6 Fonksiyonlar ve Tasvirler
Kompleks değişkenli bir fonksiyonun grafiği çizilemez: tanım kümesi de değer kümesi de ikişer boyutludur, grafik dört boyutta yaşar. Bu yüzden kompleks analizde fonksiyonlar bir tasvir (gönderim) olarak incelenir: \(z\)-düzlemindeki eğri ve bölgelerin \(w\)-düzleminde nereye taşındığına bakılır.
6.1 Fonksiyon Kavramı
Tanım 6.1 (Kompleks Değişkenli Fonksiyon) \(S\), kompleks sayıların bir kümesi olsun. \(S\) üzerinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonu, \(S\)’nin her \(z\) elemanına tek bir \(w = f(z)\) kompleks sayısı karşılık getiren kuraldır. \(S\)’ye \(f\)’nin tanım kümesi, \(w\)’ye \(f\)’nin \(z\)’deki değeri denir.
Tanım kümesi açıkça söylenmediğinde, kuralın anlamlı olduğu en geniş küme alınır: \(w = 1/z\) için bu, delinmiş düzlem \(z \neq 0\) kümesidir.
\(z = x + iy\) yazılırsa \(f\)’nin değerleri reel ve sanal bileşenlere ayrılır:
\[f(z) = u(x, y) + i\,v(x, y)\]
Burada \(u\) ve \(v\), iki reel değişkenli reel değerli fonksiyonlardır. Kutupsal koordinatlar kullanılırsa \(f(z) = u(r, \theta) + i\,v(r, \theta)\) yazılır.
Örnek 6.1 (Bileşenlerin Bulunması) \(f(z) = z^2\) fonksiyonunun kartezyen ve kutupsal bileşenlerini bulunuz.
Çözüm
Kartezyen biçimde:
\[f(x + iy) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i\,2xy \implies u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy\]
Kutupsal biçimde \(z = re^{i\theta}\) için:
\[f(z) = r^2 e^{i2\theta} = r^2\cos 2\theta + i\,r^2 \sin 2\theta \implies u = r^2\cos 2\theta, \quad v = r^2\sin 2\theta\]
\(\blacksquare\)
\(v \equiv 0\) ise \(f\) reel değerlidir; örneğin \(f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2\) böyledir.
\(n\) negatif olmayan bir tam sayı ve \(a_0, \dots, a_n\) kompleks sabitler (\(a_n \neq 0\)) olmak üzere
\[P(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n\]
fonksiyonu \(n\)-inci dereceden bir polinomdur; tanım kümesi tüm düzlemdir. Polinomların bölümü \(P(z)/Q(z)\) ise rasyonel fonksiyondur ve \(Q(z) \neq 0\) noktalarında tanımlıdır.
Kompleks analizde bir \(z\)’ye birden çok değer eşleyen kurallar da doğal olarak ortaya çıkar; \(z^{1/2}\) bunun ilk örneğidir. Böyle durumlarda değerlerden birini sistemli biçimde seçerek tek değerli bir fonksiyon — bir dal — elde edilir. Örneğin
\[f(z) = \sqrt{r}\, e^{i\Theta/2} \qquad (r > 0,\; \Theta = \operatorname{Arg} z)\]
kuralı, \(z^{1/2}\)’nin esas değerini seçen tek değerli bir fonksiyondur. Dallar konusu logaritma fonksiyonunda derinlemesine işlenecek.
6.2 Tasvir Kavramı
\(w = f(z)\) yazılıp \(z\)- ve \(w\)-düzlemleri ayrı ayrı düşünüldüğünde \(f\)’ye tasvir (gönderim) denir. Bir \(S\) kümesindeki noktaların görüntülerinin kümesine \(S\)’nin görüntüsü denir. En basit tasvirler geometrik olarak tanıdıktır:
- \(w = z + 1\): her noktayı \(1\) birim sağa öteler.
- \(w = iz\): \(|iz| = |z|\) ve \(\arg(iz) = \arg z + \pi/2\) olduğundan, başlangıç etrafında \(\pi/2\) döndürür.
