26 Cauchy İntegral Formülü ve Genişlemesi
Cauchy-Goursat teoremi bir yasak koyuyordu: analitik bir fonksiyonun kapalı çevre integrali sıfırdır. Bu bölümde aynı teoremden bir inşa çıkaracağız: bir fonksiyonun çevre içindeki her değeri, yalnızca çevre üzerindeki değerlerinden hesaplanabilir. Sonuçları çarpıcıdır — bir kez türevlenebilen fonksiyonun sonsuz kez türevlenebildiği buradan çıkar.
26.1 Cauchy İntegral Formülü
Teorem 26.1 (Cauchy İntegral Formülü) \(f\), pozitif yönlü basit kapalı bir \(C\) çevresinin içinde ve üzerinde her yerde analitik olsun. \(z_0\), \(C\)’nin içinde herhangi bir nokta ise
\[f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)\,dz}{z - z_0} \tag{1}\]
İspat
\(C_\rho\), \(z_0\) merkezli \(\rho\) yarıçaplı, tamamen \(C\)’nin içinde kalacak kadar küçük pozitif yönlü çember olsun. \(f(z)/(z - z_0)\) bölümü, \(C_\rho\) ile \(C\) arasındaki kapalı bölgede analitiktir; yolun deformasyonu ilkesi gereği
\[\int_C \frac{f(z)\,dz}{z - z_0} = \int_{C_\rho} \frac{f(z)\,dz}{z - z_0}\]
Sağ tarafa \(f(z) = f(z_0) + [f(z) - f(z_0)]\) ayrışımını uygulayalım:
\[\int_C \frac{f(z)\,dz}{z - z_0} - f(z_0)\int_{C_\rho} \frac{dz}{z - z_0} = \int_{C_\rho} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\,dz \tag{2}\]
Çember üzerindeki temel integral \(\displaystyle\int_{C_\rho} \frac{dz}{z - z_0} = 2\pi i\) olduğundan
\[\int_C \frac{f(z)\,dz}{z - z_0} - 2\pi i\,f(z_0) = \int_{C_\rho} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\,dz \tag{3}\]
Şimdi sağ tarafın istendiği kadar küçük yapılabildiğini gösterelim. \(f\), \(z_0\)’da analitik, dolayısıyla sürekli olduğundan her \(\varepsilon > 0\) için
\[|z - z_0| < \delta \implies |f(z) - f(z_0)| < \varepsilon\]
sağlayan bir \(\delta > 0\) vardır. \(C_\rho\)’nun yarıçapı \(\rho < \delta\) seçilsin. \(z \in C_\rho\) iken \(|z - z_0| = \rho\) olduğundan integrandın modülü \(\varepsilon/\rho\) ile sınırlıdır ve çemberin uzunluğu \(2\pi\rho\)’dur; ML eşitsizliğiyle
\[\left| \int_{C_\rho} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\,dz \right| < \frac{\varepsilon}{\rho}\,2\pi\rho = 2\pi\varepsilon\]
\((3)\) ile birleştirilirse
\[\left| \int_C \frac{f(z)\,dz}{z - z_0} - 2\pi i\,f(z_0) \right| < 2\pi \varepsilon\]
Sol taraf \(\varepsilon\)’dan bağımsız, negatif olmayan bir sabittir ve keyfi olarak küçük bir sayıdan küçük kalmaktadır; o hâlde sıfırdır.
\(\blacksquare\)
Formül, hesap için şu biçimde kullanılır:
\[\int_C \frac{f(z)\,dz}{z - z_0} = 2\pi i\, f(z_0) \tag{4}\]
Örnek 26.1 (Formülle İntegral Hesabı) \(C\), pozitif yönlü \(|z| = 2\) çemberi olmak üzere
\[\int_C \frac{z\,dz}{\big(9 - z^2\big)(z + i)}\]
integralini hesaplayınız.
