17 Komplekslerle Hesap
Grup teorisinin bundan sonraki büyük adımları — kalan sınıfları, Lagrange teoremi, bölüm grupları — elemanlarla değil elemanlardan oluşan kümelerle hesap yapmayı gerektirir. Bu bölümde o hesabın gramerini kuruyoruz: iki alt kümenin çarpımı, bir alt kümenin tersi ve bu işlemlerin cebiri. Bölümün yıldız sonucu, iki alt grubun çarpımının ne zaman yine alt grup olduğunu söyleyen \(HK = KH\) ölçütüdür.
17.1 Kompleks Kavramı
Tanım 17.1 (Kompleks) Bir \(G\) grubunun boş olmayan bir alt kümesine \(G\)’nin bir kompleksi denir.
Tanım 17.2 (Komplekslerin Çarpımı) \(A\) ve \(B\), \(\langle G, \cdot \rangle\) grubunun iki kompleksi olsun. \(A\) ile \(B\)’nin (bu sıradaki) çarpımı
\[A \cdot B = \{a \cdot b \in G : a \in A,\ b \in B\} \subseteq G\]
kompleksdir. \(A = \{a\}\) tek elemanlıysa \(\{a\} B\) yerine kısaca \(aB\); \(B = \{b\}\) tek elemanlıysa \(Ab\) yazılır:
\[aB = \{a \cdot b : b \in B\}, \qquad Ab = \{a \cdot b : a \in A\}\]
Kompleks çarpımının temel dil bilgisi:
- Asosyatiflik: \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\) — çünkü elemanlar düzeyinde \((ab)c = a(bc)\)’dir.
- Komutatif grupta: \(A \cdot B = B \cdot A\) — her \(ab\) çarpımı \(ba\) olarak da yazılır.
- Komutatif olmayan grupta genel olarak \(A \cdot B \neq B \cdot A\)’dır; ama eşitlik bazı çiftlerde yine de sağlanabilir. Örneğin \(S_3\)’te \(A = \{I, (1\,2\,3), (1\,3\,2)\}\) ve \(B = \{(1\,2), (1\,3)\}\) alınırsa çarpımlar tek tek hesaplandığında
\[A \cdot B = \{(1\,2), (1\,3), (2\,3)\} = B \cdot A\]
bulunur — iki çarpım da \(S_3\)’ün bütün transpozisyonlarının kümesidir. Önemli nokta: \(AB = BA\) eşitliği, eleman eleman değişme demek değildir; iki kümenin küme olarak çakışması demektir.
Tanım 17.3 (Kompleksin Tersi) \(A\) kompleksinin bütün elemanlarının terslerinden oluşan komplekse \(A\)’nın tersi denir:
\[A^{-1} = \{a^{-1} \in G : a \in A\}\]
\(A\) en az iki elemanlıysa \(A \cdot A^{-1} \neq \{1_G\}\)’dir: çarpım kümesinde \(a a^{-1} = 1_G\)’lerin yanı sıra \(a \neq b\) için \(a b^{-1} \neq 1_G\) çarpımları da bulunur. Kompleks tersi, eleman tersinin bire bir kopyası değildir.
Teorem 17.1 (Kompleks Tersinin Kuralları) \(A, B\), bir \(G\) grubunun kompleksleri olsun.
- \((A^{-1})^{-1} = A\)
- \((A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\)
İspat
İki kural da eleman düzeyindeki \((a^{-1})^{-1} = a\) ve \((ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}\) kurallarının kümelere yansımasıdır. Örneğin 2) için: \((AB)^{-1}\)’in tipik elemanı \((ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}\)’dir ve \(b^{-1} \in B^{-1}\), \(a^{-1} \in A^{-1}\) olduğundan bu eleman \(B^{-1} A^{-1}\)’dedir; tersine \(B^{-1} A^{-1}\)’in tipik elemanı \(b^{-1} a^{-1} = (ab)^{-1} \in (AB)^{-1}\)’dir.
\(\blacksquare\)
17.2 Alt Grup Ölçütlerinin Kompleks Dili
Alt grup ölçütlerimiz kompleks diliyle tek satırlık koşullara dönüşür. \(H\), \(G\)’nin bir kompleksi olsun:
- \(H\) alt gruptur \(\iff\) \(H \cdot H \subseteq H\) ve \(H^{-1} \subseteq H\).
- \(G\) sonlu ise: \(H\) alt gruptur \(\iff\) \(H \cdot H \subseteq H\).
- \(H\) alt gruptur \(\iff\) \(H \cdot H^{-1} \subseteq H\).
