5 İşlem Tabloları ve Küçük Mertebeli Gruplar
Sonlu bir grubun işlemi, çarpım tablosu gibi bir tabloya sığar. Bu bölümde önce tabloların hangi özellikleri taşımak zorunda olduğunu görüyor, sonra verilen bir tablonun grup tablosu olup olmadığını denetlemeyi öğreniyoruz. Bölümün ikinci yarısı küçük bir sınıflandırma şaheseri: mertebesi \(1, 2, 3\) olan gruplar tek tiptir; mertebe \(4\)’te ise tam iki tip vardır ve ikisini de tablolarıyla inşa edeceğiz.
5.1 İşlem Tablosu
Tanım 5.1 (İşlem Tablosu) Elemanları \(a_1, a_2, \dots, a_n\) olan sonlu bir grubun işlem sonuçları bir tabloyla gösterilir: satır başına \(a_i\), sütun başına \(a_j\) yazılır ve kesişim hücresine \(a_i \circ a_j\) konur. Bu tabloya grubun işlem tablosu (Cayley tablosu) denir.
Grupta \(a \circ x = b\) ve \(y \circ a = b\) denklemlerinin çözümleri tek türlü belirli olduğundan önemli bir kısıt doğar: grubun her elemanı, tablonun her satırında ve her sütununda tam bir kez yer alır. Gerçekten \(a_i\) satırında \(b\) elemanı, \(a_i \circ x = b\) denkleminin çözüm sayısı kadar — yani tam bir kez — görünür.
Bu kural gerekli ama yeterli değildir: satır-sütun düzeni kusursuz olan bir tablo yine de birim eleman ya da asosyatiflik yüzünden grup tablosu olmayabilir. Aşağıdaki örnek üç durumu birden sergiliyor.
Örnek 5.1 (Tablo Denetimi) Aşağıdaki tabloların bir grubun işlem tablosu olup olmadığını araştırınız.
\[(1)\ \begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & b & c & d & a \\ b & c & d & a & b \\ c & a & b & c & d \\ d & d & a & b & b \end{array} \qquad (2)\ \begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & c & d & a & b \\ b & a & b & c & d \\ c & d & c & b & a \\ d & b & a & d & c \end{array} \qquad (3)\ \begin{array}{c|ccc} \circ & a & b & c \\ \hline a & a & b & c \\ b & b & c & a \\ c & c & a & b \end{array}\]
Çözüm
(1) Son satırda \(b\) iki kez görünüyor: \(d \circ c = b\) ve \(d \circ d = b\). Bir grup tablosunda her eleman her satırda tam bir kez yer almak zorunda olduğundan bu tablo bir grubun işlem tablosu olamaz.
(2) Her eleman her satır ve sütunda tam bir kez yer alıyor; fakat birim eleman yok. Birim elemanın satırı, sütun başlıklarını aynen tekrarlamalıdır: \(b\) satırı \(a\ b\ c\ d\) veriyor, yani \(b \circ x = x\) her \(x\) için sağlanıyor — \(b\) bir sol birimdir. Ama \(b\) sütunu \(d,\ b,\ c,\ a\) olduğundan \(a \circ b = d \neq a\)’dır: \(b\) sağ birim değildir ve başka aday da yoktur. Birim elemanı olmayan yapı grup olamayacağından bu tablo da bir grup tablosu olamaz.
(3) Her eleman her satır ve sütunda tam bir kez var; \(a\) satırı ve sütunu başlıkları tekrarladığından \(a\) birim elemandır. Terslere bakalım: tabloda \(a\)’yı veren hücreler \(a \circ a\), \(b \circ c\), \(c \circ b\)’dir; yani
\[a^{-1} = a, \qquad b^{-1} = c, \qquad c^{-1} = b\]
Geriye asosyatiflik kalıyor: her \(x, y, z\) için \((x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)\) denetlenmelidir.
Üçlüde \(a\) varsa: \(a\) birim olduğundan üç durum da kendiliğinden sağlanır. Örneğin \(x = a\) için
\[(a \circ y) \circ z = y \circ z = a \circ (y \circ z)\]
\(y = a\) ve \(z = a\) durumları da aynı biçimde görülür.
