14 Logaritmik Fonksiyon ve Dalları
\(e^z = w\) denkleminin sonsuz çoklukta çözümü olduğunu gördük; öyleyse “logaritma” tek bir sayı olamaz. Kompleks logaritma çok değerli doğar: her sıfırdan farklı sayıya, sanal kısımları \(2\pi\) aralıklarla dizilmiş sonsuz bir değer merdiveni eşler. Bu bölümün konusu, bu merdivenle çalışmanın kurallarıdır.
14.1 Tanım
Tanım 14.1 (Logaritmik Fonksiyon) \(z = re^{i\Theta} \neq 0\) (\(\Theta = \operatorname{Arg} z\)) için logaritmik fonksiyon, çok değerli olarak
\[\log z = \ln r + i\big(\Theta + 2n\pi\big) \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
tanımlanır; kısaca \(\log z = \ln|z| + i\arg z\). Buradaki \(\ln\), pozitif reel sayıların bilinen logaritmasıdır.
Tanım tam olarak \(e^w = z\) denkleminin çözüm kümesidir; dolayısıyla
\[e^{\log z} = z \qquad (z \neq 0)\]
her değer seçiminde geçerlidir. Sıra değiştirilirse simetri bozulur:
\[\log\big(e^z\big) = z + 2n\pi i \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
çünkü \(e^z\)’nin logaritma merdivenindeki tüm basamakları geri gelir.
Örnek 14.1 (Bir Logaritma Kümesi) \(\log\big(-1 - \sqrt{3}\,i\big)\) değerlerini bulunuz.
Çözüm
\(r = |-1 - \sqrt{3}i| = 2\) ve \(\operatorname{Arg}\big(-1-\sqrt{3}i\big) = -\dfrac{2\pi}{3}\); dolayısıyla
\[\log\big(-1 - \sqrt{3}\,i\big) = \ln 2 + i\left(-\frac{2\pi}{3} + 2n\pi\right) = \ln 2 + 2\left(n - \frac{1}{3}\right)\pi i \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
\(\blacksquare\)
14.2 Esas Değer
Tanım 14.2 (Esas Değer) \(n = 0\) basamağına, yani esas argümanla hesaplanan değere logaritmanın esas değeri denir:
\[\operatorname{Log} z = \ln r + i\Theta \qquad (r = |z|,\; \Theta = \operatorname{Arg} z)\]
Böylece \(\log z = \operatorname{Log} z + 2n\pi i\) olur. \(z\) pozitif reel sayıysa \(\operatorname{Log} z = \ln z\)’dir.
Örnek 14.2 (İki Temel Hesap) \[\log 1 = 2n\pi i, \qquad \operatorname{Log} 1 = 0\]
\[\log(-1) = (2n + 1)\pi i, \qquad \operatorname{Log}(-1) = \pi i\]
Negatif reel sayıların bile kompleks logaritması vardır; tanımsız kalan tek nokta \(z = 0\)’dır.
14.3 Logaritmanın Dalları
Çok değerlilikten tek değerli, analitik bir fonksiyon damıtmak için argüman bir aralığa hapsedilir. \(\alpha\) herhangi bir reel sayı olsun ve
\[\log z = \ln r + i\theta \qquad (r > 0,\; \alpha < \theta < \alpha + 2\pi)\]
tanımlansın. Bu fonksiyon belirtilen domende tek değerli ve süreklidir; bileşenleri \(u = \ln r\), \(v = \theta\) kutupsal Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar:
\[r u_r = 1 = v_\theta, \qquad u_\theta = 0 = -r v_r\]
ve türev
\[\frac{d}{dz} \log z = e^{-i\theta}\big(u_r + iv_r\big) = e^{-i\theta}\,\frac{1}{r} = \frac{1}{z} \qquad (|z| > 0,\; \alpha < \arg z < \alpha + 2\pi)\]
Tanım 14.3 (Dal, Dal Kesimi, Dallanma Noktası) Çok değerli bir \(f\)’nin bir dalı, bir domende tek değerli ve analitik olan, her noktada \(f\)’nin değerlerinden birini alan fonksiyondur. Dal tanımlarken domenden çıkarılan çizgiye dal kesimi, tüm dal kesimlerinin ortak ucuna dallanma noktası denir.
\[\operatorname{Log} z = \ln r + i\Theta \qquad (r > 0,\; -\pi < \Theta < \pi)\]
fonksiyonuna esas dal denir; dal kesimi negatif reel eksen (başlangıç dahil), dallanma noktası \(z = 0\)’dır.
Esas dal, negatif reel eksene üstten yaklaşırken sanal kısmı \(\pi\)’ye, alttan yaklaşırken \(-\pi\)’ye yakın değerler üretir; kesim üzerinde süreklilik (dolayısıyla analitiklik) kurtarılamaz. Hangi ışının kesileceği seçimliktir: \(\alpha\) değiştirilerek sonsuz çoklukta dal elde edilir ve uygulamada kesim, problemin geometrisine göre konumlandırılır.
