \sin^2 x + \sinh^2 y, \qquad |\cos z|^2 = \cos^2 x + \sinh^2 y\]
Reel eksende \(|\sin x| \le 1\) alışkanlığı düzlemde çöker: \(y \to \pm\infty\) iken \(\sinh^2 y \to \infty\) olduğundan \(|\sin z|\) ve \(|\cos z|\) dikey yönde sınırsız büyür. Örneğin \(\cos(iy) = \cosh y\) değeri \(y\) büyüdükçe patlar. “Sinüsü 2’ye eşitleyen açı yoktur” cümlesi de yalnızca reel eksende doğrudur: \(\sin z = 2\) denkleminin kompleks çözümleri vardır.
16.3 Sıfırlar
Teorem 16.1 (Sinüs ve Kosinüsün Sıfırları) Kompleks düzlemde
\[\sin z = 0 \iff z = n\pi, \qquad \cos z = 0 \iff z = \frac{\pi}{2} + n\pi \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
Yani tüm sıfırlar reeldir ve reel analizden bilinenlerden ibarettir.
İspat
\(\sin z = 0\) ise \(|\sin z|^2 = \sin^2 x + \sinh^2 y = 0\); iki kare birden sıfır olmalıdır:
\[\sin x = 0 \implies x = n\pi, \qquad \sinh y = 0 \implies y = 0\]
Dolayısıyla \(z = n\pi\). Tersine bu noktalarda sinüs zaten sıfırdır. Kosinüs için \(\cos z = -\sin\left(z - \dfrac{\pi}{2}\right)\) kaydırma özdeşliği sonucu sinüse aktarır.
\(\blacksquare\)
16.4 Diğer Dört Fonksiyon
Tanım 16.2 (Tanjant, Kotanjant, Sekant, Kosekant) \[\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \qquad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}, \qquad \sec z = \frac{1}{\cos z}, \qquad \csc z = \frac{1}{\sin z}\]
\(\tan z\) ve \(\sec z\), paydalarının sıfırları olan \(z = \dfrac{\pi}{2} + n\pi\) noktaları dışında; \(\cot z\) ve \(\csc z\), \(z = n\pi\) dışında analitiktir — bu noktalar ilgili fonksiyonların tekil noktalarıdır. Bölüm kuralıyla türevler:
\[\frac{d}{dz}\tan z = \sec^2 z, \qquad \frac{d}{dz}\cot z = -\csc^2 z\]
\[\frac{d}{dz}\sec z = \sec z\tan z, \qquad \frac{d}{dz}\csc z = -\csc z\cot z\]
Periyodiklik, sinüs ve kosinüsün \(\pi\) kaydırma özelliklerinden gelir; özellikle
\[\tan(z + \pi) = \tan z\]
16.5 Alıştırma
Alıştırma 16.1 (Trigonometrik Hesaplar)
\(\cos(1 + i)\) değerini \(a + bi\) biçiminde, reel hiperbolik ve trigonometrik değerler cinsinden yazınız.
\(\sin z = 2\) denkleminin çözümlerinin \(z = \left(2n+\dfrac{1}{2}\right)\pi \mp i\ln\big(2 + \sqrt{3}\big)\) biçiminde olduğunu, reel-sanal kısım açılımıyla gösteriniz.
\(|\sinh y| \le |\sin z| \le \cosh y\) eşitsizliklerini modül açılımından türetiniz.
Çözüm
a) Açılım formülünde \(x = y = 1\) alalım:
\[\cos(x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\]
\[\cos(1 + i) = \cos 1 \cosh 1 - i\,\sin 1 \sinh 1 \approx 0{,}8337 - 0{,}9889\,i\]
b) \(z = x + iy\) yazıp reel ve sanal kısımları ayıralım:
\[\sin z = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y = 2\]
Sağ taraf reel olduğundan iki denklem doğar:
\[\sin x \cosh y = 2, \qquad \cos x \sinh y = 0\]
İkinci denklemi iki durumda inceleyelim. \(\sinh y = 0\) ise \(y = 0\) olur ve birinci denklem \(\sin x = 2\)’ye iner; reel sinüs \(1\)’i aşamayacağından bu durum imkânsızdır. Geriye \(\cos x = 0\), yani
\[x = \frac{\pi}{2} + n\pi\]
kalır. Bu noktalarda \(\sin x = \pm 1\)’dir. \(\cosh y > 0\) olduğundan çarpımın \(+2\) olabilmesi için \(\sin x = 1\), yani
\[x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi = \left(2n + \frac{1}{2}\right)\pi\]
seçilmelidir. Birinci denklem artık \(\cosh y = 2\)’dir. Bunu \(y\) için çözelim: \(e^y + e^{-y} = 4\), yani \(t = e^y\) için \(t^2 - 4t + 1 = 0\) ve \(t = 2 \pm \sqrt{3}\). İki kök birbirinin tersi olduğundan (\((2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = 1\))
\[y = \pm \ln\big(2 + \sqrt{3}\big)\]
Çözümler:
\[z = \left(2n + \frac{1}{2}\right)\pi \mp i\ln\big(2 + \sqrt{3}\big) \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
c) Modülün karesini açılımdan hesaplayalım:
\[|\sin z|^2 = \sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y\]
\(\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y\) özdeşliğini yerine koyup düzenleyelim:
\[|\sin z|^2 = \sin^2 x\big(1 + \sinh^2 y\big) + \cos^2 x \sinh^2 y = \sin^2 x + \sinh^2 y\big(\sin^2 x + \cos^2 x\big)\]
yani
\[|\sin z|^2 = \sin^2 x + \sinh^2 y\]
Şimdi \(0 \le \sin^2 x \le 1\) sınırlarını kullanalım:
\[\sinh^2 y \le |\sin z|^2 \le 1 + \sinh^2 y = \cosh^2 y\]
Karekök alındığında (\(\cosh y > 0\) olduğu için sağ tarafta mutlak değere gerek yoktur)
\[|\sinh y| \le |\sin z| \le \cosh y\]
Bu eşitsizlik, reel sinüsün aksine kompleks sinüsün sınırsız olduğunu da gösterir: \(|y| \to \infty\) iken alt sınır \(|\sinh y|\) sonsuza gider.
\(\blacksquare\)
Sinüsün içindeki \(\sinh\), kosinüsün içindeki \(\cosh\) tesadüf değil: bir sonraki bölümde bu ikizleri kendi başlarına inceliyoruz — hiperbolik fonksiyonlar.