15  Kompleks Üsler

\(z^2\), \(z^{1/2}\) ve \(z^{-1}\) gibi kuvvetleri ayrı ayrı tanıdık; logaritma sayesinde hepsini tek çatı altında toplayıp keyfi kompleks üsleri tanımlayabiliriz. Bedeli, çok değerlilikle gelen sürprizlerdir: \(i^{-2i}\) gibi bir ifade, tamamı reel olan sonsuz bir değer kümesidir.

15.1 Tanım

Tanım 15.1 (Kompleks Kuvvet) \(z \neq 0\) ve \(c\) herhangi bir kompleks sabit olmak üzere

\[z^c = e^{c \log z}\]

tanımlanır; \(\log z\) çok değerli olduğundan \(z^c\) de genelde çok değerlidir.

Tanım eski dostlarla tutarlıdır: \(c = n\) tam sayısıyken \(e^{n\log z}\) tek değere çöker (\(z^n\)), \(c = 1/n\) iken tam olarak \(n\) köklü kök kümesi çıkar.

Örnek 15.1 (Tamamı Reel Bir Kuvvet Kümesi) \(i^{-2i}\) değerlerini bulunuz.

Çözüm

\(\log i = i\left(\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\right)\) olduğundan

\[i^{-2i} = \exp\big(-2i \log i\big) = \exp\!\left[-2i \cdot i\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)\right] = \exp\big[(4n + 1)\pi\big] \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]

Değerlerin tamamı pozitif reel sayılardır: \(e^{\pi},\, e^{5\pi},\, e^{-3\pi}, \dots\)

\(\blacksquare\)

\(1/e^z = e^{-z}\) özelliğinden, tanımın doğal bir sonucu olarak

\[\frac{1}{z^c} = \frac{1}{e^{c\log z}} = e^{-c\log z} = z^{-c}\]

15.2 Dalların Analitikliği

Logaritmanın bir dalı seçildiğinde

\[\log z = \ln r + i\theta \qquad (r > 0,\; \alpha < \theta < \alpha + 2\pi)\]

\(z^c = e^{c\log z}\) fonksiyonu aynı domende tek değerli ve analitik olur (analitik fonksiyonların bileşkesi). Türevi zincir kuralıyla:

\[\frac{d}{dz} z^c = \frac{d}{dz}\, e^{c\log z} = \frac{c}{z}\, e^{c\log z} = c\, \frac{e^{c\log z}}{e^{\log z}} = c\, e^{(c-1)\log z}\]

yani aynı dal içinde beklenen kural geçerlidir:

\[\frac{d}{dz} z^c = c\, z^{c - 1} \qquad (|z| > 0,\; \alpha < \arg z < \alpha + 2\pi)\]

Tanım 15.2 (Esas Değer ve Esas Dal) \(\log\) yerine \(\operatorname{Log}\) konarak elde edilen değere kuvvetin esas değeri denir:

\[\operatorname{P.V.}\; z^c = e^{c \operatorname{Log} z}\]

Aynı formül, \(|z| > 0\), \(-\pi < \operatorname{Arg} z < \pi\) domeninde \(z^c\)’nin esas dalını tanımlar.

Örnek 15.2 (Bir Esas Değer) \[\operatorname{P.V.}\;(-i)^i = \exp\big[i\operatorname{Log}(-i)\big] = \exp\!\left[i\left(\ln 1 - i\frac{\pi}{2}\right)\right] = e^{\pi/2}\]

Örnek 15.3 (Esas Dalın Açık Yazımı) \(z^{2/3}\)’ün esas dalını kutupsal biçimde yazınız.

Çözüm

\[\operatorname{P.V.}\; z^{2/3} = \exp\!\left(\frac{2}{3}\operatorname{Log} z\right) = \exp\!\left(\frac{2}{3}\ln r + \frac{2}{3}i\Theta\right) = \sqrt[3]{r^2}\, \exp\!\left(i\frac{2\Theta}{3}\right)\]

Bileşenleri \(u = \sqrt[3]{r^2}\cos\dfrac{2\Theta}{3}\), \(v = \sqrt[3]{r^2}\sin\dfrac{2\Theta}{3}\), kutupsal Cauchy-Riemann denklemlerini \(r > 0\), \(-\pi < \Theta < \pi\) domeninde sağlar; dal orada analitiktir.