Bunlar sırasıyla iki koşullu, sonlu ve tek koşullu ölçütlerin yeniden yazılışıdır. Alt gruplar için kapsamalar aslında eşitliğe döner:
Örnek 17.1 (Alt Gruplarda \(H^{-1} = H\) ve \(H \cdot H = H\)) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup olsun. \(G^{-1} = G\) ve \(G \cdot G = G\) olduğunu gösteriniz. (Aynı akıl yürütme her \(H\) alt grubu için \(H^{-1} = H\) ve \(H \cdot H = H\) verir.)
Çözüm
\(G^{-1} = G\): Her \(g^{-1}\) yine \(G\)’de olduğundan \(G^{-1} \subseteq G\)’dir. Tersine her \(g \in G\) için \(g = (g^{-1})^{-1}\) yazılabilir ve \(g^{-1} \in G\) olduğundan \(g \in G^{-1}\)’dir: \(G \subseteq G^{-1}\).
\(G \cdot G = G\): Kapalılıktan \(G \cdot G \subseteq G\)’dir. Tersine her \(g \in G\) için \(g = g \cdot 1_G \in G \cdot G\)’dir: \(G \subseteq G \cdot G\).
\(\blacksquare\)
17.3 İki Alt Grubun Çarpımı
Teorem 17.2 (\(HK\) Ne Zaman Alt Gruptur?) \(H\) ve \(K\), bir \(G\) grubunun iki alt grubu olsun. \(H \cdot K\) kompleksinin \(G\)’nin bir alt grubu olması için gerek ve yeter koşul
\[H \cdot K = K \cdot H\]
olmasıdır.
İspat
Gereklik. \(HK\) alt grup olsun. Alt gruplar kendi terslerine eşit olduğundan ve kompleks tersi kuralıyla
\[H K = (H K)^{-1} = K^{-1} H^{-1} = K H\]
Son adımda \(H\) ile \(K\)’nin alt grup olarak \(H^{-1} = H\), \(K^{-1} = K\) eşitlikleri kullanıldı.
Yeterlik. \(HK = KH\) olsun; iki koşullu kompleks ölçütünü denetleyelim.
Çarpıma kapalılık:
\[(HK)(HK) = H(KH)K = H(HK)K = (HH)(KK) = HK\]
Ortadaki adımda hipotez, sonrakinde asosyatiflik ve \(HH = H\), \(KK = K\) eşitlikleri kullanıldı; sonuç \(\subseteq\) yerine doğrudan eşitlik verdi.
Terslere kapalılık:
\[(HK)^{-1} = K^{-1} H^{-1} = K H = H K\]
İki koşul sağlandığından \(HK \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir.
\(\blacksquare\)
Komutatif gruplarda \(HK = KH\) bedava sağlandığından iki alt grubun çarpımı daima alt gruptur. Komutatif olmayan gruplarda ise koşul gerçekten kısıtlayıcıdır; örneğin \(S_3\)’te \(H = \{I, (1\,2)\}\) ve \(K = \{I, (1\,3)\}\) için
\[HK = \{I, (1\,3), (1\,2), (1\,3\,2)\}\]
dört elemanlıdır; ama \(4 \nmid 6\) olduğundan (bir sonraki bölümlerde kanıtlayacağımız Lagrange teoremi gereği) \(S_3\)’ün dört elemanlı alt grubu olamaz — nitekim \(KH = \{I, (1\,2), (1\,3), (1\,2\,3)\} \neq HK\)’dır.
17.4 Toplamsal Yazış
\(\langle G, + \rangle\) komutatif grubunda kompleks işlemleri toplamsal yazılır:
\[A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}, \qquad -A = \{-a : a \in A\}\]
ve kurallar aynen taşınır: \((A + B) + C = A + (B + C)\); \(A + B = B + A\); \(-(-A) = A\); \(-(A + B) = (-A) + (-B)\). Alt grup ölçütü: \(H\) alt gruptur \(\iff H + (-H) \subseteq H\).
Son bir gözlem, ileride sık kullanılacak: \(A = B\) ise her \(g \in G\) için \(gA = gB\) ve \(Ag = Bg\)’dir; \(A \subseteq B\) ise \(gA \subseteq gB\) ve \(Ag \subseteq Bg\)’dir. (Elemanlara \(g\) ile çarpma uygulamak kümeleri aynı biçimde dönüştürür.)
Kompleks hesabı kurulduğuna göre onu asıl amacına koşabiliriz: bir alt grubun \(aH\) biçimindeki ötelemeleri, grubu birbirine denk parçalara diler. Bu dilimleme — kalan sınıfları — sonlu grup teorisinin en güçlü teoremine götüren yoldur: kalan sınıfları.