14.4 Özdeşlikler: Neyin Geçerli Kaldığı
Reel logaritmanın alışıldık kuralları, ancak çok değerli okumayla kayıpsız taşınır.
Teorem 14.1 (Çarpım ve Bölüm Özdeşlikleri) \(z_1, z_2 \neq 0\) için, küme eşitliği anlamında:
\[\log(z_1 z_2) = \log z_1 + \log z_2, \qquad \log\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \log z_1 - \log z_2\]
İspat
\(\ln|z_1z_2| = \ln|z_1| + \ln|z_2|\) reel özdeşliği ile argüman kümelerinin toplanabilirliği \(\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2\) birleştirilir; bölüm için aynı akıl yürütme fark ile yapılır.
\(\blacksquare\)
Örnek 14.3 (Esas Değerde Bozulma) \(z_1 = z_2 = -1\) alalım. \(z_1 z_2 = 1\) için
\[\operatorname{Log}(z_1 z_2) = 0, \qquad \operatorname{Log} z_1 + \operatorname{Log} z_2 = \pi i + \pi i = 2\pi i\]
Esas değerler toplamsal değildir; ama çok değerli özdeşlik sağlamdır: \(0\) ve \(2\pi i\), \(\log 1 = 2n\pi i\) kümesinin iki basamağıdır.
Benzer bir uyarı kuvvetler için de gerekir: \(\operatorname{Log}\big(i^3\big) = \operatorname{Log}(-i) = -\dfrac{\pi i}{2}\), oysa \(3\operatorname{Log} i = \dfrac{3\pi i}{2}\).
Kuvvetlerle ilişki, çok değerli anlamda düzenlidir: her \(n\) tam sayısı için
\[z^n = e^{n \log z}, \qquad z^{1/n} = \exp\!\left(\frac{1}{n}\log z\right)\]
Birincisi, \(\log z\)’nin hangi değeri seçilirse seçilsin aynı \(z^n\) sayısını verir; ikincisinin sağ tarafı, \(n\) ardışık basamağın \(n\) farklı sonucuyla tam olarak kök kümesini üretir.
14.5 Alıştırma
Alıştırma 14.1 (Logaritma Hesapları)
\(\operatorname{Log}(1 - i)\) değerini hesaplayınız.
\(\log i\) kümesini yazınız; \(\operatorname{Log} i\) hangisidir?
\(\log z = \ln r + i\theta\) \(\left(r > 0,\; \dfrac{3\pi}{4} < \theta < \dfrac{11\pi}{4}\right)\) dalı için \(\log(-1-i)\) değerini bulunuz.
Çözüm
a) Esas logaritma \(\operatorname{Log} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z\)’dir. \(1 - i\) sayısı dördüncü çeyrektedir:
\[|1 - i| = \sqrt{2}, \qquad \operatorname{Arg}(1-i) = -\frac{\pi}{4}\]
Buradan
\[\operatorname{Log}(1 - i) = \ln\sqrt{2} - \frac{\pi i}{4} = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{\pi i}{4}\]
b) \(i\) sayısının modülü \(1\), esas argümanı \(\pi/2\)’dir. Çok değerli logaritma tüm argümanları kullanır:
\[\log i = \ln 1 + i\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = \left(2n + \frac{1}{2}\right)\pi i \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]
Esas değer, \(n = 0\) terimidir (argüman \((-\pi, \pi]\) aralığına düşer):
\[\operatorname{Log} i = \frac{\pi i}{2}\]
c) Bu dalda modül aynı kalır; değişen, argümanın hangi aralıktan seçileceğidir. \(-1-i\) sayısı için
\[r = \sqrt{2}, \qquad \theta \in \left\{-\frac{3\pi}{4} + 2n\pi\right\}\]
Verilen aralık \(\dfrac{3\pi}{4} < \theta < \dfrac{11\pi}{4}\)’tür. Argüman değerlerini tarayalım: \(-3\pi/4\) küçük kalır, \(-3\pi/4 + 2\pi = 5\pi/4\) aralığın içindedir, bir sonraki \(13\pi/4\) ise büyüktür. Tek uygun seçim \(\theta = 5\pi/4\)’tür:
\[\log(-1-i) = \ln\sqrt{2} + \frac{5\pi i}{4} = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{5\pi i}{4}\]
Aynı sayının esas logaritmasının \(\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{3\pi i}{4}\) olduğuna dikkat ediniz: iki değer \(2\pi i\) farklıdır, çünkü farklı dallar kullanılmıştır.
\(\blacksquare\)
Logaritma elimizdeyken, \(z^c\) biçimindeki keyfi kuvvetleri tanımlamanın önünde engel kalmadı: kompleks üsler.