11 Transpozisyonlar ve Alterne Grup
Devreler substitüsyonun anatomisini verdi; şimdi devreleri de en küçük yapı taşına indiriyoruz: yalnızca iki elemanı takas eden transpozisyonlar. Her substitüsyon transpozisyonların çarpımıdır — ama bu ayrılış tek türlü değildir. Bölümün derin sonucu, yine de değişmeyen bir şeyin olduğudur: kullanılan transpozisyon sayısının tek mi çift mi olduğu. Bu görünmez imza, \(S_n\)’yi tam ortadan ikiye böler ve yarısından \(A_n\) alterne grubunu çıkarır.
11.1 Transpozisyonlara Ayrılış
Tanım 11.1 (Transpozisyon) Uzunluğu \(2\) olan \((i\,j)\) devresine bir transpozisyon denir: \(i\) ile \(j\) yer değiştirir, geri kalan her şey sabit kalır.
Teorem 11.1 (Transpozisyonlara Ayrılış) Her substitüsyon, bir takım transpozisyonların çarpımı olarak gösterilebilir.
İspat
Her substitüsyon yabancı devrelerin çarpımı olduğundan, her devrenin transpozisyonlara ayrılabildiğini göstermek yeterlidir. Doğrudan doğrulanabilen özdeşlik şudur:
\[(a_1\,a_2\,a_3\,\dots\,a_{k-1}\,a_k) = (a_1\,a_k)(a_1\,a_{k-1})\cdots(a_1\,a_3)(a_1\,a_2)\]
Sağ tarafta önce en sağdaki çarpan uygulanır: \(a_1 \mapsto a_2\) ve sonraki transpozisyonlar \(a_2\)’ye dokunmaz; \(a_2 \mapsto a_1 \mapsto a_3\) ve sonrakiler \(a_3\)’e dokunmaz; böyle sürer ve \(a_k \mapsto a_1\) ile devre kapanır. \(k\) uzunluğundaki devre böylece \(k - 1\) transpozisyonun çarpımıdır.
\(\blacksquare\)
Bu gösteriliş tek türlü değildir: \((i\,j)^2 = I\) olduğundan çarpımın herhangi bir yerine bir transpozisyonun karesi sokulabilir. Örneğin \(S_7\)’de
\[S = (1\,4\,3)(2\,6\,5\,7) = (1\,3)(1\,4)(2\,7)(2\,5)(2\,6) = (1\,3)(1\,4)(2\,3)(2\,3)(2\,7)(2\,5)(2\,6)\]
Beş transpozisyonluk yazılış yedi transpozisyonluğa uzatıldı — ama dikkat: \(5\) de \(7\) de tek sayı. Bu bir rastlantı değildir.
11.2 Tek ve Çift Substitüsyonlar
Teorem 11.2 (Tekliğin-Çiftliğin Değişmezliği) Bir substitüsyon ne şekilde transpozisyonların çarpımı olarak gösterilirse gösterilsin, çarpımdaki transpozisyonların sayısı ya daima tektir ya daima çifttir.
Tanım 11.2 (Tek ve Çift Substitüsyon) Çift (tek) sayıda transpozisyonun çarpımı olarak gösterilebilen substitüsyona çift (tek) substitüsyon denir.
Tanımın hemen görülen sonuçları:
- \(I = (1\,2)(1\,2)\) olduğundan identik substitüsyon çifttir.
- \(k\) uzunluğundaki devre \(k - 1\) transpozisyonun çarpımı olduğundan, uzunluğu çift olan devre tek, uzunluğu tek olan devre çift substitüsyondur.
- Çarpımda sayılar toplanır: iki çift ya da iki tek substitüsyonun çarpımı çift; bir tekle bir çiftin çarpımı tektir.
Örnek 11.1 (Teklik-Çiftlik Belirleme) \(S_7\)’de aşağıdaki substitüsyonları yabancı devrelere ayırıp tek mi çift mi olduklarını belirleyiniz:
\[S = (1\,2\,3\,4)(5\,6\,7)(2\,6\,1)(4\,7), \qquad T = (1\,2\,3\,4\,5)(6\,7)(1\,3\,5\,7)(1\,6)\]
\[U = (1\,4)(1\,2\,3)(4\,5)(1\,4)\]
Çözüm
\(S\): Çarpımı sağdan sola izleyerek (önce en sağdaki çarpan) her elemanın yörüngesini çıkaralım: \(1 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 4\), \(4 \mapsto 5\), \(5 \mapsto 6\), \(6 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 7\), \(7 \mapsto 1\). Yani
\[S = (1\,3\,4\,5\,6\,2\,7)\]
Uzunluğu \(7\) (tek sayı) olan devre çift substitüsyondur (\(6\) transpozisyon).
\(T\): Aynı yöntemle \(1 \mapsto 7\), \(7 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1\) ve \(4 \mapsto 5\), \(5 \mapsto 6\), \(6 \mapsto 4\):
\[T = (1\,7\,2\,3)(4\,5\,6)\]
Dörtlü devre tek (\(3\) transpozisyon), üçlü devre çifttir (\(2\) transpozisyon); çarpım tek substitüsyondur.
