21  Bölüm Grupları

Normal alt grubun asıl ödülü bu bölümdedir: \(H \trianglelefteq G\) ise kalan sınıflarının kümesi üzerinde \(aH \cdot bH = (ab)H\) kuralıyla bir çarpma tanımlanabilir ve sınıflar bu çarpmayla yeni bir grup oluşturur — bölüm grubu \(G/H\). İnşanın kalbi bir iyi tanımlılık meselesidir: çarpım, sınıflardan seçilen temsilcilere bağlı kalmamalıdır; bunu garanti eden şey tam olarak normalliktir.

21.1 Çarpma Sınıflara İner

Teorem 21.1 (Eşdeğerlik Çarpmayla Uyumludur) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(H \trianglelefteq G\) olsun. \(x, x', y, y' \in G\) olmak üzere

\[x \underset{\text{sol}}{\sim} x'\ (H), \quad y \underset{\text{sol}}{\sim} y'\ (H) \implies x \cdot y \ \underset{\text{sol}}{\sim}\ x' \cdot y'\ (H)\]

İspat

\(x \sim x'\) demek, ikisinin aynı \(aH\) sınıfında olması demektir: \(x = a h_1\), \(x' = a h_2\) olacak biçimde \(h_1, h_2 \in H\) vardır. Benzer biçimde \(y = b h_3\), \(y' = b h_4\) olacak biçimde bir \(bH\) sınıfı ve \(h_3, h_4 \in H\) vardır. Çarpımları yazalım:

\[x y = (a h_1)(b h_3) = a (h_1 b) h_3, \qquad x' y' = (a h_2)(b h_4) = a (h_2 b) h_4\]

\(H\) normal olduğundan \(bH = Hb\)’dir; yani \(h_1 b = b h_1'\) ve \(h_2 b = b h_2'\) olacak biçimde \(h_1', h_2' \in H\) vardır. Yerine koyalım:

\[x y = a (b h_1') h_3 = (ab)(h_1' h_3) \in (ab)H\]

\[x' y' = a (b h_2') h_4 = (ab)(h_2' h_4) \in (ab)H\]

\(x y\) ile \(x' y'\) aynı \((ab)H\) sol kalan sınıfına düştüğünden \(x y \sim x' y'\) olur.

\(\blacksquare\)

(Sağdan eşdeğerlik için aynı sonuç tamamen benzer biçimde kanıtlanır. Ayrıca \(H \trianglelefteq G\) iken her \(a\) için \(aH = Ha\) olduğundan soldan ve sağdan eşdeğerlik bağıntıları \(G\)’yi aynı sınıflara ayırır: iki bağıntı birbiriyle çakışır ve “sol/sağ” ayrımı ortadan kalkar — kısaca kalan sınıflarından söz edebiliriz.)

21.2 Bölüm Grubunun İnşası

Teorem 21.2 (Kalan Sınıfları Grubu) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(H \trianglelefteq G\) olsun. Kalan sınıflarının kümesi

\[\bar{G} = \{aH : a \in G\}\]

üzerinde

\[aH \circ bH = (a \cdot b)H\]

işlemi tanımlanabilir ve \(\langle \bar{G}, \circ \rangle\) bir gruptur.

İspat

İşlemin iyi tanımlı olduğu — yani sonucun temsilci seçimine bağlı olmadığı — bir önceki teoremin içeriğidir: \(aH = a'H\) ve \(bH = b'H\) ise \(a \sim a'\), \(b \sim b'\) olur; uyum teoremi \(ab \sim a'b'\), yani \((ab)H = (a'b')H\) verir.

\(1_G H = H \in \bar{G}\) olduğundan \(\bar{G} \neq \varnothing\)’dir. Aksiyomları denetleyelim.

Kapalılık. \(a, b \in G\) için \(ab \in G\) olduğundan \(aH \circ bH = (ab)H \in \bar{G}\)’dir.