- \(w = \bar{z}\): reel eksene göre yansıtır.
6.3 \(w = z^2\) Tasviri
\(u = x^2 - y^2\), \(v = 2xy\) bileşenleri, \(w = z^2\) tasvirinin bütün geometrisini taşır.
Örnek 6.2 (Hiperbollerin Görüntüsü) \(x^2 - y^2 = c_1\) \((c_1 > 0)\) hiperbolünün \(w = z^2\) altında görüntüsü, \(u = c_1\) dikey doğrusudur; \(2xy = c_2\) \((c_2 > 0)\) hiperbolünün görüntüsü \(v = c_2\) yatay doğrusudur.
Çözüm
Birinci hiperbol üzerinde \(u = x^2 - y^2 = c_1\) sabittir; nokta hiperbolün sağ kolunda \(y\) değeri \(-\infty\)’dan \(+\infty\)’a taranarak dolaşıldığında \(v = 2xy = 2y\sqrt{y^2 + c_1}\) de \(-\infty\)’dan \(+\infty\)’a tüm değerleri alır. Yani sağ kolun görüntüsü \(u = c_1\) doğrusunun tamamıdır; sol kol da aynı doğruya gider.
İkinci hiperbolün \(x > 0\) kolunda \(v = 2xy = c_2\) sabittir ve \(x\) parametresiyle
\[u = x^2 - y^2 = x^2 - \frac{c_2^2}{4x^2} \qquad (0 < x < \infty)\]
ifadesi \(-\infty\)’dan \(+\infty\)’a monoton artar; görüntü \(v = c_2\) doğrusunun tamamıdır. \(x < 0\) kolu da aynı doğruya taşınır.
\(\blacksquare\)
Örnek 6.3 (Bir Bölgenin Şerite Tasviri) \(x > 0\), \(y > 0\), \(xy < 1\) koşullarıyla tanımlı bölgenin \(w = z^2\) altındaki görüntüsünün \(0 < v < 2\) şeridi olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Bölgedeki noktalar, \(0 < c_2 < 2\) olmak üzere \(2xy = c_2\) hiperbol kollarının birinci çeyrekte kalan parçaları üzerinde yer alır. Önceki örneğe göre her böyle kol, \(v = c_2\) doğrusunun tamamına tasvir edilir; \(c_2\), \((0, 2)\) aralığını tararken görüntüler \(0 < v < 2\) şeridini doldurur.
Sınırların davranışı da öğreticidir: pozitif \(y\) ekseni (\(z = iy\)) \(w = -y^2 \le 0\)’a, pozitif \(x\) ekseni (\(z = x\)) \(w = x^2 \ge 0\)’a gider; ikisi birlikte \(v = 0\) doğrusunu (u ekseni) örter. \(xy = 1\) hiperbolü ise \(v = 2\) doğrusuna gider. Kapalı bölge \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), \(xy \le 1\)’in görüntüsü kapalı şerit \(0 \le v \le 2\) olur.
\(\blacksquare\)
Kutupsal koordinatlarda \(w = z^2\) tasviri daha da saydamdır: \(z = re^{i\theta}\) için \(w = r^2 e^{i2\theta}\); modül karelenir, açı ikiye katlanır. Birinci çeyrek \(0 \le \theta \le \pi/2\), üst yarı düzleme \(0 \le 2\theta \le \pi\) tasvir edilir; üst yarı düzlem ise tüm düzlemi örter.
6.4 Üstel Fonksiyonla Tasvirler
\(e^z = e^x e^{iy}\) fonksiyonunda (ayrıntılar için) modül \(e^x\), argüman \(y\)’dir. Bu ayrışma, kartezyen ızgarayı kutupsal ızgaraya dönüştürür:
- Dikey doğru \(x = c_1\), \(\rho = e^{c_1}\) yarıçaplı çembere tasvir edilir; doğru boyunca \(y\) bir \(2\pi\) aralığını aştıkça çember tekrar tekrar dolanılır.
