3 Grup Örnekleri
Grup tanımı dört maddelik kısa bir listedir; ama bir kümenin grup olduğunu göstermek, o listenin her maddesini verilen işlem için tek tek doğrulamak demektir. Bu bölümde iki kapsamlı örnek üzerinde bu denetimin nasıl yürütüldüğünü görüyoruz. İkinci örnek — sıfırdan farklı kompleks sayıların çarpma grubu — ileride alt gruplar ve homomorfiler için ana sahnelerimizden biri olacak.
3.1 Bileşenli İşlemle Kurulan Bir Grup
Örnek 3.1 (Üçlüler Kümesinde Grup) \(G = \{(a, b, 2) : a, b \in \mathbb{R} - \{0\}\}\) kümesinde
\[(a, b, 2) \circ (c, d, 2) = (ac, bd, 2)\]
işlemi tanımlanıyor. \(\langle G, \circ \rangle\)’nin komutatif bir grup olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\((1, 1, 2) \in G\) olduğundan \(G \neq \varnothing\)’dir. Aksiyomları sırayla denetleyelim.
Kapalılık. \(a, b, c, d \in \mathbb{R} - \{0\}\) ise \(ac \neq 0\) ve \(bd \neq 0\) olur; dolayısıyla
\[(a, b, 2) \circ (c, d, 2) = (ac, bd, 2) \in G\]
Asosyatiflik. \(\mathbb{R}\)’de çarpma asosyatif olduğundan
\[\big[(a, b, 2) \circ (c, d, 2)\big] \circ (e, f, 2) = \big((ac)e,\ (bd)f,\ 2\big)\]
\[= \big(a(ce),\ b(df),\ 2\big) = (a, b, 2) \circ \big[(c, d, 2) \circ (e, f, 2)\big]\]
Komutatiflik. \(\mathbb{R}\)’de çarpma komutatif olduğundan
\[(a, b, 2) \circ (c, d, 2) = (ac, bd, 2) = (ca, db, 2) = (c, d, 2) \circ (a, b, 2)\]
Birim eleman. \((x, y, 2) \circ (a, b, 2) = (a, b, 2)\) olması için \(xa = a\) ve \(yb = b\) gerekir; \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) olduğundan \(x = 1\), \(y = 1\) bulunur. Birim eleman \((1, 1, 2) \in G\)’dir.
Ters eleman. \((a^{\circ}, b^{\circ}, 2) \circ (a, b, 2) = (1, 1, 2)\) denkleminden \(a^{\circ} a = 1\), \(b^{\circ} b = 1\); yani
\[a^{\circ} = \frac{1}{a}, \qquad b^{\circ} = \frac{1}{b}\]
\(a, b \neq 0\) olduğundan bu değerler \(\mathbb{R} - \{0\}\)’dadır: \((a, b, 2)\)’nin tersi \(\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 2\right) \in G\)’dir.
Beş koşulun tümü sağlandığından \(\langle G, \circ \rangle\) komutatif bir gruptur.
\(\blacksquare\)
Üçüncü bileşendeki \(2\) hiçbir işe karışmıyor; görevi yalnızca kümenin elemanlarını “etiketlemek”. Örnek, grup yapısının kümenin elemanlarının ne olduğuna değil, işlemin nasıl davrandığına bağlı olduğunu vurguluyor.
3.2 Kompleks Sayıların Çarpma Grubu
Teorem 3.1 (Sıfırdan Farklı Kompleks Sayılar Grubu) \(\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}\) ve \(0 = 0 + 0i\) olmak üzere \(\mathbb{C} - \{0\}\) kümesi,
\[(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\]
çarpma işlemine göre komutatif bir gruptur.
İspat
\(1 = 1 + 0i \in \mathbb{C} - \{0\}\) olduğundan küme boş değildir.
