24 Cauchy-Goursat Teoremi
Ters türevler bölümünde şunu görmüştük: sürekli bir \(f\) fonksiyonunun bir \(D\) domeninde ters türevi varsa, \(D\)’de kalan her kapalı çevre üzerindeki integrali sıfırdır. Ama ters türevin varlığını önceden bilmek çoğu zaman mümkün değildir. Bu bölümün teoremi, çok daha kolay denetlenen bir koşulla — analitiklikle — aynı sonucu verir ve kompleks analizin bütün integral kuramını taşıyan sütun hâline gelir.
24.1 Green Teoremiyle İlk Biçim
\(C\), \(z = z(t)\) \((a \le t \le b)\) pozitif yönlü basit kapalı bir çevre; \(f\), \(C\) üzerinde ve içinde analitik olsun. Çevre integralinin tanımıyla
\[\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f[z(t)]\,z'(t)\,dt\]
\(f = u + iv\) ve \(z(t) = x(t) + iy(t)\) yazılıp çarpım açılırsa integral, iki reel eğrisel integrale ayrışır:
\[\int_C f(z)\,dz = \int_C u\,dx - v\,dy + i \int_C v\,dx + u\,dy \tag{1}\]
Bu ayrışım biçimsel olarak \(f\,dz = (u + iv)(dx + i\,dy)\) çarpımından da okunabilir.
Şimdi \(f'\) türevinin, \(C\)’nin kapattığı kapalı \(R\) bölgesinde sürekli olduğunu geçici olarak varsayalım; o zaman \(u\) ve \(v\)’nin birinci mertebe kısmi türevleri de \(R\)’de süreklidir ve Green teoremi uygulanabilir:
\[\int_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \big(Q_x - P_y\big)\,dA\]
İki eğrisel integrale de uygulanırsa
\[\int_C f(z)\,dz = \iint_R \big(-v_x - u_y\big)\,dA + i \iint_R \big(u_x - v_y\big)\,dA \tag{2}\]
Fakat \(f\) analitik olduğundan Cauchy-Riemann denklemleri \(u_x = v_y\) ve \(u_y = -v_x\) geçerlidir; iki katlı integrallerin integrandları \(R\)’de özdeş olarak sıfırdır. Sonuç:
\[\int_C f(z)\,dz = 0 \tag{3}\]
İntegralin sıfır olduğu bir kez saptandığında \(C\)’nin yönü fark etmez; negatif yönde alındığında
\[\int_{-C} f(z)\,dz = -\int_{C} f(z)\,dz = 0\]
olur. Teoremdeki “pozitif yönlü” koşulu, yalnızca ispat kolaylığı içindir.
24.2 Türevin Sürekliliği Neden Gereksiz?
Yukarıdaki ispatın zayıf noktası, \(f'\) türevinin sürekliliğinin varsayılmış olmasıdır. Bu koşulun gereksiz olduğunu ilk kanıtlayan Goursat’dır ve katkısı kozmetik değildir: koşul kaldırıldığı için, analitik bir fonksiyonun türevi \(f'\)’nin de analitik olduğunu — dolayısıyla \(f\)’nin sonsuz kez türevlenebildiğini — döngüye düşmeden kanıtlayabiliriz. Bu sonuca Cauchy integral formülünün genişletilmiş biçiminde ulaşacağız.
Yukarıdaki sonuç, adını Augustin-Louis Cauchy’den (1789–1857) alır. Cauchy, sanal sınırlar arasındaki belirli integralleri konu alan 1825 tarihli ünlü çalışmasında (Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires) bu teoremi kurmuş, ancak ispatında \(f'\) türevinin sürekliliğini varsaymıştı.
Yaklaşık altmış yıl sonra Édouard Goursat (1858–1936), 1884’te Acta Mathematica’da yayımlanan kısa bir notta bu fazladan varsayımın gereksiz olduğunu gösterdi ve fikri 1900’de Amerikan Matematik Derneği’nin Transactions dergisinde daha olgun bir biçimde yeniden sundu. Kısa süre sonra Alfred Pringsheim aynı bölme fikrini karelerin yerine üçgenlerle işledi; birçok modern kitapta karşılaşılan üçgen argümanı buradan gelir. Teorem, iki matematikçinin katkısını birlikte anmak için Cauchy-Goursat teoremi diye anılır.
