23  Homomorfi ve İzomorfi

Cebirsel yapılar arasında önemli olan fonksiyonlar, işlemi işleme taşıyanlardır: \(\varphi(a \circ b) = \varphi(a) * \varphi(b)\). Böyle bir fonksiyon iki yapının cebirini birbirine bağlar; birebirse iki yapı cebirsel bakımdan aynıdır — yalnız elemanlarının adları değişmiştir. Bu bölümde homomorfi, izomorfi ve otomorfi kavramlarını tanımlıyor, klasik logaritma örneğini işliyor ve ilk yapısal teoremleri kanıtlıyoruz: grup olma özelliği ve alt grup olma özelliği, üzerine homomorfilerle resme taşınır.

23.1 Tanımlar

Tanım 23.1 (Homomorfi) \(\langle M, \circ \rangle\) ve \(\langle M', * \rangle\) tek işlemli iki cebirsel yapı olsun. \(M\)’den \(M'\) üzerine, işlemi koruyan — yani her \(a, b \in M\) için

\[\varphi(a \circ b) = \varphi(a) * \varphi(b)\]

koşulunu sağlayan — bir \(\varphi : M \to M'\) fonksiyonu varsa \(\varphi\)’ye \(M\)’den \(M'\) üzerine bir homomorfi, \(M'\)’ye \(M\)’nin bir homomorf resmi denir ve “\(M\), \(M'\)’ye homomorftur” denir. (\(\varphi\) üzerine olduğundan \(\varphi(M) = \{\varphi(a) : a \in M\} = M'\)’dür.)

Tanım 23.2 (İzomorfi) Homomorfi tanımındaki \(\varphi\) üstelik birebir ise \(\varphi\)’ye \(M\)’den \(M'\) üzerine bir izomorfi, \(M'\)’ye \(M\)’nin bir izomorf resmi denir; bu durum

\[M \cong M'\]

ile gösterilir ve “\(M\), \(M'\)’ye izomorftur” denir.

Tanım 23.3 (Otomorfi) Bir \(M\) cebirsel yapısının kendi üzerine bir izomorfisine \(M\)’nin bir otomorfisi denir. Örneğin \(I_M : M \to M\), \(m \mapsto m\) identik fonksiyonu her yapının bir otomorfisidir (identik otomorfi).

İzomorf yapılar, cebirin gözünde ayırt edilemez: birinde geçerli her işlem tablosu, eleman adları \(\varphi\) ile çevrilerek öbürüne taşınır.

Örnek 23.1 (Klasik Örnek: Logaritma) \(\varphi : \langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle \to \langle \mathbb{R}, + \rangle\), \(x \mapsto \log x\) fonksiyonunun bir izomorfi olduğunu gösteriniz.

Çözüm

İki yapı da birer komutatif gruptur. Dört koşulu denetleyelim.

İyi tanımlılık: \(x_1 = x_2 \implies \log x_1 = \log x_2\).

Üzerinelik: Her \(y \in \mathbb{R}\) için \(e^y \in \mathbb{R}^{+}\) ve

\[\varphi(e^y) = \log e^y = y\]

Birebirlik: \(\varphi(x) = \varphi(y)\) ise \(\log x = \log y\); üstel fonksiyon uygulanınca

\[e^{\log x} = e^{\log y} \implies x = y\]

İşlemi koruma: Logaritmanın temel özelliğiyle

\[\varphi(x \cdot y) = \log(xy) = \log x + \log y = \varphi(x) + \varphi(y)\]

O hâlde \(\varphi\) bir izomorfidir: \(\langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle \cong \langle \mathbb{R}, + \rangle\). (Logaritma cetvellerinin çalışma ilkesi de budur: çarpma sorusu, izomorfiyle toplama sorusuna çevrilir.)

\(\blacksquare\)

23.2 Homomorf Resim Grup Yapısını Taşır

Teorem 23.1 (Grubun Homomorf Resmi Gruptur) \(G\) ve \(G'\) tek işlemli iki cebirsel yapı ve \(\varphi : G \to G'\) bir üzerine homomorfi olsun. \(G\), içinde tanımlanmış ikili işleme göre bir grup ise \(G'\) de kendi işlemine göre bir gruptur.

İspat

Yazıyı kolaylaştırmak için iki yapının işlemini de \(\cdot\) ile gösterelim. \(1_G \in G\) olduğundan \(\varphi(1_G) \in G'\) ve \(G' \neq \varnothing\)’dür.

Kapalılık. \(G'\) bir cebirsel yapı olduğundan işlemi kapalıdır (hipotez).