\(\blacksquare\)

15.3 Üs Kuralları Ne Zaman Bozulur?

Reel üslerin alışkanlıkları, esas değerlerle çalışırken bazen korunur bazen çarpanla bozulur; her iki durumu tek örnekte görelim.

Örnek 15.4 (Korunan ve Bozulan Çarpım Kuralı) \(z_1 = 1 + i\), \(z_2 = 1 - i\), \(z_3 = -1 - i\) olsun; tüm kuvvetler esas değerleriyle alınsın.

Korunma. \(z_1 z_2 = 2\) için

\[(z_1 z_2)^i = 2^i = e^{i\operatorname{Log} 2} = e^{i\ln 2}\]

Öte yandan

\[z_1^i = e^{i\operatorname{Log}(1+i)} = e^{i(\ln\sqrt{2} + i\pi/4)} = e^{-\pi/4}\, e^{i(\ln 2)/2}, \qquad z_2^i = e^{i(\ln\sqrt{2} - i\pi/4)} = e^{\pi/4}\, e^{i(\ln 2)/2}\]

Çarpımları \(e^{i\ln 2}\)’dir; bu örnekte \((z_1 z_2)^i = z_1^i z_2^i\) sağlanır.

Bozulma. \(z_2 z_3 = (1-i)(-1-i) = -2\) için

\[(z_2 z_3)^i = (-2)^i = e^{i(\ln 2 + i\pi)} = e^{-\pi}\, e^{i\ln 2}\]

Ama

\[z_3^i = e^{i\operatorname{Log}(-1-i)} = e^{i(\ln\sqrt{2} - i3\pi/4)} = e^{3\pi/4}\, e^{i(\ln 2)/2}\]

olduğundan

\[z_2^i z_3^i = e^{\pi/4} e^{3\pi/4}\, e^{i\ln 2} = e^{\pi}\, e^{i\ln 2} = (z_2 z_3)^i\, e^{2\pi}\]

Esas değerler arasında \(e^{2\pi}\) çarpanı kadar fark doğar. Neden: \(\operatorname{Arg} z_2 + \operatorname{Arg} z_3 = -\pi\), esas aralığın dışına taşar ve \(2\pi\) düzeltmesi üstel tanım içinde çarpana dönüşür.

Re Im z₂ = 1 − i z₃ = −1 − i z₂z₃ = −2 −π/4 −3π/4 π Arg z₂ = −π/4 Arg z₃ = −3π/4 toplam = −π ∉ (−π, π] Arg(z₂z₃) = π = −π + 2π |zi​| = e−Arg z​ olduğundan |z₂i​z₃i​| = eπ/4​·e3π/4​ = eπ​ |(z₂z₃)i​| = e−π​ fark 2π → çarpan e2π​
z2 ve z3'ün esas argümanları toplanınca −π çıkar; bu değer (−π, π] aralığının tam dışındadır ve çarpımın esas argümanı π olur. i kuvveti alınırken açılar i·i = −1 ile reel üsse dönüştüğünden 2π'lik düzeltme e2π çarpanı olarak ortaya çıkar.

\(\blacksquare\)

15.4 Tabanı Sabit Üstel Fonksiyon

Roller değiştirilirse, \(c \neq 0\) sabit taban için

\[c^z = e^{z \log c}\]

tanımlanır. Burada \(\log c\)’nin bir değeri seçilip sabitlendiğinde \(c^z\), \(z\)’nin tam fonksiyonudur ve türevi zincir kuralıyla

\[\frac{d}{dz} c^z = e^{z\log c} \log c = c^z \log c\]

\(c = e\) alındığında bile aynı durum geçerlidir: \(\log e = 1 + 2n\pi i\) kümesinden esas değer \(1\) seçildiği için \(e^z\) tek değerli okunur.