İspat iki adımlıdır: önce bölgeyi, üzerinde fark bölümünün türevden çok az saptığı küçük karelerle örten bir lemma kurulur; sonra integral bu karelerin sınırları üzerinde dağıtılır. Lemma teoremden önce geldiği için onunla başlıyoruz.
24.3 Kare Örtüsü Lemması
\(C\) pozitif yönlü basit kapalı bir çevre, \(R\) ise \(C\) ile içindeki noktalardan oluşan kapalı bölge olsun. \(R\)’yi, eksenlere paralel eşit aralıklı doğrularla çizilen bir ızgarayla örtelim. Izgaranın oluşturduğu kapalı kare bölgelerden \(R\)’nin dışına taşan parçalar atılırsa, \(R\) sonlu sayıda kare ve kısmi kare ile örtülür.
Teorem 24.1 (Örtü Lemması) \(f\), \(R\) üzerinde analitik olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için \(R\) bölgesi, \(j = 1, 2, \dots, n\) ile indislenmiş sonlu sayıda kare ve kısmi kareyle örtülebilir; öyle ki her birinde sabit bir \(z_j\) noktası vardır ve
\[\left| \frac{f(z) - f(z_j)}{z - z_j} - f'(z_j) \right| < \varepsilon \tag{4}\]
eşitsizliği, o kare ya da kısmi karedeki \(z_j\)’den farklı tüm \(z\) noktalarınca sağlanır.
İspat
Aksini varsayalım: örtüdeki bir alt bölgede, koşulu sağlayan bir \(z_j\) noktası bulunamasın. Bu alt bölge bir kareyse, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştirerek dört küçük kareye bölelim; kısmi kareyse tam karesi bölünüp \(R\) dışında kalan parçalar yeniden atılsın. Elde edilen küçük alt bölgelerin en az birinde koşul yine sağlanamıyorsa bölmeye devam ederiz.
Bölme işlemi sonsuza dek sürerse, iç içe yuvalanmış sonsuz bir
\[\sigma_0,\; \sigma_1,\; \sigma_2,\; \dots,\; \sigma_{k},\; \dots \tag{5}\]
kare dizisi doğar; her \(\sigma_k\), \(\sigma_{k-1}\)’in içindedir ve hiçbiri istenen \(z_j\) noktasını barındırmaz. Bu karelerin hepsinde ortak bir \(z_0\) noktası vardır ve her biri \(z_0\)’dan başka \(R\) noktaları içerir. Karelerin köşegen uzunlukları sıfıra gittiğinden, \(z_0\)’ın her \(\delta\)-komşuluğu yeterince ileri indisli kareleri kapsar; dolayısıyla \(z_0\), \(R\)’nin bir yığılma noktasıdır ve \(R\) kapalı olduğundan \(z_0 \in R\)’dir.
Ama \(f\), \(R\) üzerinde analitiktir; özellikle \(z_0\)’da türevlenebilirdir. Türev tanımına göre, verilen \(\varepsilon\) için öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki
\[\left| \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} - f'(z_0) \right| < \varepsilon \qquad \big(0 < |z - z_0| < \delta\big)\]
\(K\) yeterince büyük seçildiğinde \(\sigma_K\) karesinin köşegeni \(\delta\)’dan küçüktür; yani \(\sigma_K\) tamamen bu komşulukta kalır. O hâlde \(z_0\), \(\sigma_K\) için aranan \(z_j\) noktası olarak iş görür ve \(\sigma_K\)’yı bölmeye hiç gerek yoktu — bu, dizinin kuruluşuyla çelişir.