Kapalılık. Çarpımın bileşenleri gerçel olduğundan \((a+bi)(c+di) \in \mathbb{C}\)’dir; asıl gösterilmesi gereken, çarpımın \(0\) olamayacağıdır. Tersini varsayalım: \(a + bi \neq 0\), \(c + di \neq 0\) iken
\[(ac - bd) + (ad + bc)i = 0 + 0i \implies ac = bd, \qquad ad = -bc\]
olsun. \(a + bi \neq 0\) olduğundan \(a\) ve \(b\)’den en az biri sıfırdan farklıdır; \(a \neq 0\) kabul edebiliriz (aksi hâlde \(b \neq 0\) ile aynı akıl yürütme simetrik olarak yapılır). Birinci eşitliği \(c\), ikincisini \(d\) ile çarpalım:
\[ac^2 = bdc, \qquad ad^2 = -bcd\]
Taraf tarafa toplarsak \(a(c^2 + d^2) = 0\) olur; \(a \neq 0\) olduğundan \(c^2 + d^2 = 0\), yani \(c = d = 0\) bulunur. Bu, \(c + di \neq 0\) varsayımıyla çelişir. Demek ki çarpım sıfır olamaz ve \(\mathbb{C} - \{0\}\) çarpmaya göre kapalıdır.
Asosyatiflik. İki tarafı bileşenlerine açalım:
\[\begin{aligned} \big[(a+bi)(c+di)\big](e+fi) &= \big((ac-bd)e - (ad+bc)f\big) \\ &\quad + \big((ac-bd)f + (ad+bc)e\big)i \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} (a+bi)\big[(c+di)(e+fi)\big] &= \big(a(ce-df) - b(cf+de)\big) \\ &\quad + \big(a(cf+de) + b(ce-df)\big)i \end{aligned}\]
Parantezler açıldığında iki tarafın gerçel bileşenleri de sanal bileşenleri de \(ace - adf - bcf - bde\) ve \(acf + ade + bce - bdf\) olarak çakışır; işlem asosyatiftir.
Komutatiflik. \(\mathbb{R}\)’de toplama ve çarpma komutatif olduğundan
\[(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\]
\[= (ca-db) + (cb+da)i = (c+di)(a+bi)\]
Birim eleman. \((1 + 0i)(a + bi) = a + bi\) olduğundan birim eleman \(1 = 1 + 0i\)’dir.
Ters eleman. \((a^{\circ} + b^{\circ} i)(a + bi) = 1 + 0i\) denklemi, bileşenlere göre
\[a a^{\circ} - b b^{\circ} = 1, \qquad a^{\circ} b + b^{\circ} a = 0\]
sistemini verir. Birinci denklemi \(a\) ile, ikincisini \(b\) ile çarpıp toplarsak
\[a^{\circ}(a^2 + b^2) = a\]
birinci denklemi \(-b\) ile, ikincisini \(a\) ile çarpıp toplarsak
\[b^{\circ}(a^2 + b^2) = -b\]
bulunur. \(a + bi \neq 0\) olduğundan \(a^2 + b^2 \neq 0\)’dır; o hâlde
\[a^{\circ} = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad b^{\circ} = \frac{-b}{a^2 + b^2}\]
\(a\) ve \(b\)’den en az biri sıfırdan farklı olduğundan \(a^{\circ}\) ile \(b^{\circ}\)’den de en az biri sıfırdan farklıdır; yani
\[(a + bi)^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}\, i \in \mathbb{C} - \{0\}\]
Bütün koşullar sağlandığından \(\langle \mathbb{C} - \{0\}, \cdot \rangle\) komutatif bir gruptur.
\(\blacksquare\)
Bu grubu bundan böyle \(\mathbb{C}^{*} = \langle \mathbb{C} - \{0\}, \cdot \rangle\) ile göstereceğiz. Kapalılık adımında kanıtlanan “iki sıfırdan farklı kompleks sayının çarpımı sıfırdan farklıdır” gerçeği, \(\mathbb{C}\)’nin sıfır bölensiz olması demektir; alt grup örneklerinde bu gerçeğe yeniden başvuracağız.
3.3 Alıştırmalar
Alıştırma 3.1 (Bir Yapay İşlem Grubu) \(G = \mathbb{R} - \{-1\}\) kümesinde \(a * b = a + b + ab\) işlemi tanımlanıyor. \(\langle G, * \rangle\)’nin komutatif bir grup olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Önce kapalılığı görelim: \(a * b = a + b + ab = (1+a)(1+b) - 1\)’dir. \(a, b \neq -1\) ise \(1 + a \neq 0\) ve \(1 + b \neq 0\), dolayısıyla \((1+a)(1+b) \neq 0\) ve \(a * b \neq -1\) olur: işlem \(G\)’de kapalıdır.
Asosyatiflik: Aynı özdeşlikle
\[(a * b) * c = (1 + a*b)(1+c) - 1 = (1+a)(1+b)(1+c) - 1\]
\[a * (b * c) = (1+a)(1 + b*c) - 1 = (1+a)(1+b)(1+c) - 1\]
iki taraf eşittir.
