9 Cauchy-Riemann Denklemleri
Kompleks türevin var olması, bileşen fonksiyonları \(u\) ile \(v\)’yi birbirine kenetleyen iki kısmi diferansiyel denklemi zorunlu kılar. Bu bölümde önce bu denklemleri türetecek, sonra hangi ek koşulla türevin varlığını garanti ettiklerini göreceğiz.
9.1 Denklemlerin Türetilişi
\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) fonksiyonunun \(z_0 = x_0 + iy_0\) noktasında türevi var olsun:
\[f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}\]
Limit her yönden aynı olduğuna göre, iki özel yönü karşılaştırabiliriz.
Yatay yaklaşım (\(\Delta z = \Delta x\)): oran
\[\frac{\Delta w}{\Delta z} = \frac{u(x_0 + \Delta x, y_0) - u(x_0, y_0)}{\Delta x} + i\,\frac{v(x_0 + \Delta x, y_0) - v(x_0, y_0)}{\Delta x}\]
biçimini alır ve limitte
\[f'(z_0) = u_x(x_0, y_0) + i\,v_x(x_0, y_0)\]
Dikey yaklaşım (\(\Delta z = i\Delta y\)): \(1/i = -i\) olduğundan
\[\frac{\Delta w}{\Delta z} = \frac{v(x_0, y_0 + \Delta y) - v(x_0, y_0)}{\Delta y} - i\,\frac{u(x_0, y_0 + \Delta y) - u(x_0, y_0)}{\Delta y}\]
ve limitte
\[f'(z_0) = v_y(x_0, y_0) - i\,u_y(x_0, y_0)\]
İki ifadenin reel ve sanal kısımları eşitlenirse aranan denklemler çıkar.
Teorem 9.1 (Cauchy-Riemann Denklemlerinin Gerekliliği) \(f = u + iv\) fonksiyonunun \(z_0 = x_0 + iy_0\) noktasında türevi varsa, \(u\) ve \(v\)’nin birinci mertebeden kısmi türevleri o noktada vardır ve Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar:
\[u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x\]
Ayrıca türev şu iki eşdeğer biçimde yazılabilir:
\[f'(z_0) = u_x + i v_x = v_y - i u_y\]
Örnek 9.1 (Denklemlerin Doğrulanması) \(f(z) = z^2\) için \(u = x^2 - y^2\), \(v = 2xy\)’dir:
\[u_x = 2x = v_y, \qquad u_y = -2y = -v_x\]
Denklemler her noktada sağlanır ve \(f'(z) = u_x + iv_x = 2x + i2y = 2z\) — tanımdan bulduğumuz sonuçla aynıdır.
Örnek 9.2 (Denklemlerle Eleme) \(f(z) = |z|^2\) için \(u = x^2 + y^2\), \(v = 0\)’dır. Cauchy-Riemann denklemleri
\[2x = 0, \qquad 2y = 0\]
yalnızca başlangıç noktasında sağlanır; dolayısıyla \(z \neq 0\) hiçbir noktada türev olamaz. (Başlangıçta türevin gerçekten var olduğunu tanımdan biliyoruz: \(f'(0) = 0\).)
Cauchy-Riemann denklemlerinin bir noktada sağlanması, türevin o noktada var olduğunu garanti etmez; kısmi türevlerin o noktada sürekliliği gibi bir ek koşul gerekir. Denklemlerin asıl gücü eleyicidir: sağlanmadıkları noktada türev kesinlikle yoktur.
9.2 Yeterlilik Teoremi
Teorem 9.2 (Türevlenebilirlik İçin Yeterli Koşullar) \(f = u + iv\), \(z_0 = x_0 + iy_0\)’ın bir \(\varepsilon\)-komşuluğunda tanımlı olsun. Eğer
\(u\) ve \(v\)’nin birinci mertebeden kısmi türevleri bu komşulukta her yerde varsa,
bu kısmi türevler \((x_0, y_0)\)’da sürekliyse ve orada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa,
o zaman \(f'(z_0)\) vardır ve \(f'(z_0) = u_x(x_0, y_0) + i\,v_x(x_0, y_0)\)’dır.