\(\blacksquare\)
24.4 Teoremin İfadesi
Teorem 24.2 (Cauchy-Goursat Teoremi) Bir \(f\) fonksiyonu basit kapalı bir \(C\) çevresinin içinde ve üzerindeki tüm noktalarda analitikse
\[\int_C f(z)\,dz = 0\]
İspat
\(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(R\), örtü lemmasındaki gibi örtülsün. \(j\)-inci alt bölgede, \(z_j\) lemmadaki sabit nokta olmak üzere
\[\delta_j(z) = \begin{cases} \dfrac{f(z) - f(z_j)}{z - z_j} - f'(z_j), & z \neq z_j \\[2mm] 0, & z = z_j \end{cases} \tag{6}\]
fonksiyonunu tanımlayalım. Lemma gereği alt bölgenin her noktasında
\[\big|\delta_j(z)\big| < \varepsilon \tag{7}\]
olur; ayrıca \(\lim\limits_{z \to z_j} \delta_j(z) = f'(z_j) - f'(z_j) = 0\) olduğundan \(\delta_j\) o alt bölgede süreklidir.
\((6)\) tanımı \(f\) için şu ayrışımı verir:
\[f(z) = f(z_j) - z_j f'(z_j) + f'(z_j)\,z + (z - z_j)\,\delta_j(z)\]
\(C_j\), \(j\)-inci alt bölgenin pozitif yönlü sınırı olsun. Yukarıdaki ifade \(C_j\) üzerinde integrallenirse
\[\int_{C_j} f(z)\,dz = \big[f(z_j) - z_j f'(z_j)\big]\int_{C_j} dz + f'(z_j)\int_{C_j} z\,dz + \int_{C_j} (z - z_j)\,\delta_j(z)\,dz\]
\(1\) ve \(z\) fonksiyonlarının tüm düzlemde ters türevleri olduğundan ilk iki integral sıfırdır:
\[\int_{C_j} dz = 0, \qquad \int_{C_j} z\,dz = 0\]
Geriye tek terim kalır:
\[\int_{C_j} f(z)\,dz = \int_{C_j} (z - z_j)\,\delta_j(z)\,dz \qquad (j = 1, 2, \dots, n) \tag{8}\]
Şimdi bu \(n\) eşitliği toplayalım. Komşu iki alt bölgenin ortak sınır parçası boyunca integraller zıt yönlerde alındığından birbirini yok eder; ayakta kalan yalnızca \(C\)’nin parçası olan yaylardır:
\[\sum_{j=1}^{n} \int_{C_j} f(z)\,dz = \int_C f(z)\,dz\]
Böylece
\[\left| \int_C f(z)\,dz \right| \le \sum_{j=1}^{n} \left| \int_{C_j} (z - z_j)\,\delta_j(z)\,dz \right| \tag{9}\]
\((9)\)’un sağ tarafındaki her terime ML eşitsizliğini uygulayacağız. \(j\)-inci alt bölgenin bir kenar uzunluğu \(s_j\) olsun. Hem \(z\) hem \(z_j\) aynı karede kaldığından \(|z - z_j| \le \sqrt{2}\,s_j\)’dir ve \((7)\) ile
\[\big|(z - z_j)\,\delta_j(z)\big| < \sqrt{2}\,s_j\,\varepsilon\]
Alt bölge tam kareyse sınır uzunluğu \(4s_j\)’dir; alanı \(A_j = s_j^2\) yazılırsa
\[\left| \int_{C_j} (z - z_j)\,\delta_j(z)\,dz \right| < \sqrt{2}\,s_j \varepsilon \cdot 4 s_j = 4\sqrt{2}\,A_j \varepsilon \tag{10}\]
Alt bölge kısmi kareyse sınır uzunluğu \(4s_j + L_j\)’yi aşmaz; burada \(L_j\), \(C\)’nin o kısmi kareye düşen parçasının uzunluğudur. \(A_j\) yine tam karenin alanı olmak üzere
\[\left| \int_{C_j} (z - z_j)\,\delta_j(z)\,dz \right| < \sqrt{2}\,s_j\varepsilon\,\big(4s_j + L_j\big) < 4\sqrt{2}\,A_j\varepsilon + \sqrt{2}\,S L_j \varepsilon \tag{11}\]
Burada \(S\), örtüdeki tüm kareleri ve \(C\)’nin içini kapsayan büyük bir karenin kenar uzunluğudur; tüm \(A_j\)’lerin toplamı \(S^2\)’yi aşmaz. \(L\) ile \(C\)’nin uzunluğunu gösterirsek \((9)\)–\((11)\) birlikte
\[\left| \int_C f(z)\,dz \right| < \big(4\sqrt{2}\,S^2 + \sqrt{2}\,SL\big)\,\varepsilon\]
verir. \(\varepsilon > 0\) keyfi olduğundan sağ taraf istendiği kadar küçük yapılabilir; \(\varepsilon\)’dan bağımsız olan sol taraf ise sıfıra eşit olmak zorundadır.
