27 Liouville Teoremi ve Cebirin Temel Teoremi
Cauchy eşitsizliği, bir fonksiyonun türevini kendi büyüklüğüyle sınırlıyordu. Yarıçapı büyüterek bu eşitsizliği zorladığımızda, kompleks analizin en keskin sonuçlarından biri ortaya çıkar: tüm düzlemde sınırlı kalan bir tam fonksiyon, sabit olmaktan başka şansı yoktur. Bunun ardından cebirin temel teoremi neredeyse bedavaya gelir.
27.1 Liouville Teoremi
Teorem 27.1 (Liouville Teoremi) Bir \(f\) fonksiyonu tam ve kompleks düzlemde sınırlıysa, \(f(z)\) düzlem boyunca sabittir.
İspat
\(z_0\) herhangi bir nokta ve \(R > 0\) keyfi olsun. \(f\) tam olduğundan, \(z_0\) merkezli \(R\) yarıçaplı çemberin içinde ve üzerinde analitiktir; Cauchy eşitsizliği \(n = 1\) için
\[\big|f'(z_0)\big| \le \frac{M_R}{R} \tag{1}\]
verir. Burada \(M_R\), \(|f(z)|\)’nin \(|z - z_0| = R\) çemberi üzerindeki maksimum değeridir.
Sınırlılık hipotezi, her \(z\) için \(|f(z)| \le M\) olacak biçimde negatif olmayan bir \(M\) sabitinin varlığını söyler. \(M_R \le M\) olduğundan
\[\big|f'(z_0)\big| \le \frac{M}{R} \tag{2}\]
Bu eşitsizlikteki \(M\), \(R\)’den bağımsızdır ve \(R\) keyfi olarak büyük seçilebilir. Sağ taraf \(R \to \infty\) iken sıfıra gittiğine göre eşitsizlik ancak
\[f'(z_0) = 0\]
ise ayakta kalır. \(z_0\) keyfi olduğundan \(f'(z) \equiv 0\)’dır; sabitlik teoremi gereği \(f\) sabittir.
\(\blacksquare\)
\(\sin x\) ve \(\dfrac{1}{1 + x^2}\) fonksiyonları tüm reel eksende sonsuz kez türevlenebilir ve sınırlıdır, ama sabit değildir. Kompleks düzlemde ise \(\sin z\) sınırsızdır ve \(\dfrac{1}{1+z^2}\) tam değildir (\(z = \pm i\) tekil noktalarıdır) — Liouville teoremiyle çelişecek bir örnek üretmek mümkün değildir.
27.2 Cebirin Temel Teoremi
Teorem 27.2 (Cebirin Temel Teoremi) \(n \ge 1\) dereceli her
\[P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_n z^n \qquad (a_n \neq 0)\]
polinomunun en az bir sıfırı vardır; yani \(P(z_0) = 0\) olacak biçimde en az bir \(z_0\) noktası mevcuttur.
İspat
Tersini varsayalım: \(P(z)\), hiçbir \(z\) değeri için sıfır olmasın. O zaman
\[f(z) = \frac{1}{P(z)}\]
fonksiyonu tüm düzlemde tanımlı ve analitik, yani tamdır. Sınırlı olduğunu göstereceğiz; Liouville teoremi çelişkiyi getirecektir.
\(z \neq 0\) için
\[w = \frac{a_0}{z^n} + \frac{a_1}{z^{n-1}} + \frac{a_2}{z^{n-2}} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{z} \tag{3}\]
yazalım; bu tanımla
\[P(z) = \big(a_n + w\big)z^n \tag{4}\]
olur. \((3)\)’teki bölümlerin her birinin modülü, \(|z| > R\) olduğunda \(\dfrac{|a_n|}{2n}\) sayısından küçük kalacak biçimde yeterince büyük pozitif bir \(R\) bulunabilir. Üçgen eşitsizliğinin \(n\) terime genellemesiyle \(|z| > R\) iken
\[|w| < n \cdot \frac{|a_n|}{2n} = \frac{|a_n|}{2}\]
Ters yönlü üçgen eşitsizliği ise \(|z| > R\) iken
\[\big|a_n + w\big| \ge \big|\,|a_n| - |w|\,\big| > \frac{|a_n|}{2}\]
verir. \((4)\) ile birlikte
\[|z| > R \implies \big|P(z)\big| = \big|a_n + w\big|\,|z|^n > \frac{|a_n|}{2}R^n \tag{5}\]
Dolayısıyla \(|z| > R\) bölgesinde
\[\big|f(z)\big| = \frac{1}{|P(z)|} < \frac{2}{|a_n|R^n}\]
yani \(f\), \(|z| \le R\) diskinin dışında sınırlıdır. Öte yandan \(f\) bu kapalı diskte süreklidir; kapalı sınırlı bölgede sürekli fonksiyonun modülü sınırlıdır. İki bilgi birleştiğinde \(f\), tüm düzlemde sınırlıdır.
Liouville teoremine göre \(f(z)\), dolayısıyla \(P(z)\) sabittir. Ama \(a_n \neq 0\) ve \(n \ge 1\) olduğundan \(P\) sabit değildir — çelişki.