Üçlüde \(a\) yoksa: \(x, y, z \in \{b, c\}\) olan sekiz üçlüyü tek tek denetleyelim:
\[(b \circ b) \circ b = c \circ b = a, \quad b \circ (b \circ b) = b \circ c = a \qquad \checkmark\]
\[(b \circ b) \circ c = c \circ c = b, \quad b \circ (b \circ c) = b \circ a = b \qquad \checkmark\]
\[(b \circ c) \circ b = a \circ b = b, \quad b \circ (c \circ b) = b \circ a = b \qquad \checkmark\]
\[(b \circ c) \circ c = a \circ c = c, \quad b \circ (c \circ c) = b \circ b = c \qquad \checkmark\]
\[(c \circ b) \circ b = a \circ b = b, \quad c \circ (b \circ b) = c \circ c = b \qquad \checkmark\]
\[(c \circ b) \circ c = a \circ c = c, \quad c \circ (b \circ c) = c \circ a = c \qquad \checkmark\]
\[(c \circ c) \circ b = b \circ b = c, \quad c \circ (c \circ b) = c \circ a = c \qquad \checkmark\]
\[(c \circ c) \circ c = b \circ c = a, \quad c \circ (c \circ c) = c \circ b = a \qquad \checkmark\]
Bütün üçlülerde eşitlik sağlandığından işlem asosyatiftir: \((3)\) tablosu bir grubun işlem tablosudur.
\(\blacksquare\)
Bundan böyle soyut gruplarda işlemi \(\circ\) yerine \(\cdot\) ile göstereceğiz ve \(\langle G, \cdot \rangle\) yapısına çarpım grubu diyeceğiz; \(a \cdot b\) yerine çoğu zaman kısaca \(ab\) yazılır. Birim eleman \(1_G\), \(a\)’nın tersi \(a^{-1}\) ile gösterilir. Bu yalnız bir gösteriş anlaşmasıdır: işlem, sayıların çarpması olmak zorunda değildir.
5.2 Mertebesi 1, 2 ve 3 Olan Gruplar
Mertebe 1. Grup yalnızca birim elemandan oluşur: \(G = \{1_G\}\), \(1_G \cdot 1_G = 1_G\). Bu gruba birim grup denir.
Mertebe 2. \(G = \{1_G, a\}\) olsun. \(1_G\) satır ve sütunu bellidir; geriye yalnız \(a \cdot a\) hücresi kalır. \(a \cdot a = a\) olamaz, çünkü sadeleştirmeyle \(a = 1_G\) çıkardı; o hâlde zorunlu olarak
\[a \cdot a = 1_G, \qquad \begin{array}{c|cc} \cdot & 1_G & a \\ \hline 1_G & 1_G & a \\ a & a & 1_G \end{array}\]
Asosyatiflik denetiminde üçlüde \(1_G\) varsa iş kendiliğinden biter; hiçbiri \(1_G\) değilse tek aday \(x = y = z = a\)’dır:
\[(a \cdot a) \cdot a = 1_G \cdot a = a, \qquad a \cdot (a \cdot a) = a \cdot 1_G = a\]
Demek ki tablo bir grup verir ve 2. mertebeden tek tip grup vardır; \(a^{-1} = a\)’dır.
Mertebe 3. \(G = \{1_G, a, b\}\) olsun. \(a \cdot b\) hücresine bakalım: \(b \neq 1_G\) olduğundan \(a \cdot b \neq a\) (sadeleştirme), \(a \neq 1_G\) olduğundan \(a \cdot b \neq b\); tek seçenek
\[a \cdot b = 1_G\]
Aynı akıl yürütmeyle \(b \cdot a = 1_G\)’dir; yani \(a^{-1} = b\), \(b^{-1} = a\). Şimdi \(a \cdot a\): tersinin tekliğinden \(a^{-1} = b \neq a\) olduğundan \(a \cdot a \neq 1_G\); \(a \neq 1_G\) olduğundan \(a \cdot a \neq a\); geriye
\[a \cdot a = b\]
kalır. Tamamen benzer biçimde \(b \cdot b = a\) bulunur:
\[\begin{array}{c|ccc} \cdot & 1_G & a & b \\ \hline 1_G & 1_G & a & b \\ a & a & b & 1_G \\ b & b & 1_G & a \end{array}\]
Asosyatiflik, yukarıdaki \((3)\) tablosundaki gibi (o tablo bu grubun \(1_G = a\), \(a = b\), \(b = c\) adlandırmasıyla aynısıdır) denetlenir. 3. mertebeden tek tip grup vardır.