- Yatay doğru \(y = c_2\), açısı \(c_2\) olan ve başlangıç noktasından çıkan (ama onu içermeyen) ışına tasvir edilir.
Örnek 6.4 (Dikdörtgenin Görüntüsü) \(a \le x \le b\), \(c \le y \le d\) dikdörtgeninin \(w = e^z\) altındaki görüntüsü
\[e^a \le \rho \le e^b, \qquad c \le \varphi \le d\]
halka parçasıdır. Tasvir, \(d - c < 2\pi\) olduğu sürece birebirdir; örneğin tabanı \(y = 0\), tavanı \(y = \pi\) doğruları üzerinde olan her dikdörtgen (\(c = 0\), \(d = \pi\)), üst yarı düzlemde bir yarım halkaya birebir tasvir edilir.
Sınır durumu özellikle önemlidir: \(0 \le y \le \pi\) yatay şeridinin tamamı, üst yarı düzlem \(\operatorname{Im} w \ge 0\)’ın \(w = 0\) çıkarılmış hâline tasvir edilir; alt kenar \(y = 0\) pozitif reel eksene, üst kenar \(y = \pi\) negatif reel eksene gider.
6.5 Alıştırma
Alıştırma 6.1 (Tasvir Alıştırmaları)
\(f(z) = z^3 + z + 1\) fonksiyonunun \(u\) ve \(v\) bileşenlerini bulunuz.
\(w = z^2\) altında \(y = 1\) yatay doğrusunun görüntüsünün \(v^2 = 4(u + 1)\) parabolü olduğunu gösteriniz.
\(w = e^z\) altında \(-\pi/2 \le y \le \pi/2\) yatay şeridinin görüntüsünü belirleyiniz.
Çözüm
a) \(z = x + iy\) yazıp küpü açalım:
\[z^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 = x^3 - 3xy^2 + i\big(3x^2y - y^3\big)\]
Buna \(z + 1 = (x + 1) + iy\) eklenir ve reel/sanal kısımlar ayrılır:
\[u(x,y) = x^3 - 3xy^2 + x + 1, \qquad v(x,y) = 3x^2 y - y^3 + y\]
b) \(y = 1\) doğrusunun noktaları \(z = x + i\) biçimindedir (\(x\) reel). Görüntüyü hesaplayalım:
\[w = (x + i)^2 = x^2 - 1 + 2ix\]
Buradan bileşenler okunur:
\[u = x^2 - 1, \qquad v = 2x\]
İkinci eşitlik \(x = v/2\) verir; bunu birinciye koyarsak
\[u = \frac{v^2}{4} - 1 \iff v^2 = 4(u + 1)\]
\(x\) tüm reel sayıları taradığında \(v = 2x\) de tüm reel değerleri alır; dolayısıyla görüntü, tepesi \((-1, 0)\) noktasında olan bu parabolün tamamıdır.
c) \(w = e^z = e^x e^{iy}\) olduğundan
\[|w| = e^x, \qquad \arg w = y\]
Şeritte \(x\) tüm reel değerleri alır, yani \(|w| = e^x\) sayısı \((0, \infty)\) aralığını tarar — \(|w|\) asla \(0\) olamaz. Argüman ise \(-\pi/2 \le y \le \pi/2\) aralığında kalır. Modülü pozitif, argümanı bu aralıkta olan noktaların kümesi tam olarak
\[\operatorname{Re} w \ge 0, \qquad w \neq 0\]
yani başlangıç noktası çıkarılmış kapalı sağ yarı düzlemdir. Uç değerler de görüntüye dahildir: \(y = \pi/2\) doğrusu pozitif sanal ekseni, \(y = -\pi/2\) doğrusu negatif sanal ekseni verir.
\(\blacksquare\)
Tasvirler bize fonksiyonların kabaca davranışını gösterdi; incelikli davranış — yakınlaşma, süreklilik, türev — limit kavramıyla başlar.