19 Lagrange Teoremi
Sonlu grup teorisinin ilk büyük teoremine geldik. Kalan sınıfları \(G\)’yi eşit boyutlu ayrık parçalara böldüğüne göre, \(G\)’nin mertebesi parça boyutunun tam katı olmalıdır: alt grubun mertebesi, grubun mertebesini böler. Bu tek cümle, sonlu grupların iskeletini belirler — hangi mertebeden alt grup ya da eleman olamayacağını hesap yapmadan söyler. Bölümün sonunda teoremin dört klasik sonucunu çıkarıyoruz; asal mertebeli grupların tam sınıflandırması bunlardan biridir.
19.1 Teorem ve İspatı
Teorem 19.1 (Lagrange Teoremi) Sonlu bir \(G\) grubunun her \(H\) alt grubunun mertebesi, \(G\)’nin mertebesini böler:
\[|H| \,\Big|\, |G|\]
İspat
\(|G| = N\) ve \(|H| = n\) olsun. \(G\) sonlu olduğundan \(H\)’ye göre birbirinden farklı sol kalan sınıflarının sayısı da sonludur; bu sayıya \(j\) diyelim ve her sınıftan birer temsilci \(a_1, a_2, \dots, a_j\) seçelim. Her eleman bir sınıfta bulunduğundan ve farklı sınıflar ayrık olduğundan
\[G = a_1 H \cup a_2 H \cup \cdots \cup a_j H, \qquad a_{i_1} H \cap a_{i_2} H = \varnothing \ (i_1 \neq i_2)\]
Ayrık birleşimin eleman sayısı, parçaların eleman sayılarının toplamıdır; her sınıf \(|H| = n\) elemanlı olduğundan
\[N = \underbrace{n + n + \cdots + n}_{j \text{ tane}} = j \cdot n\]
O hâlde \(n \mid N\)’dir.
\(\blacksquare\)
19.2 İndeks
İspattaki \(j\) sayısı kendi başına önemlidir:
Teorem 19.2 (Sol ve Sağ Sınıf Sayıları Eşittir) Sonlu \(G\) grubunun \(H\)’ye göre birbirinden farklı sol kalan sınıflarının sayısı, birbirinden farklı sağ kalan sınıflarının sayısına eşittir.
İspat
Lagrange ispatındaki sayma soldan \(N = j n\) verdi; aynı sayma sağ sınıflarla yapılırsa \(N = j' n\) bulunur. İkisinden \(j = j' = N/n\) çıkar.
\(\blacksquare\)
Tanım 19.1 (İndeks) \(G\)’nin \(H\)’ye göre birbirinden farklı sol (eşdeğer olarak sağ) kalan sınıflarının sayısına \(H\)’nin \(G\) içindeki indeksi denir ve \([G : H]\) ile gösterilir. Sonlu grupta
\[|G| = [G : H] \cdot |H|, \qquad [G : H] = \frac{|G|}{|H|}\]
Ayrıca bölmelemedeki temsilcilerden biri her zaman \(1_G\) seçilebilir: \(G = H \cup a_2 H \cup \cdots \cup a_j H\).
Örnek 19.1 (\(S_3\)’te İndeks) Önceki bölümde \(S_3\)’ü \(H = \{I, (1\,2)\}\)’ye göre bölmelemiştik: üç sol sınıf, üç sağ sınıf. Gerçekten
\[[S_3 : H] = \frac{|S_3|}{|H|} = \frac{6}{2} = 3\]
19.3 Lagrange Teoreminin Sonuçları
Sonuç 19.1 (Eleman Mertebesi Grup Mertebesini Böler) Sonlu bir \(G\) grubunun her \(a\) elemanının mertebesi, \(G\)’nin mertebesini böler.
İspat
\(|a| = n\) olsun. Eleman mertebesi tanımı gereği \(|\langle a \rangle| = n\)’dir ve \(\langle a \rangle \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir; Lagrange teoreminden \(n \mid |G|\).