Çözüm
İntegrandı, tekil noktası çember içinde olan çarpanı ayıracak biçimde okuyalım:
\[f(z) = \frac{z}{9 - z^2}, \qquad z_0 = -i\]
\(f\), \(|z| = 2\) çemberinin içinde ve üzerinde analitiktir (tekil noktaları \(z = \pm 3\) dışarıdadır) ve \(z_0 = -i\) çemberin içindedir. \((4)\) ile
\[\int_C \frac{z\,dz}{\big(9 - z^2\big)(z + i)} = \int_C \frac{f(z)\,dz}{z - (-i)} = 2\pi i\, f(-i) = 2\pi i \left(\frac{-i}{10}\right) = \frac{\pi}{5}\]
\(\blacksquare\)
26.2 Türevler İçin Genişleme
Formül \((1)\), integral işareti altında \(z\)’ye göre türetilirse — bu adımın geçerliliği ayrıca kanıtlanmalıdır — türevler için de integral temsilleri doğar.
Teorem 26.2 (Genişletilmiş Cauchy İntegral Formülü) \(f\), pozitif yönlü basit kapalı bir \(C\) çevresinin içinde ve üzerinde analitik, \(z\) ise \(C\)’nin içinde bir nokta olsun. O zaman \(f\)’nin her mertebeden türevi \(z\)’de vardır ve
\[f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_C \frac{f(s)\,ds}{(s - z)^{n+1}} \qquad (n = 0, 1, 2, \dots) \tag{5}\]
Burada \(f^{(0)} = f\) ve \(0! = 1\) kabulüyle \(n = 0\) durumu Cauchy integral formülünün kendisidir.
İspat
\(n = 1\) durumunu ayrıntılı kuralım; genel durum tümevarımla aynı teknikle yürür.
\(d\), \(z\)’den \(C\) üzerindeki noktalara olan en küçük uzaklık ve \(0 < |\Delta z| < d\) olsun. Cauchy integral formülü \(z\) ve \(z + \Delta z\) noktalarında yazılıp fark alınırsa
\[\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(s)\,ds}{(s - z - \Delta z)(s - z)}\]
Aday ifadeyi çıkaralım:
\[\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} - \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(s)\,ds}{(s - z)^2} = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{\Delta z\, f(s)\,ds}{(s - z - \Delta z)(s - z)^2} \tag{6}\]
Sağ tarafı sınırlayalım. \(M\), \(|f(s)|\)’nin \(C\) üzerindeki maksimum değeri ve \(L\), \(C\)’nin uzunluğu olsun. \(|s - z| \ge d\) ve \(|\Delta z| < d\) olduğundan
\[|s - z - \Delta z| = \big|(s - z) - \Delta z\big| \ge \big||s - z| - |\Delta z|\big| \ge d - |\Delta z| > 0\]
ve ML eşitsizliğiyle
\[\left| \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{\Delta z\,f(s)\,ds}{(s - z - \Delta z)(s - z)^2} \right| \le \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{|\Delta z|\,M}{\big(d - |\Delta z|\big)d^2}\,L\]
\(\Delta z \to 0\) iken bu sınır sıfıra gider; \((6)\)’nın sol tarafı da sıfıra gitmek zorundadır. Demek ki türev vardır ve
\[f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(s)\,ds}{(s - z)^2}\]
Aynı teknik \(f''\) için
\[f''(z) = \frac{1}{\pi i}\int_C \frac{f(s)\,ds}{(s - z)^3}\]
verir; tümevarımla genel formül \((5)\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Hesap için kullanışlı biçim, \(z_0\) çevre içinde bir nokta olmak üzere
\[\int_C \frac{f(z)\,dz}{(z - z_0)^{n+1}} = \frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(z_0) \qquad (n = 0, 1, 2, \dots) \tag{7}\]
Örnek 26.2 (Yüksek Mertebeden Kutuplu İntegral) \(C\), pozitif yönlü birim çember \(|z| = 1\) olmak üzere
\[\int_C \frac{e^{2z}}{z^4}\,dz\]
integralini hesaplayınız.
