7 Alt Grup Kavramı ve Ölçütleri
Bir grubun içinde, aynı işlemle kendi başına grup oluşturan alt kümeler yaşar: \(\langle \mathbb{Z}, + \rangle\) içindeki çift sayılar, \(\langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle\) içindeki pozitif sayılar gibi. Bu bölümde alt grup kavramını tanımlayıp bir alt kümenin alt grup olduğunu denetlemenin üç pratik ölçütünü kanıtlıyoruz. Ölçütlerin değeri şudur: dört grup aksiyomunu yeniden denetlemek yerine yalnızca bir-iki koşula bakmak yeter — asosyatiflik gibi özellikler büyük gruptan bedavaya miras kalır.
7.1 Alt Grup Tanımı
Tanım 7.1 (Alt Grup) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(\varnothing \neq H \subseteq G\) olsun. \(H\), \(G\)’deki \(\cdot\) işlemine göre kendi başına bir grup oluşturuyorsa \(H\)’ye \(G\)’nin bir alt grubu denir ve bu durum
\[H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\]
ile gösterilir.
7.2 Üç Alt Grup Ölçütü
Teorem 7.1 (Alt Grup Ölçütü) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(\varnothing \neq H \subseteq G\) olsun. \(H\)’nin \(G\)’nin bir alt grubu olması için gerek ve yeter koşullar şunlardır:
- \(\forall a, b \in H\) için \(a \cdot b \in H\) (kapalılık)
- \(\forall a \in H\) için \(a^{-1} \in H\) (terslere kapalılık)
İspat
Gereklik. \(H\) alt grupsa kendisi bir gruptur; grup tanımının I ve IV aksiyomları tam olarak 1) ve 2) koşullarıdır.
Yeterlik. 1) ve 2) sağlansın; \(H\)’nin grup aksiyomlarını taşıdığını görelim.
Kapalılık: 1)’in kendisi.
Asosyatiflik: \((ab)c = a(bc)\) eşitliği \(G\)’nin bütün elemanları için geçerlidir; \(H \subseteq G\) olduğundan \(H\)’nin elemanları için de geçerlidir.
Birim eleman: \(H \neq \varnothing\) olduğundan bir \(a \in H\) seçebiliriz. 2)’den \(a^{-1} \in H\); 1)’den
\[a \cdot a^{-1} = 1_G \in H\]
\(1_G\), \(H\)’nin de birim elemanıdır: her \(h \in H\) için \(1_G h = h 1_G = h\) zaten \(G\)’de sağlanır.
Ters eleman: 2)’nin kendisi.
Dört aksiyom sağlandığından \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir.
\(\blacksquare\)
İspatın birim eleman adımından değerli bir yan sonuç çıktı: alt grubun birimi, büyük grubun birimiyle aynıdır (\(1_H = 1_G\)). Benzer biçimde bir elemanın \(H\)’deki tersi, \(G\)’deki tersiyle çakışır.
Sonlu gruplarda ikinci koşul bile fazladır:
Teorem 7.2 (Sonlu Gruplarda Alt Grup Ölçütü) \(\langle G, \cdot \rangle\) sonlu bir grup ve \(\varnothing \neq H \subseteq G\) olsun. \(H\)’nin alt grup olması için gerek ve yeter koşul, \(H\)’nin \(\cdot\) işlemine göre kapalı olmasıdır.
İspat
Gereklik. Alt grup, tanımı gereği kapalıdır.
Yeterlik. \(H\) kapalı olsun. \(G\) sonlu olduğundan \(H\) de sonlu bir kümedir. Sonlu kümelerde grup ölçütünü uygulayalım: kapalılık hipotezdir; asosyatiflik \(G\)’den miras kalır; sadeleştirme kuralları da \(G\)’den miras kalır — \(ax = ax'\) eşitliği \(G\)’de bir grup eşitliği olduğundan \(x = x'\) verir. Sonlu küme \(+\) kapalılık \(+\) asosyatiflik \(+\) sadeleştirme, sonlu kümelerde grup ölçütüne göre \(H\)’nin grup olması demektir; o hâlde \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir.
\(\blacksquare\)
\(\langle \mathbb{Z}, + \rangle\) grubunda \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) alt kümesi toplamaya göre kapalıdır; ama alt grup değildir — ne \(0\) içerir ne de herhangi bir elemanın tersini. Sonlu ölçütündeki sonluluk koşulu gerçekten vazgeçilmezdir.
Üçüncü ölçüt, iki koşulu tek koşulda birleştirir; soyut ispatlarda en sık bu kullanılır:
Teorem 7.3 (Tek Koşullu Alt Grup Ölçütü) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(\varnothing \neq H \subseteq G\) olsun. \(H\)’nin alt grup olması için gerek ve yeter koşul:
\[\forall a, b \in H \quad a \cdot b^{-1} \in H\]
İspat
Gereklik. \(H\) alt grupsa \(b \in H\) için \(b^{-1} \in H\) ve kapalılıktan \(a b^{-1} \in H\) olur.
Yeterlik. Hipotezden alt grup ölçütünün iki koşulunu türetelim.
Terslere kapalılık: Önce \(a \in H\) için hipotezi \(b = a\) ile kullanalım: \(a \cdot a^{-1} = 1_G \in H\). Şimdi \(1_G, a \in H\) için hipotez
\[1_G \cdot a^{-1} = a^{-1} \in H\]
verir.
Kapalılık: \(a, b \in H\) olsun. Az önce gösterildiği gibi \(b^{-1} \in H\)’dir; hipotezi \(a\) ve \(b^{-1}\) çiftine uygularsak
\[a \cdot (b^{-1})^{-1} = a \cdot b \in H\]
İki koşul sağlandığından \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir.
\(\blacksquare\)
Toplamsal yazıştaki karşılık: \(\langle G, + \rangle\) grubunda \(\varnothing \neq H \subseteq G\) alt kümesinin alt grup olması için gerek ve yeter koşul, her \(a, b \in H\) için
\[a - b = a + (-b) \in H\]
olmasıdır.
7.3 Trivial Alt Gruplar
Teorem 7.4 (Her Grubun Hazır İki Alt Grubu) Her \(\langle G, \cdot \rangle\) grubunda \(\{1_G\}\) ve \(G\)’nin kendisi birer alt gruptur.
İspat
\(\{1_G\}\) için iki koşullu ölçütü uygulayalım: \(1_G \cdot 1_G = 1_G \in \{1_G\}\) ve \(1_G^{-1} = 1_G \in \{1_G\}\); küme boş da değildir. \(G\)’nin kendisi ise zaten grup olduğundan alt gruptur.
\(\blacksquare\)
Tanım 7.2 (Trivial Alt Gruplar) \(G\) grubunun \(G\) ve \(\{1_G\}\) alt gruplarına trivial alt gruplar denir.
İlginç olan, elbette trivial olmayan alt gruplardır. Bir sonraki bölümde ölçütlerimizi iş başında göreceğiz: kalan sınıfı halkalarından kompleks sayı çemberlerine uzanan bir örnek galerisi — alt grup örnekleri.