Asosyatiflik. \(a', b', c' \in G'\) olsun. \(\varphi\) üzerine olduğundan \(\varphi(a) = a'\), \(\varphi(b) = b'\), \(\varphi(c) = c'\) olacak biçimde \(a, b, c \in G\) vardır. \(G\)’de \((ab)c = a(bc)\) olduğundan iki tarafın resmi alınıp homomorfi koşulu iki kez uygulanınca

\[\big(\varphi(a)\varphi(b)\big)\varphi(c) = \varphi(a)\big(\varphi(b)\varphi(c)\big) \implies (a'b')c' = a'(b'c')\]

Birim eleman. \(a' \in G'\) ve \(\varphi(a) = a'\) olsun. \(1_G a = a 1_G = a\) eşitliklerinin resmi:

\[\varphi(1_G)\, a' = a'\, \varphi(1_G) = a'\]

\(a'\) keyfî olduğundan \(\varphi(1_G)\), \(G'\)’nün birim elemanıdır:

\[1_{G'} = \varphi(1_G)\]

Ters eleman. \(a' = \varphi(a)\) için \(a^{-1}a = a a^{-1} = 1_G\) eşitliklerinin resmi:

\[\varphi(a^{-1})\, a' = a'\, \varphi(a^{-1}) = \varphi(1_G) = 1_{G'}\]

Yani \(\varphi(a^{-1})\), \(a'\)’nün tersidir:

\[\big(\varphi(a)\big)^{-1} = \varphi(a^{-1})\]

Dört aksiyom sağlandığından \(G'\) bir gruptur.

\(\blacksquare\)

İspat, iki taşınabilir formül bıraktı; sürekli kullanacağız:

\[1_{G'} = \varphi(1_G), \qquad \big(\varphi(a)\big)^{-1} = \varphi(a^{-1})\]

Teorem 23.2 (Alt Grubun Resmi Alt Gruptur) \(G\) bir grup, \(G'\) tek işlemli bir cebirsel yapı ve \(\varphi : G \to G'\) üzerine bir homomorfi olsun. \(G\)’nin herhangi bir \(H\) alt grubunun \(\varphi(H) = \{\varphi(h) : h \in H\}\) resmi, \(G'\)’nün bir alt grubudur.

İspat

Önceki teoremden \(G'\) bir gruptur. \(1_G \in H\) olduğundan \(\varphi(1_G) \in \varphi(H)\): küme boş değildir. İki koşullu ölçütü denetleyelim.

Kapalılık. \(a', b' \in \varphi(H)\) olsun: \(\varphi(a) = a'\), \(\varphi(b) = b'\) olacak biçimde \(a, b \in H\) vardır. \(H\) alt grup olduğundan \(ab \in H\) ve

\[a'b' = \varphi(a)\varphi(b) = \varphi(ab) \in \varphi(H)\]

Terslere kapalılık. \(a' = \varphi(a) \in \varphi(H)\) (\(a \in H\)) olsun. \(a^{-1} \in H\) ve

\[(a')^{-1} = \big(\varphi(a)\big)^{-1} = \varphi(a^{-1}) \in \varphi(H)\]

İki koşul sağlandığından \(\varphi(H) \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G'\)’dür.

\(\blacksquare\)

23.3 Trivial Bölüm Gruplarının Kimliği

Bölüm grubu inşasının en uç iki örneği, izomorfi diliyle kimliklerine kavuşur.

Örnek 23.2 (\(G/G \cong {1_G}\)) \(G/G\) bölüm grubu tek elemanlıdır: her \(a\) için \(aG = G\) olduğundan

\[G/G = \{aG : a \in G\} = \{G\}\]

\(\varphi : G/G \to \{1_G\}\), \(G \mapsto 1_G\) fonksiyonu üzerine ve birebirdir; işlemi de korur:

\[\varphi(G \cdot G) = \varphi(G) = 1_G = 1_G \cdot 1_G = \varphi(G)\,\varphi(G)\]

O hâlde \(G/G \cong \{1_G\}\): bütün grubu “bölmek”, birim grubu bırakır.

Örnek 23.3 (\(G/{1_G} \cong G\)) \(\{1_G\}\)’ye göre her kalan sınıfı tek elemanlıdır: \(a\{1_G\} = \{a\}\). O hâlde

\[G/\{1_G\} = \{\{a\} : a \in G\}\]

\(\psi : G/\{1_G\} \to G\), \(\{a\} \mapsto a\) fonksiyonu iyi tanımlı, üzerine ve birebirdir; işlemi korur:

\[\psi\big(\{a\} \cdot \{b\}\big) = \psi\big(\{ab\}\big) = ab = \psi(\{a\})\,\psi(\{b\})\]

O hâlde \(G/\{1_G\} \cong G\): birim grupla “bölmek” hiçbir şeyi değiştirmez.

İki uç örnek arasında asıl ilginç olanlar duruyor: \(G\)’nin özsel normal alt gruplarına göre bölümleri. Bir sonraki bölümün ana teoremi, bu bölümlerin tam olarak \(G\)’nin homomorf resimleri olduğunu söyleyecek — grup teorisinin en temel köprülerinden biri: gruplarda homomorfi teoremi.