5.3 Mertebesi 4 Olan Gruplar
\(G = \{1_G, a, b, c\}\) olsun. \(1_G\) ile çarpımlar bellidir; kritik soru terslerin dağılımıdır. Her elemanın tek bir tersi vardır ve ters alma, \(\{a, b, c\}\) kümesini kendi içinde eşler. İki olasılık vardır: ya üç eleman da kendi kendisinin tersidir ya da biri kendi kendisinin tersi olup öbür ikisi birbirinin tersidir. (Üçünün de “başkasının tersi” olması imkânsızdır: ters alma eşlemesi üç elemanlı kümede sabit noktasız olamaz.)
Birinci hâl: \(a^{-1} = a\), \(b^{-1} = b\), \(c^{-1} = c\). Yani \(a^2 = b^2 = c^2 = 1_G\). \(a \cdot b\) hücresi: \(a^{-1} = a \neq b\) olduğundan \(a \cdot b \neq 1_G\); sadeleştirmeden \(a \cdot b \neq a\) ve \(a \cdot b \neq b\); tek seçenek \(a \cdot b = c\). Simetrik akıl yürütmelerle
\[a b = b a = c, \qquad a c = c a = b, \qquad b c = c b = a\]
\[\begin{array}{c|cccc} \cdot & 1_G & a & b & c \\ \hline 1_G & 1_G & a & b & c \\ a & a & 1_G & c & b \\ b & b & c & 1_G & a \\ c & c & b & a & 1_G \end{array}\]
Asosyatifliğin denetimi yine “üçlüde \(1_G\) varsa otomatik; yoksa \(\{a,b,c\}\)’den kurulan üçlüler tek tek” yoluyla yapılır; örneğin
\[(a \cdot a) \cdot b = 1_G \cdot b = b, \quad a \cdot (a \cdot b) = a \cdot c = b \qquad \checkmark\]
\[(a \cdot b) \cdot a = c \cdot a = b, \quad a \cdot (b \cdot a) = a \cdot c = b \qquad \checkmark\]
Kalan üçlüler de aynı biçimde doğrulanır. Bu gruba Klein tipi grup denir; komutatiftir.
İkinci hâl: \(a^{-1} = a\), \(b^{-1} = c\), \(c^{-1} = b\). Yani \(a^2 = 1_G\) ve \(bc = cb = 1_G\). \(a \cdot b\): yine \(\neq 1_G, a, b\) olduğundan \(a b = c\); benzerlikle \(b a = c\) ve \(a c = c a = b\). \(b \cdot b\) hücresi: \(b^{-1} = c \neq b\) olduğundan \(b^2 \neq 1_G\); \(b \neq 1_G\) olduğundan \(b^2 \neq b\); \(b^2 = c\) olsaydı \(b^2 = ab\)’den sadeleştirmeyle \(b = a\) çıkardı — o da olamaz. Geriye
\[b^2 = a, \qquad \text{benzer biçimde} \qquad c^2 = a\]
kalır:
\[\begin{array}{c|cccc} \cdot & 1_G & a & b & c \\ \hline 1_G & 1_G & a & b & c \\ a & a & 1_G & c & b \\ b & b & c & a & 1_G \\ c & c & b & 1_G & a \end{array}\]
Asosyatiflik birinci hâldeki gibi denetlenir. Bu grupta \(b^2 = a\), \(b^3 = ba = c\), \(b^4 = 1_G\) olduğundan bütün grup \(b\)’nin kuvvetlerinden oluşur; ileride bu tip gruplara devresel grup diyeceğiz.
Sonuç: 4. mertebeden tam iki tip grup vardır — Klein tipi ve devresel tip. Her ikisi de komutatiftir; yani mertebesi \(4\)’ü geçmeyen bütün gruplar komutatiftir.
Küçük mertebelerde grupları elle inşa edebildik; ama mertebe büyüdükçe tablo kurmak umutsuzlaşır. Bir sonraki bölümde grup elemanlarıyla cebirsel hesap yapmanın araçlarını geliştiriyoruz: kuvvetler, katlar ve bunların aritmetiği — kuvvetler ve katlar.