9 Transformasyonlar ve Simetrik Grup
Soyut grup kavramı tarihte önce permütasyonlarla ortaya çıktı: bir kümenin elemanlarını kendi aralarında yeniden dizen eşlemeler, bileşke işlemiyle doğal bir grup oluşturur. Bu bölümde önce keyfî bir kümenin transformasyonlar grubunu kuruyor, sonra sonlu kümelere inerek \(n\). dereceden simetrik grup \(S_n\)’yi tanımlıyoruz. \(S_n\), bu dersin en çok iş görecek örnek grubudur: komutatif olmayan ilk gruplarımız da buradan çıkacak.
9.1 Transformasyonlar Grubu
Tanım 9.1 (Transformasyon) \(M \neq \varnothing\) bir küme olsun. \(M\)’yi kendi üzerine birebir resmeden bir fonksiyona \(M\)’nin bir transformasyonu denir.
Teorem 9.1 (Transformasyonlar Grubu) \(M \neq \varnothing\) kümesinin bütün transformasyonlarından oluşan \(\widetilde{M}\) kümesi, fonksiyonların bileşke işlemine göre bir gruptur.
İspat
\(I_M : M \to M\), \(m \mapsto m\) identik fonksiyonu \(M\)’yi kendi üzerine birebir resmettiğinden \(I_M \in \widetilde{M}\): küme boş değildir.
Kapalılık. \(f, g \in \widetilde{M}\) ise \(fg\) (önce \(g\), sonra \(f\)) yine birebir ve üzerinedir: birebirlik, \(f(g(x)) = f(g(y))\) eşitliğinden önce \(f\)’nin sonra \(g\)’nin birebirliğiyle \(x = y\) çıkmasından; üzerinelik, her \(z \in M\) için önce \(f(u) = z\) olan \(u\)’nun, sonra \(g(x) = u\) olan \(x\)’in bulunmasından görülür.
Asosyatiflik. Her \(m \in M\) için
\[\big((fg)h\big)(m) = (fg)\big(h(m)\big) = f\Big(g\big(h(m)\big)\Big) = f\big((gh)(m)\big) = \big(f(gh)\big)(m)\]
İki fonksiyon her noktada çakıştığından eşittir.
Birim eleman. Her \(m\) için \((I_M f)(m) = I_M(f(m)) = f(m)\) ve \((f I_M)(m) = f(m)\); birim eleman \(I_M\)’dir.
Ters eleman. \(f \in \widetilde{M}\) birebir ve üzerine olduğundan ters fonksiyonu \(f^{-1}\) vardır ve \(f^{-1}\) de \(M\)’yi kendi üzerine birebir resmeder: \(f^{-1} \in \widetilde{M}\). Her \(m\) için
\[(f^{-1} f)(m) = f^{-1}\big(f(m)\big) = m = I_M(m)\]
ve benzer biçimde \(f f^{-1} = I_M\)’dir.
O hâlde \(\langle \widetilde{M}, \cdot \rangle\) bir gruptur.
\(\blacksquare\)
Tanım 9.2 (Transformasyonlar Grubu) Yukarıdaki \(\widetilde{M}\) grubuna \(M\) kümesinin transformasyonlar grubu denir.
9.2 Substitüsyonlar ve \(S_n\)
Tanım 9.3 (Substitüsyon (Permütasyon)) \(M\) sonlu bir küme ise transformasyon sözcüğü yerine substitüsyon veya permütasyon sözcüğü kullanılır. \(n\) elemanlı bir kümenin bir transformasyonuna \(n\). dereceden bir substitüsyon denir.
Elemanları \(1, 2, \dots, n\) ile numaralayalım. \(j\)’yi \(i_j\)’ye götüren \(S\) substitüsyonu iki satırlı biçimde yazılır:
\[S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}\]
Üst satırda argümanlar, alt satırda resimleri durur: \(S(j) = i_j\).
Tanım 9.4 (Simetrik Grup) Bütün \(n\). dereceden substitüsyonların (transformasyonlar grubu teoremine göre) bileşkeye göre oluşturdukları gruba \(n\). dereceden simetrik grup denir ve \(S_n\) ile gösterilir.
\(S_n\) ile hesap yaparken şu kurallar geçerlidir:
- Birim: \(I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}\)
- Çarpım: \(ST\) bileşkesi “önce \(T\), sonra \(S\)” demektir: \((ST)(m) = S\big(T(m)\big)\).
- Ters: \(S\)’nin satırları yer değiştirilir (ve istenirse sütunlar üst satıra göre yeniden sıralanır):
\[S^{-1} = \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}\]
- Mertebe: \(|S_n| = n!\)’dir; çünkü alt satır, \(1, \dots, n\)’nin \(n!\) permütasyonundan herhangi biri olabilir.