15.5 Alıştırma

Alıştırma 15.1 (Kuvvet Hesapları)  

  1. \(\operatorname{P.V.}\; i^i\) değerini hesaplayınız.

  2. \((-1)^{1/\pi}\) kümesinin tüm değerlerini yazınız ve birim çember üzerinde yer aldıklarını gösteriniz.

  3. \(\dfrac{d}{dz}\big[(1 + i)^z\big]\) türevini, logaritmanın esas değeri seçilerek hesaplayınız.

Çözüm

a) Esas değer, tanımda esas logaritmanın kullanılması demektir:

\[\operatorname{P.V.} i^i = \exp\big(i \operatorname{Log} i\big)\]

\(\operatorname{Log} i = \dfrac{\pi i}{2}\) olduğundan üs

\[i \cdot \frac{\pi i}{2} = \frac{\pi i^2}{2} = -\frac{\pi}{2}\]

değerini alır ve

\[\operatorname{P.V.} i^i = e^{-\pi/2} \approx 0{,}2079\]

Sanal sayının sanal kuvveti, şaşırtıcı biçimde pozitif bir reel sayıdır.

b) Tanım gereği

\[(-1)^{1/\pi} = \exp\left(\frac{1}{\pi}\log(-1)\right)\]

\(-1\) sayısının modülü \(1\), argümanları \(\pi + 2n\pi\) olduğundan \(\log(-1) = i(2n+1)\pi\)’dir. Üssü hesaplayalım:

\[\frac{1}{\pi}\log(-1) = \frac{i(2n+1)\pi}{\pi} = i(2n+1)\]

Böylece

\[(-1)^{1/\pi} = e^{i(2n+1)} \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)\]

Her değerin modülü \(\big|e^{i(2n+1)}\big| = 1\) olduğundan tüm değerler birim çember üzerindedir. Ardışık değerler arasındaki açı farkı \(2\) radyandır; \(2\), \(2\pi\) ile ölçülemez (oranı irrasyoneldir), dolayısıyla değerler asla tekrar etmez: sonsuz çoktur ve çember üzerinde hiçbir zaman kapanmaz.

Re Im ei​ e3i​ e5i​ e7i​ e−i​ 2 rad 1 (−1)1/π​ = ei(2n+1)​ n = 0, ±1, ±2, … ardışık değerler arasında açı farkı 2 radyan 2/(2π) = 1/π irrasyonel: noktalar hiç çakışmaz, çember hiç kapanmaz. 1 değeri hiç alınmaz (2n + 1 = 2πk olamaz)
(−1)1/π kümesinin değerleri ei(2n+1): hepsi birim çember üzerindedir ve her adımda açı 2 radyan artar. 2, 2π ile ölçülemediğinden noktalar bir düzgün çokgen gibi kapanmaz; sonsuz çoktur ve hiçbiri bir öncekiyle çakışmaz.

c) Esas dal seçildiğinde \((1+i)^z = \exp\big(z \operatorname{Log}(1+i)\big)\)’dir ve \(\operatorname{Log}(1+i)\) bir sabittir:

\[\operatorname{Log}(1 + i) = \ln\sqrt{2} + i\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}\]

Zincir kuralıyla, üstel fonksiyonun türevi kendisi çarpı iç türevdir:

\[\frac{d}{dz}\Big[e^{z\operatorname{Log}(1+i)}\Big] = \operatorname{Log}(1+i)\,e^{z\operatorname{Log}(1+i)} = (1+i)^z\left(\frac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}\right)\]

Kural, reel analizdeki \(\dfrac{d}{dx}a^x = a^x \ln a\) formülünün birebir karşılığıdır; tek fark, \(\ln a\) yerine seçilen logaritma dalının gelmesidir.

\(\blacksquare\)

Sırada, üstel fonksiyonun bir başka mirası var: sinüs ve kosinüsün düzleme taşınması — trigonometrik fonksiyonlar.