Asosyatiflik. \(G\)’deki asosyatiflikten

\[(aH \circ bH) \circ cH = \big((ab)c\big)H = \big(a(bc)\big)H = aH \circ (bH \circ cH)\]

Birim eleman. \(H = 1_G H\) sınıfı birimdir:

\[1_G H \circ aH = (1_G \cdot a)H = aH, \qquad aH \circ 1_G H = aH\]

Ters eleman. \(aH\)’nin tersi \(a^{-1}H\)’dir:

\[a^{-1}H \circ aH = (a^{-1}a)H = 1_G H = H, \qquad aH \circ a^{-1}H = H\]

Dört aksiyom sağlandığından \(\langle \bar{G}, \circ \rangle\) bir gruptur.

\(\blacksquare\)

Tanım 21.1 (Bölüm Grubu) \(\langle \bar{G}, \circ \rangle\) grubuna \(G\)’nin \(H\) normal alt grubuna göre bölüm grubu denir ve \(G/H\) ile gösterilir.

Teorem 21.3 (Sınıf Çarpımı, Kompleks Çarpımıdır) \(H \trianglelefteq G\) iken \(aH \circ bH\) çarpımı, \(aH\) ile \(bH\) komplekslerinin kompleks çarpımı anlamındaki \(aH \cdot bH\) ile aynıdır.

İspat

Kompleks çarpımının asosyatifliği, normallik (\(Hb = bH\)) ve \(H \cdot H = H\) eşitliğiyle

\[aH \cdot bH = a(Hb)H = a(bH)H = (ab)(H \cdot H) = (ab)H\]

\(\blacksquare\)

Bu uyum sayesinde \(\circ\) işareti için ayrı bir sembol taşımaya gerek kalmaz; bundan böyle bölüm grubunda da çarpımı \(\cdot\) ile (ya da yan yana yazarak) göstereceğiz.

21.3 Sonlu Durum ve Komutatif Durum

Üç pratik not:

1. Mertebe. \(G\) sonlu ve \(H \trianglelefteq G\) ise bölüm grubunun mertebesi indekstir:

\[|G/H| = [G : H] = \frac{|G|}{|H|}\]

2. Komutatif grupta her alt grup bölüm grubu verir. Komutatif grubun her alt grubu normal olduğundan her \(H\) alt grubuna göre \(G/H\) kurulabilir; üstelik \(G/H\) de komutatiftir:

\[aH \cdot bH = (ab)H = (ba)H = bH \cdot aH\]

3. Toplamsal yazış. \(\langle G, + \rangle\) komutatif grubunda kalan sınıfları \(a + H = \{a + h : h \in H\}\) biçimini alır ve

\[G/H = \{a + H : a \in G\}, \qquad (a + H) + (b + H) = (a + b) + H\]

toplamasıyla bir toplamsal gruptur.

Örnek 21.1 (En Tanıdık Bölüm Grubu: \(\mathbb{Z}_m\)) \(\langle \mathbb{Z}, + \rangle\) grubunda \(H = m\mathbb{Z} = \{0, \mp m, \mp 2m, \dots\}\) alt grubunu alalım (\(m \geq 2\)). Grup komutatif olduğundan \(H\) normaldir ve kalan sınıfları tam olarak modüler aritmetiğin sınıflarıdır:

\[k + m\mathbb{Z} = \bar{k}, \qquad \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \{\bar{0}, \bar{1}, \dots, \overline{m-1}\}\]

Sınıflar üzerindeki toplama \((\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b})\), bölüm grubu toplamasının kendisidir: \(\langle \mathbb{Z}_m, + \rangle\), ilk günden beri kullandığımız yapı, aslında bir bölüm grubudur — \(\mathbb{Z}_m = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\).

Bölüm grubu inşası soyut görünebilir; gücünü örneklerde gösterir. Bir sonraki bölüm baştan sona örneklere ayrılmıştır: \(S_3/A_3\)’ten kompleks sayı gruplarına, alt grup çarpımlarının normalliğinden \(\mathbb{Z}_{15}\)’in çarpımsal yapısına — bölüm grubu örnekleri.