Çözüm
\(f(z) = e^{2z}\) tamdır; \(z_0 = 0\) ve \(n = 3\) alınır. \(f'''(z) = 8e^{2z}\) olduğundan \(f'''(0) = 8\) ve
\[\int_C \frac{e^{2z}}{z^4}\,dz = \frac{2\pi i}{3!}\,f'''(0) = \frac{2\pi i \cdot 8}{6} = \frac{8\pi i}{3}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 26.3 (Temel İntegraller) \(z_0\), pozitif yönlü basit kapalı bir \(C\) çevresinin herhangi bir iç noktası olsun. \(f(z) = 1\) alınırsa \((7)\) ifadesi
\[\int_C \frac{dz}{z - z_0} = 2\pi i, \qquad \int_C \frac{dz}{(z - z_0)^{n+1}} = 0 \quad (n = 1, 2, \dots)\]
verir; çünkü sabit fonksiyonun birinci ve daha yüksek mertebeden türevleri sıfırdır. Bu iki eşitlik, rezidü hesaplarının tamamında temel taş olarak kullanılacaktır.
26.3 Üç Temel Sonuç
Teorem 26.3 (Türevler de Analitiktir) Bir \(f\) fonksiyonu verilen bir noktada analitikse, \(f\)’nin tüm mertebeden türevleri de o noktada analitiktir.
İspat
\(f\), \(z_0\)’da analitik olsun; o zaman \(f\)’nin analitik olduğu bir \(|z - z_0| < \varepsilon\) komşuluğu vardır. \(z_0\) merkezli, \(\varepsilon/2\) yarıçaplı pozitif yönlü \(C_0\) çemberi alınırsa \(f\), \(C_0\)’ın içinde ve üzerinde analitiktir. Teorem 26.2 gereği \(C_0\)’ın her iç noktasında \(f''\) vardır; yani \(f'\), \(z_0\) komşuluğunda türevlenebilirdir ve dolayısıyla \(z_0\)’da analitiktir. Aynı akıl yürütme \(f'\)’ye uygulanarak \(f''\)’nin analitikliği, ardından bütün mertebeler elde edilir.
\(\blacksquare\)
Bunun bileşenler cinsinden karşılığı, harmonik fonksiyonlar bölümünde ödünç aldığımız gerçeği borçtan çıkarır:
Teorem 26.4 (Bileşenlerin Düzgünlüğü) \(f = u + iv\) bir noktada analitikse, \(u\) ve \(v\) bileşenleri o noktada her mertebeden sürekli kısmi türevlere sahiptir.
Gerçekten \(f' = u_x + iv_x = v_y - iu_y\) analitik, dolayısıyla sürekli olduğundan birinci mertebe kısmi türevler süreklidir; \(f'' = u_{xx} + iv_{xx} = v_{yx} - iu_{yx}\) üzerinden aynı akıl yürütme tüm mertebelere taşınır.
Teorem 26.5 (Morera Teoremi) \(f\), bir \(D\) domeninde sürekli olsun. \(D\)’deki her kapalı \(C\) çevresi için
\[\int_C f(z)\,dz = 0\]
ise \(f\), \(D\)’de analitiktir.
İspat
Hipotez, ters türev teoreminin (c) koşuludur; dolayısıyla \(D\)’de \(F' = f\) olacak biçimde analitik bir \(F\) vardır. \(f\), analitik \(F\)’nin türevi olduğundan Teorem 26.3 gereği \(D\)’de analitiktir.
\(\blacksquare\)
Morera teoremi, Cauchy-Goursat teoreminin tersidir: basit bağlantılı domenlerde “analitiklik” ile “her kapalı çevre integralinin sıfır olması” birbirine denk iki koşuldur.
Teorem 26.6 (Cauchy Eşitsizliği) \(f\), \(z_0\) merkezli \(R\) yarıçaplı pozitif yönlü \(C_R\) çemberinin içinde ve üzerinde analitik olsun. \(M_R\), \(|f(z)|\)’nin \(C_R\) üzerindeki maksimum değeriyse
\[\big|f^{(n)}(z_0)\big| \le \frac{n!\,M_R}{R^n} \qquad (n = 1, 2, \dots) \tag{8}\]
İspat
\((5)\) formülü \(C_R\) üzerinde yazılıp ML eşitsizliği uygulanır. \(C_R\) üzerinde \(|z - z_0| = R\) ve çemberin uzunluğu \(2\pi R\) olduğundan
\[\big|f^{(n)}(z_0)\big| \le \frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M_R}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R = \frac{n!\,M_R}{R^n}\]
\(\blacksquare\)
Bu eşitsizlik, bir fonksiyonun türevlerinin büyüklüğünü yalnızca fonksiyonun kendi büyüklüğüyle sınırlar; reel analizde benzeri yoktur ve bir sonraki bölümün kilit aracıdır.