İspat
Kısmi türevlerin sürekliliği, artmaların lineerleştirilebilmesini sağlar: \(\Delta z = \Delta x + i\Delta y \to 0\) iken \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_4 \to 0\) olmak üzere
\[\Delta u = u_x \Delta x + u_y \Delta y + \varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y\]
\[\Delta v = v_x \Delta x + v_y \Delta y + \varepsilon_3 \Delta x + \varepsilon_4 \Delta y\]
(kısmi türevler \((x_0, y_0)\)’da hesaplanıyor). \(\Delta w = \Delta u + i \Delta v\) ifadesinde Cauchy-Riemann denklemleriyle \(u_y = -v_x\), \(v_y = u_x\) yazılırsa
\[\Delta w = (u_x + iv_x)(\Delta x + i\Delta y) + (\varepsilon_1 + i\varepsilon_3)\Delta x + (\varepsilon_2 + i\varepsilon_4)\Delta y\]
Böylece
\[\frac{\Delta w}{\Delta z} = u_x + iv_x + (\varepsilon_1 + i\varepsilon_3)\frac{\Delta x}{\Delta z} + (\varepsilon_2 + i\varepsilon_4)\frac{\Delta y}{\Delta z}\]
\(|\Delta x/\Delta z| \le 1\) ve \(|\Delta y/\Delta z| \le 1\) olduğundan son iki terim sıfıra gider; limit \(u_x + iv_x\) olarak vardır.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.3 (Üstel Fonksiyonun Türevi) \(f(z) = e^z = e^x\cos y + i\,e^x\sin y\) fonksiyonu her noktada türevlenebilir ve \(f'(z) = f(z)\)’dir.
Çözüm
\(u = e^x\cos y\), \(v = e^x\sin y\) için
\[u_x = e^x\cos y = v_y, \qquad u_y = -e^x\sin y = -v_x\]
Kısmi türevler her yerde sürekli ve denklemler her yerde sağlanır; teoreme göre
\[f'(z) = u_x + iv_x = e^x\cos y + i\,e^x\sin y = e^z\]
\(\blacksquare\)
9.3 Kutupsal Koordinatlarda Cauchy-Riemann
\(z_0 \neq 0\) civarında \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\) dönüşümü yapılırsa, zincir kuralıyla
\[u_r = u_x \cos\theta + u_y \sin\theta, \qquad u_\theta = -u_x r\sin\theta + u_y r\cos\theta\]
(ve \(v\) için benzerleri) yazılır. Kartezyen denklemler yerine konduğunda kutupsal biçim elde edilir:
Teorem 9.3 (Kutupsal Cauchy-Riemann Denklemleri) \(f = u(r, \theta) + iv(r, \theta)\), \(z_0 = r_0 e^{i\theta_0}\) \((r_0 > 0)\) noktasının bir komşuluğunda tanımlı olsun. Kısmi türevler bu komşulukta var, \((r_0, \theta_0)\)’da sürekli ve
\[r u_r = v_\theta, \qquad u_\theta = -r v_r\]
denklemlerini sağlıyorsa \(f'(z_0)\) vardır ve
\[f'(z_0) = e^{-i\theta}\big(u_r + i v_r\big)\]
Örnek 9.4 (1/z Türevi) \(f(z) = \dfrac{1}{z}\) \((z \neq 0)\) için kutupsal denklemleri doğrulayıp türevi bulunuz.
Çözüm
\(f(z) = \dfrac{1}{re^{i\theta}} = \dfrac{1}{r}e^{-i\theta} = \dfrac{\cos\theta}{r} - i\,\dfrac{\sin\theta}{r}\); yani \(u = \dfrac{\cos\theta}{r}\), \(v = -\dfrac{\sin\theta}{r}\).
\[r u_r = -\frac{\cos\theta}{r} = v_\theta, \qquad u_\theta = -\frac{\sin\theta}{r} = -r v_r\]
Denklemler \(r > 0\)’da sağlanır; türev
\[f'(z) = e^{-i\theta}\left(-\frac{\cos\theta}{r^2} + i\,\frac{\sin\theta}{r^2}\right) = -\frac{e^{-i\theta}}{r^2}\big(\cos\theta - i\sin\theta\big) = -\frac{e^{-i2\theta}}{r^2} = -\frac{1}{z^2}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 9.5 (Küp Kök Dalının Türevi) \[f(z) = \sqrt[3]{r}\, e^{i\theta/3} \qquad (r > 0,\; \alpha < \theta < \alpha + 2\pi)\]
dalının her noktada türevlenebilir olduğunu gösterip türevini bulunuz.