Komutatiflik: \(a * b = a + b + ab = b + a + ba = b * a\).
Birim eleman: \(e * a = a\) için \(e + a + ea = a\), yani \(e(1 + a) = 0\); \(a \neq -1\) olduğundan \(e = 0 \in G\) bulunur.
Ters eleman: \(a^{*} * a = 0\) için \(a^{*}(1 + a) = -a\), yani
\[a^{*} = \frac{-a}{1 + a}\]
Bu değerin \(-1\) olamayacağını görelim: \(\frac{-a}{1+a} = -1\) olsaydı \(-a = -1 - a\), yani \(0 = -1\) çıkardı. O hâlde \(a^{*} \in G\)’dir ve komutatiflikten iki yanlı ters koşulu sağlanır.
Dört aksiyom ve komutatiflik sağlandığından \(\langle G, * \rangle\) komutatif bir gruptur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.2 (Bileşenleri Karışık Bir Grup) \(G = \{(2a, b) : a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Q} - \{0\}\}\) kümesinde
\[(2a, b) \circ (2c, d) = \left(2a + 2c,\ \frac{bd}{3}\right)\]
işlemi tanımlanıyor. \(\langle G, \circ \rangle\)’nin komutatif bir grup olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kapalılık: \(2a + 2c = 2(a + c)\) çift tam sayıdır ve \(b, d \neq 0\) iken \(\frac{bd}{3} \in \mathbb{Q} - \{0\}\)’dır; sonuç \(G\)’dedir.
Asosyatiflik: Birinci bileşen sıradan tam sayı toplaması olduğundan asosyatiftir; ikinci bileşende iki taraf da aynı sonucu verir:
\[\frac{\frac{bd}{3} \cdot f}{3} = \frac{bdf}{9} = \frac{b \cdot \frac{df}{3}}{3}\]
O hâlde işlem asosyatiftir.
Komutatiflik: Her iki bileşendeki işlem de komutatiftir.
Birim eleman: \((2x, y) \circ (2a, b) = (2a, b)\) için \(2x + 2a = 2a\) ve \(\frac{yb}{3} = b\) gerekir; \(x = 0\) ve \(y = 3\) bulunur. Birim eleman \((0, 3) \in G\)’dir.
Ters eleman: \((2a^{\circ}, b^{\circ}) \circ (2a, b) = (0, 3)\) denkleminden \(2a^{\circ} = -2a\) ve \(\frac{b^{\circ} b}{3} = 3\), yani
\[(2a, b)^{-1} = \left(-2a,\ \frac{9}{b}\right) \in G\]
Hepsi sağlandığından \(\langle G, \circ \rangle\) komutatif bir gruptur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.3 (Kompleks Sayıların Toplam Grubu) \(\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}\) kümesinin
\[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\]
toplama işlemine göre komutatif bir grup olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kapalılık: Bileşenler gerçel sayı toplamları olduğundan sonuç \(\mathbb{C}\)’dedir.
Asosyatiflik ve komutatiflik: Her iki bileşende de \(\mathbb{R}\)’deki toplamanın asosyatifliği ve komutatifliği kullanılır:
\[\big[(a+bi) + (c+di)\big] + (e+fi) = \big((a+c)+e\big) + \big((b+d)+f\big)i\]
\[= \big(a+(c+e)\big) + \big(b+(d+f)\big)i\]
ve \((a+c) + (b+d)i = (c+a) + (d+b)i\).
Birim eleman: \(0 = 0 + 0i\) için \((0 + 0i) + (a + bi) = a + bi\)’dir.
Ters eleman: \(a + bi\)’nin tersi \((-a) + (-b)i \in \mathbb{C}\)’dir:
\[(a + bi) + \big((-a) + (-b)i\big) = 0 + 0i\]
Böylece \(\langle \mathbb{C}, + \rangle\) komutatif bir gruptur.
\(\blacksquare\)
Şimdiye dek grup olduğunu gösterdiğimiz her yapıda dört aksiyomun dördünü de tek tek denetledik. Bir sonraki bölümün konusu tam bu yükü hafifletmek: aksiyomların bir bölümünü zayıflatıp gerisini teorem olarak elde edeceğiz — grup aksiyomlarının esnetilmesi.