\(\blacksquare\)
27.3 Lineer Çarpanlara Ayrılış
Teorem 27.3 (Polinomların Çarpanlara Ayrılışı) \(n \ge 1\) dereceli her \(P(z)\) polinomu, \(c\) ve \(z_k\) kompleks sabitler olmak üzere
\[P(z) = c\,(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n) \tag{6}\]
biçiminde lineer çarpanların çarpımı olarak yazılabilir. Buradaki \(z_k\) sabitlerinin bazıları tekrar edebilir; ancak \(P(z)\), \(n\) taneden fazla farklı sıfıra sahip olamaz.
İspat
İspat adım adımdır: Teorem 27.2 bir \(z_1\) sıfırının varlığını garanti eder; polinom bölmesiyle
\[P(z) = (z - z_1)\,Q_1(z)\]
yazılır ve \(Q_1\), \(n - 1\) derecelidir. Aynı argüman \(Q_1\)’e uygulanarak \(z_2\) elde edilir:
\[P(z) = (z - z_1)(z - z_2)\,Q_2(z)\]
Bu şekilde devam edilir; her adımda derece bir azaldığından \(n\) adım sonra sabit bir \(c\) çarpanı kalır ve \((6)\) ifadesine ulaşılır. Çarpanların hepsi \((z - z_k)\) biçiminde olduğundan \(P\)’nin sıfırları yalnızca \(z_1, \dots, z_n\) sayılarıdır; farklı olanlarının sayısı \(n\)’i aşamaz.
\(\blacksquare\)
Buradaki akıl yürütme iki adımlıdır: Liouville teoremi en az bir sıfır verir, ardışık polinom bölmeleri ise kalan sıfırları tek tek çıkarır. Rouché teoremi, bölme yapmadan — kökleri dolanma sayısıyla sayarak — aynı sonuca tek hamlede varan bambaşka bir kanıt sunar.
27.4 Alıştırma
Alıştırma 27.1 (Liouville Alıştırmaları)
\(f\) tam ve her \(z\) için \(\operatorname{Re} f(z) \le M\) ise \(f\)’nin sabit olduğunu gösteriniz. İpucu: \(g(z) = e^{f(z)}\) fonksiyonunu inceleyiniz; \(|g| = e^{\operatorname{Re} f}\) sınırlıdır.
\(f\) tam ve her \(z\) için \(|f(z)| \ge 1\) ise \(f\)’nin sabit olduğunu gösteriniz.
\(P(z) = z^3 - 1\) polinomunu \((6)\) biçiminde lineer çarpanlara ayırınız.
Çözüm
a) İpucundaki \(g(z) = e^{f(z)}\) fonksiyonu, tam fonksiyonların bileşkesi olarak tamdır. Modülünü hesaplayalım:
\[|g(z)| = \big|e^{f(z)}\big| = e^{\operatorname{Re} f(z)}\]
Varsayım gereği \(\operatorname{Re} f(z) \le M\) ve reel üstel fonksiyon artan olduğundan
\[|g(z)| \le e^{M} \qquad \text{(her } z \text{ için)}\]
\(g\) tam ve sınırlıdır; Liouville teoremi \(g\)’nin sabit olduğunu söyler. Şimdi \(f\)’ye dönelim: \(g' = f'\,e^{f}\) türevi her yerde sıfırdır ve \(e^{f(z)}\) hiçbir zaman sıfır olmadığından \(f'(z) \equiv 0\) olmak zorundadır. Türevi tüm düzlemde sıfır olan fonksiyon sabittir.
b) \(|f(z)| \ge 1\) koşulu, özellikle \(f\)’nin hiçbir yerde sıfır olmadığını söyler. O hâlde
\[g(z) = \frac{1}{f(z)}\]
fonksiyonu tüm düzlemde tanımlı ve analitiktir, yani tamdır. Modülü ise
\[|g(z)| = \frac{1}{|f(z)|} \le 1\]
Liouville teoremi \(g\)’nin sabit olduğunu verir; \(g\) sıfırdan farklı bir sabit olduğundan \(f = 1/g\) de sabittir.
c) \(z^3 = 1\) denkleminin kökleri, birin küp kökleridir:
\[z_k = \exp\left(\frac{2k\pi i}{3}\right) \qquad (k = 0, 1, 2)\]
yani
\[z_1 = 1, \qquad z_2 = e^{i2\pi/3} = \frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}, \qquad z_3 = e^{i4\pi/3} = \frac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}\]
Baş katsayı \(1\) olduğundan \((6)\) biçiminde \(c = 1\)’dir:
\[P(z) = (z - 1)\left(z - \frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}\right)\left(z - \frac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}\right)\]
Son iki çarpanı çarparsak reel katsayılı ayrılışa döneriz: \(\left(z + \dfrac12\right)^2 + \dfrac34 = z^2 + z + 1\), yani \(P(z) = (z-1)\big(z^2 + z + 1\big)\). Eşlenik köklerin çift olarak gelmesi tesadüf değildir: reel katsayılı bir polinomun reel olmayan kökleri her zaman eşlenik çiftler hâlinde bulunur.
\(\blacksquare\)
Liouville teoremi modülün sonsuzdaki davranışını kullanıyordu. Sıradaki teorem ise modülün içerideki davranışını yasaklar: analitik bir fonksiyonun modülü, bir domenin iç noktasında maksimuma ulaşamaz — maksimum modül ilkesi.