Çözüm
\(u = \sqrt[3]{r}\cos\dfrac{\theta}{3}\), \(v = \sqrt[3]{r}\sin\dfrac{\theta}{3}\) için
\[r u_r = \frac{\sqrt[3]{r}}{3}\cos\frac{\theta}{3} = v_\theta, \qquad u_\theta = -\frac{\sqrt[3]{r}}{3}\sin\frac{\theta}{3} = -r v_r\]
Türev formülüyle
\[f'(z) = e^{-i\theta}\,\frac{1}{3r^{2/3}}\left(\cos\frac{\theta}{3} + i \sin\frac{\theta}{3}\right) = \frac{e^{-i\theta}\, e^{i\theta/3}}{3r^{2/3}} = \frac{1}{3\,r^{2/3} e^{i2\theta/3}} = \frac{1}{3\,[f(z)]^2}\]
Reel analizdeki \(\dfrac{d}{dx}x^{1/3} = \dfrac{1}{3x^{2/3}}\) formülünün birebir karşılığıdır.
\(\blacksquare\)
9.4 Alıştırma
Alıştırma 9.1 (Cauchy-Riemann Uygulamaları)
\(f(z) = e^{-x}\big(\cos y - i \sin y\big)\) fonksiyonunun tüm düzlemde türevlenebilir olduğunu ve \(f'(z) = -f(z)\) sağlandığını gösteriniz.
\(f(z) = x^2 + iy^2\) fonksiyonunun Cauchy-Riemann denklemlerini hangi noktalarda sağladığını bulunuz; bu noktalarda türevin var olduğunu ve \(f'(z) = 2x\) değerini aldığını gösteriniz.
\(f(z) = z\operatorname{Im} z\) fonksiyonunun yalnızca \(z=0\) noktasında türevlenebildiğini gösteriniz.
Çözüm
a) Bileşenler \(u = e^{-x}\cos y\) ve \(v = -e^{-x}\sin y\)’dir. Kısmi türevleri yazalım:
\[u_x = -e^{-x}\cos y, \qquad u_y = -e^{-x}\sin y\]
\[v_x = e^{-x}\sin y, \qquad v_y = -e^{-x}\cos y\]
Cauchy-Riemann denklemleri her \((x,y)\) için sağlanır:
\[u_x = v_y \;(= -e^{-x}\cos y), \qquad u_y = -v_x \;(= -e^{-x}\sin y)\]
Dört kısmi türev de tüm düzlemde süreklidir; yeterlilik teoremi gereği \(f\) her noktada türevlenebilirdir. Türev formülü
\[f'(z) = u_x + i v_x = -e^{-x}\cos y + i\,e^{-x}\sin y = -e^{-x}\big(\cos y - i\sin y\big) = -f(z)\]
verir. (Bu fonksiyon aslında \(f(z) = e^{-x}e^{-iy} = e^{-z}\)’dir; bulunan bağıntı \(\dfrac{d}{dz}e^{-z} = -e^{-z}\) eşitliğinden başkası değildir.)
b) Burada \(u = x^2\), \(v = y^2\)’dir:
\[u_x = 2x, \quad u_y = 0, \qquad v_x = 0, \quad v_y = 2y\]
İkinci denklem \(u_y = -v_x\) her yerde sağlanır (\(0 = 0\)). Birinci denklem ise
\[u_x = v_y \iff 2x = 2y \iff y = x\]
yani Cauchy-Riemann denklemleri yalnızca \(y = x\) doğrusu üzerinde geçerlidir. Kısmi türevler tüm düzlemde sürekli olduğundan yeterlilik teoremi bu doğrunun her noktasında uygulanır ve türev vardır:
\[f'(z) = u_x + i v_x = 2x + i\cdot 0 = 2x \qquad (y = x)\]
Doğrunun dışındaki noktalarda Cauchy-Riemann denklemleri bozulduğu için türev yoktur. Dikkat: türev bir doğru üzerinde var olsa da hiçbir noktada analitik değildir; analitiklik bir açık komşuluk ister, doğrunun ise iç noktası yoktur.
c) \(f(z) = z\operatorname{Im} z = (x + iy)y = xy + iy^2\) olduğundan \(u = xy\), \(v = y^2\)’dir:
\[u_x = y, \quad u_y = x, \qquad v_x = 0, \quad v_y = 2y\]
Cauchy-Riemann denklemleri:
\[u_x = v_y \iff y = 2y \iff y = 0, \qquad u_y = -v_x \iff x = 0\]
İki koşul yalnızca \(z = 0\) noktasında birlikte sağlanır; başka hiçbir noktada türev olamaz. Başlangıçta ise kısmi türevler sürekli olduğundan yeterlilik teoremi türevin varlığını verir:
\[f'(0) = u_x(0,0) + i v_x(0,0) = 0\]
\(\blacksquare\)
Türevin bir noktada değil, bir açık kümenin her noktasında var olması, kompleks analizin merkez kavramını doğurur: analitiklik.