\(\blacksquare\)
Analitik bir fonksiyon, çok küçük ölçekte birinci dereceden bir polinom gibi davranır; polinomların ise ters türevi vardır ve kapalı çevre integralleri sıfırdır. Lemma bu “çok küçük ölçeği” düzgün biçimde kurar, kalan hata terimi de \(\varepsilon\) ile ezilir.
Örnek 24.1 (Doğrudan Uygulama) \(C\), pozitif ya da negatif yönlü herhangi bir basit kapalı çevre olsun. Bileşke fonksiyon \(f(z) = e^{z^3}\) tüm düzlemde analitik olduğundan
\[\int_C e^{z^3}\,dz = 0\]
\(C\) hangi eğri olursa olsun, integrali hesaplamaya kalkışmak gereksizdir.
24.5 Alıştırma
Alıştırma 24.1 (Cauchy-Goursat Uygulamaları) \(C\), pozitif yönlü \(|z| = 1\) çemberi olsun. Aşağıdaki integrallerin neden sıfır olduğunu gerekçelendiriniz.
\(\displaystyle\int_C \frac{z^2}{z - 3}\,dz\)
\(\displaystyle\int_C z\,e^{-z}\,dz\)
\(\displaystyle\int_C \frac{dz}{z^2 + 2z + 2}\)
\(\displaystyle\int_C \operatorname{Log}(z + 2)\,dz\)
Çözüm
Her şıkta yapılacak iş aynıdır: integrandın hiçbir tekil noktasının kapalı \(|z| \le 1\) diskinde bulunmadığını göstermek. Bu sağlandığında integrand \(C\) üzerinde ve içinde analitik olur ve Cauchy-Goursat teoremi integralin sıfır olduğunu söyler.
a) İntegrand bir polinom bölümüdür; tek tekil noktası paydayı sıfırlayan \(z = 3\)’tür. \(|3| = 3 > 1\) olduğundan bu nokta çemberin dışındadır. Diskte pay ve payda analitik, payda sıfırdan farklı olduğundan bölüm de analitiktir:
\[\int_C \frac{z^2}{z-3}\,dz = 0\]
b) \(z\) ve \(e^{-z}\) fonksiyonlarının ikisi de tamdır; tam fonksiyonların çarpımı da tamdır. \(ze^{-z}\) hiçbir tekil noktaya sahip olmadığından teorem doğrudan uygulanır:
\[\int_C z\,e^{-z}\,dz = 0\]
c) Paydanın köklerini bulalım:
\[z^2 + 2z + 2 = 0 \implies z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i\]
Bu iki noktanın modülü
\[|-1 \pm i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 > 1\]
olduğundan ikisi de çemberin dışındadır. İntegrand diskte analitiktir:
\[\int_C \frac{dz}{z^2 + 2z + 2} = 0\]
d) Esas logaritma \(\operatorname{Log} w\), \(w = 0\) noktasında ve negatif reel eksende (\(w \le 0\)) analitik değildir; dal kesimi \(w\)-düzleminde başlangıçtan sola uzanan ışındır. Burada \(w = z + 2\) olduğundan kesim, \(z\)-düzleminde
\[z + 2 \le 0 \iff z \le -2\]
koşulunu sağlayan noktalardan, yani reel eksenin \(-2\) noktasından sola uzanan ışınından oluşur. Bu ışının başlangıca en yakın noktası \(z = -2\)’dir ve \(|-2| = 2 > 1\)’dir; kesim, kapalı birim diskle kesişmez. Dolayısıyla \(\operatorname{Log}(z+2)\) diskte analitiktir:
\[\int_C \operatorname{Log}(z + 2)\,dz = 0\]
\(\blacksquare\)
Teorem basit kapalı çevreler için kuruldu. Sıradaki adım kısıtı gevşetmektir: hangi domenlerde her kapalı çevre için geçerlidir, delikli domenlerde ne olur? Yanıt basit ve çok bağlantılı domenlerde.