\(\blacksquare\)
Sonuç 19.2 (\(a^{|G|} = 1_G\)) \(G\) sonlu bir grup ve \(|G| = N\) ise her \(a \in G\) için \(a^N = 1_G\)’dir.
İspat
\(|a| = n\) diyelim; önceki sonuçtan \(n \mid N\), yani \(N = n t\) olacak bir \(t \in \mathbb{N}\) vardır. \(a^n = 1_G\) olduğundan
\[a^N = a^{nt} = (a^n)^t = 1_G^t = 1_G\]
\(\blacksquare\)
\(G = \mathbb{Z}_p^{*}\) (\(p\) asal) alınırsa \(|G| = p - 1\) ve son sonuç, sayılar teorisinden tanıdık Fermat’nın küçük teoremi olur: \(p \nmid a\) için \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\). Grup teorisi, bu teoremi tek satırlık bir özel duruma indirger.
Sonuç 19.3 (Asal Mertebeli Gruplar Devreseldir) Mertebesi asal olan her grup devreseldir.
İspat
\(|G| = p\) asal ve \(a \in G - \{1_G\}\) olsun. \(|a|\), \(p\)’yi böler: \(|a| = 1\) veya \(|a| = p\). \(a \neq 1_G\) olduğundan \(|a| \neq 1\)’dir; o hâlde \(|a| = p\) ve
\[\langle a \rangle \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G, \qquad |\langle a \rangle| = p = |G| \implies G = \langle a \rangle = \{1_G, a, a^2, \dots, a^{p-1}\}\]
\(G\) devreseldir; üstelik birimden farklı her elemanı bir doğuraydır.
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, küçük mertebeli grupların sınıflandırmasındaki gözlemlerimizi açıklar ve genişletir: mertebesi \(2, 3, 5, 7, \dots\) olan gruplar zorunlu olarak devreseldir — mertebe \(4\)’te iki tip çıkmasının nedeni, \(4\)’ün asal olmamasıdır.
19.4 Bir Uygulama: Tersinin Doğru Olmadığı
Örnek 19.2 (Alt Grupları Devresel Olan Grup Devresel Olmayabilir) “Devresel grubun her alt grubu devreseldir” teoreminin tersi doğru mudur? Yani kendisinden farklı bütün alt grupları devresel olan bir grup devresel olmak zorunda mıdır?
Çözüm
Hayır. \(S_3\) bir karşı örnektir. \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} S_3\) ve \(H \neq S_3\) olsun. Lagrange teoreminden \(|H| \in \{1, 2, 3\}\)’tür:
- \(|H| = 1\) ise \(H = \{I\} = \langle I \rangle\) devreseldir.
- \(|H| = 2\) veya \(3\) ise mertebe asaldır; asal mertebeli her grup devreseldir.
Demek ki \(S_3\)’ün kendisinden farklı her alt grubu devreseldir. Ama \(S_3\) devresel değildir: devresel gruplar komutatiftir, oysa
\[(1\,2)(1\,3) = (1\,3\,2) \neq (1\,2\,3) = (1\,3)(1\,2)\]
\(\blacksquare\)
Lagrange teoremi “alt grup mertebesi böler” der; ama tersini söylemez: \(|G|\)’nin her böleni için o mertebeden bir alt grup bulunacağının garantisi yoktur. (Devresel gruplarda bu garanti vardı; genel gruplarda örneğin \(A_4\)’ün mertebesi \(12\) olduğu hâlde \(6\). mertebeden alt grubu yoktur.)
Kalan sınıflarının hikâyesi burada bitmiyor. \(S_3\) örneğinde sol ve sağ bölmelemelerin farklı çıktığını gördük; bazı alt gruplar içinse ikisi çakışır. Bu özel alt gruplar — normal alt gruplar — kalan sınıflarının kendilerinin bir grup oluşturmasına izin verir ve bizi bölüm gruplarına götürür: normal alt gruplar.