26.4 Alıştırma
Alıştırma 26.1 (İntegral Formülü Alıştırmaları) \(C\), pozitif yönlü \(|z| = 2\) çemberi olsun. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
\(\displaystyle\int_C \frac{\cos z}{z\big(z^2 + 8\big)}\,dz\)
\(\displaystyle\int_C \frac{z\,dz}{2z + 1}\)
\(\displaystyle\int_C \frac{\cos z}{(z - \pi/2)^2}\,dz\)
\(\displaystyle\int_C \frac{e^{-z}\,dz}{(z + 1)^2}\)
Çözüm
a) İntegrandın tekil noktaları \(z = 0\) ile \(z^2 + 8 = 0\) denkleminin kökleri \(z = \pm 2\sqrt{2}\,i\)’dir. İkincilerin modülü \(2\sqrt2 \approx 2{,}83 > 2\) olduğundan çemberin dışındadır; içeride yalnızca \(z = 0\) kalır. İntegrali formülün biçimine sokalım:
\[\int_C \frac{\cos z}{z\big(z^2+8\big)}\,dz = \int_C \frac{f(z)}{z - 0}\,dz, \qquad f(z) = \frac{\cos z}{z^2 + 8}\]
Seçilen \(f\), \(C\) üzerinde ve içinde analitiktir. Cauchy integral formülü:
\[\int_C \frac{f(z)}{z}\,dz = 2\pi i\,f(0) = 2\pi i \cdot \frac{\cos 0}{8} = \frac{\pi i}{4}\]
b) Paydayı önce baş katsayısından arındıralım:
\[\frac{z}{2z+1} = \frac{z}{2\left(z + \dfrac{1}{2}\right)} \implies \int_C \frac{z\,dz}{2z+1} = \frac{1}{2}\int_C \frac{z}{z - \left(-\dfrac{1}{2}\right)}\,dz\]
Tekil nokta \(z = -1/2\), \(|z| = 2\) çemberinin içindedir ve \(f(z) = z\) her yerde analitiktir:
\[\frac{1}{2}\int_C \frac{z\,dz}{z + \frac12} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi i\,f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi i \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi i}{2}\]
c) Payda kareli olduğundan formülün genişletilmiş biçimi (\(n = 1\)) kullanılır:
\[\int_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^2}\,dz = 2\pi i\,f'(z_0)\]
Burada \(f(z) = \cos z\) ve \(z_0 = \pi/2\)’dir; \(|\pi/2| \approx 1{,}57 < 2\) olduğundan tekil nokta \(|z| = 2\) çemberinin içindedir. \(f'(z) = -\sin z\) olduğundan
\[\int_C \frac{\cos z}{(z - \pi/2)^2}\,dz = 2\pi i\,\big(-\sin\tfrac{\pi}{2}\big) = -2\pi i\]
d) Yine \(n = 1\) durumu; bu kez \(f(z) = e^{-z}\) ve \(z_0 = -1\)’dir (\(|-1| < 2\), içeride). \(f'(z) = -e^{-z}\) olduğundan
\[\int_C \frac{e^{-z}}{(z+1)^2}\,dz = 2\pi i\,f'(-1) = 2\pi i\,\big(-e^{1}\big) = -2\pi i\,e\]
\(\blacksquare\)
Cauchy eşitsizliğinin tek bir satırlık sonucu, kompleks analizin en ünlü teoremlerinden birini doğuruyor: sınırlı bir tam fonksiyon sabit olmak zorundadır — Liouville teoremi ve cebirin temel teoremi.