- Bir substitüsyon \(n!\) ayrı biçimde yazılabilir: sütunların sırası önemsizdir, örneğin \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\).
Örnek 9.1 (İlk Üç Simetrik Grup) \(|S_1| = 1! = 1\): \(S_1 = \{I\}\).
\(|S_2| = 2! = 2\): \(S_2 = \left\{ I,\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right\}\).
\(|S_3| = 3! = 6\):
\[S_3 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \right.\]
\[\left. \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \right\}\]
9.3 \(S_n\) Komutatif Değildir
\(n > 2\) için \(S_n\) komutatif değildir. Bunu \(S_3\)’te bir çiftle görelim:
\[S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\]
\(ST\) için önce \(T\), sonra \(S\) uygulanır: \(1 \mapsto 2 \mapsto 3\), \(2 \mapsto 3 \mapsto 2\), \(3 \mapsto 1 \mapsto 1\); \(TS\) için önce \(S\): \(1 \mapsto 1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 3 \mapsto 1\), \(3 \mapsto 2 \mapsto 3\). Yani
\[ST = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = TS\]
\(n \geq 3\) için aynı çift (\(1, 2, 3\) üzerinde çalışan, gerisini sabit bırakan iki substitüsyon) her \(S_n\)’de komutatifliği bozar.
Örnek 9.2 (\(S_7\)’de Hesap Pratiği) \(S_7\)’de
\[S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 3 & 1 & 6 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 2 & 1 & 7 & 5 & 4 & 6 \end{pmatrix}\]
veriliyor. \(ST\), \(TS\), \(S^2\), \(T^2\), \(S^{-1}\), \(T^{-1}\) substitüsyonlarını bulunuz.
Çözüm
\(ST\): Her \(m\) için önce \(T\), sonra \(S\): \(1 \mapsto 3 \mapsto 1\), \(2 \mapsto 2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1 \mapsto 7\), \(4 \mapsto 7 \mapsto 5\), \(5 \mapsto 5 \mapsto 2\), \(6 \mapsto 4 \mapsto 6\), \(7 \mapsto 6 \mapsto 4\):
\[ST = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 3 & 7 & 5 & 2 & 6 & 4 \end{pmatrix}\]
\(TS\): Önce \(S\), sonra \(T\): \(1 \mapsto 7 \mapsto 6\), \(2 \mapsto 3 \mapsto 1\), \(3 \mapsto 1 \mapsto 3\), \(4 \mapsto 6 \mapsto 4\), \(5 \mapsto 2 \mapsto 2\), \(6 \mapsto 4 \mapsto 7\), \(7 \mapsto 5 \mapsto 5\):
\[TS = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 1 & 3 & 4 & 2 & 7 & 5 \end{pmatrix}\]
(\(ST \neq TS\) olduğuna dikkat edin.)
\(S^2\): \(S\)’yi iki kez uygula: \(1 \mapsto 7 \mapsto 5\), \(2 \mapsto 3 \mapsto 1\), \(3 \mapsto 1 \mapsto 7\), \(4 \mapsto 6 \mapsto 4\), \(5 \mapsto 2 \mapsto 3\), \(6 \mapsto 4 \mapsto 6\), \(7 \mapsto 5 \mapsto 2\):
\[S^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 1 & 7 & 4 & 3 & 6 & 2 \end{pmatrix}\]
\(T^2\): \(1 \mapsto 3 \mapsto 1\), \(2 \mapsto 2\), \(3 \mapsto 1 \mapsto 3\), \(4 \mapsto 7 \mapsto 6\), \(5 \mapsto 5\), \(6 \mapsto 4 \mapsto 7\), \(7 \mapsto 6 \mapsto 4\):
\[T^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 6 & 5 & 7 & 4 \end{pmatrix}\]
\(S^{-1}\): Satırları yer değiştirip sütunları sırala: \(S\)’de \(7 \mapsto 5\) olduğundan \(S^{-1}\)’de \(5 \mapsto 7\) olur, vb.:
\[S^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 3 & 1 & 6 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 5 & 2 & 6 & 7 & 4 & 1 \end{pmatrix}\]
\(T^{-1}\):
\[T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 2 & 1 & 6 & 5 & 7 & 4 \end{pmatrix}\]
\(\blacksquare\)
İki satırlı gösterim hesap için işlevsel ama hantal: yedi sütunun dördü yerinde saymış olabilir. Bir sonraki bölümde substitüsyonların gerçek anatomisini açığa çıkaran çok daha ekonomik bir dil kuracağız: devreler.