\(U\): Çarpanları yine sağdan sola uygulayalım. \(1\): en sağdaki \((1\,4)\) ile \(1 \mapsto 4\), sonra \((4\,5)\) ile \(4 \mapsto 5\), kalan çarpanlar \(5\)’e dokunmaz — \(1 \mapsto 5\). \(5\): \((4\,5)\) ile \(5 \mapsto 4\), en soldaki \((1\,4)\) ile \(4 \mapsto 1\) — \(5 \mapsto 1\). \(2\): yalnız \((1\,2\,3)\) dokunur — \(2 \mapsto 3\). \(3\): \((1\,2\,3)\) ile \(3 \mapsto 1\), sonra \((1\,4)\) ile \(1 \mapsto 4\) — \(3 \mapsto 4\). \(4\): en sağdaki \((1\,4)\) ile \(4 \mapsto 1\), \((1\,2\,3)\) ile \(1 \mapsto 2\) — \(4 \mapsto 2\). Yani
\[U = (1\,5)(2\,3\,4)\]
Transpozisyon tek, üçlü devre çift; çarpım tek substitüsyondur.
Aynı sonuçlara yabancı ayrılış yapmadan da ulaşılabilirdi: verilen çarpanların her birinin tekliği-çiftliği bellidir. \(S\) için tek\(\cdot\)çift\(\cdot\)çift\(\cdot\)tek \(=\) çift; \(T\) için çift\(\cdot\)tek\(\cdot\)tek\(\cdot\)tek \(=\) tek; \(U\) için tek\(\cdot\)çift\(\cdot\)tek\(\cdot\)tek \(=\) tek.
\(\blacksquare\)
11.3 Alterne Grup
Teorem 11.3 (Çift Substitüsyonlar Alt Grup Oluşturur) \(S_n\)’nin bütün çift substitüsyonlarından oluşan \(A_n\) kümesi, \(S_n\)’nin bir alt grubudur.
İspat
\(I\) çift olduğundan \(A_n \neq \varnothing\)’dir. İki çift substitüsyonun çarpımı çift olduğundan \(A_n\) çarpmaya göre kapalıdır. \(S_n\) sonlu bir grup olduğundan, sonlu gruplarda alt grup ölçütü gereği kapalılık yeterlidir: \(A_n \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} S_n\).
\(\blacksquare\)
Tanım 11.3 (Alterne Grup) \(S_n\)’nin çift substitüsyonlardan oluşan \(A_n\) alt grubuna \(n\). dereceden alterne grup denir.
Teorem 11.4 (Tek ve Çift Substitüsyonlar Eşit Sayıdadır) \(n > 1\) için \(S_n\)’deki tek ve çift substitüsyonlar aynı sayıdadır; dolayısıyla
\[|A_n| = \frac{n!}{2}\]
İspat
\(S = (1\,2)\) sabit bir transpozisyon (tek substitüsyon) olsun ve
\[f : A_n \to S_n - A_n, \qquad f(T) = ST\]
fonksiyonunu tanımlayalım. \(T\) çiftken \(ST\) tektir; yani \(f\) gerçekten \(S_n - A_n\)’ye gider ve iyi tanımlıdır.
\(f\) birebirdir: \(ST_1 = ST_2\) ise grupta sadeleştirmeyle \(T_1 = T_2\).
\(f\) üzerinedir: \(U\) tek bir substitüsyon olsun. \(T = SU\) çift substitüsyondur (\(tek \cdot tek\)) ve \(S^2 = I\) olduğundan
\[f(T) = S(SU) = S^2 U = U\]
Sonlu \(A_n\) kümesini \(S_n - A_n\) üzerine birebir resmeden fonksiyon bulduğumuzdan iki küme aynı sayıda elemana sahiptir; toplamları \(n!\) olduğundan her biri \(\frac{n!}{2}\) elemanlıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.2 (Küçük Alterne Gruplar) \(A_2 = \{I\}\).
\(S_3 = \{I, (1\,2), (1\,3), (2\,3), (1\,2\,3), (1\,3\,2)\}\) içinde üçlü devreler çift, transpozisyonlar tektir:
\[A_3 = \{I, (1\,2\,3), (1\,3\,2)\}, \qquad |A_3| = \frac{3!}{2} = 3\]
\(S_4\)’ün \(24\) elemanından çift olanlar: identik, sekiz üçlü devre ve üç ikili-ikili çarpım:
\[A_4 = \{I,\ (1\,2\,3), (1\,2\,4), (1\,3\,2), (1\,3\,4), (1\,4\,2), (1\,4\,3), (2\,3\,4), (2\,4\,3),\]
\[(1\,2)(3\,4),\ (1\,3)(2\,4),\ (1\,4)(2\,3)\}\]
\(|A_4| = \frac{4!}{2} = 12\)’dir. (Transpozisyonlar ve dörtlü devreler tektir; \(S_4 - A_4\)’ü onlar oluşturur.)
\(A_4\)’ün içindeki
\[V = \{I,\ (1\,2)(3\,4),\ (1\,3)(2\,4),\ (1\,4)(2\,3)\}\]
alt kümesi çarpmaya göre kapalıdır (iki farklı çift-transpozisyonun çarpımı üçüncüsünü verir) ve dolayısıyla \(A_4\)’ün bir alt grubudur. Birimden farklı her elemanının karesi birimdir; yani \(V\), dördüncü mertebeden iki grup tipinden birincisinin — Klein tipi grubun — somut bir örneğidir ve Klein’ın dörtlü grubu diye anılır. \(V\) komutatiftir.
Simetrik ve alterne gruplar, sonlu grup teorisinin ana laboratuvarıdır; ilerleyen bölümlerin örneklerinde sürekli onlara döneceğiz. Şimdi yönümüzü yeniden genel teoriye çeviriyoruz: bir grubun bir elemanının ürettiği en küçük alt grup nedir ve tek elemanla üretilen gruplar nasıl sınıflandırılır? — doğurulan alt gruplar.