15 Devresel Grubun Alt Grupları
Devresel gruplar yalnız kendileri düzenli değildir; alt grup dünyaları da tamamen şeffaftır. Bu bölümün dört sonucu, sonlu devresel grubun alt grup teorisini eksiksiz kapatır: her alt grup devreseldir, her alt grubun mertebesi grup mertebesini böler, her bölene karşılık tam bir alt grup vardır ve doğuraylar \((m, n) = 1\) koşuluyla belirlenir. Bölümün sonunda doğuray sayısını Euler’in \(\varphi\) fonksiyonuyla sayacağız.
15.1 Her Alt Grup Devreseldir
Teorem 15.1 (Devresel Grubun Alt Grupları Devreseldir) Bir devresel grubun her alt grubu da devreseldir.
İspat
\(G = \langle a \rangle\) ve \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\) olsun. İki durum vardır.
\(H = \{1_G\}\) ise \(H = \langle 1_G \rangle\) devreseldir.
\(H \neq \{1_G\}\) olsun. \(H\)’de \(1_G\)’den farklı bir eleman, yani \(m \neq 0\) için bir \(a^m\) vardır. \(H\) grup olduğundan \(a^m\) ile birlikte \((a^m)^{-1} = a^{-m}\)’yi de içerir; \(m\) ile \(-m\)’den biri pozitif olduğundan, \(a^m \in H\) koşulunu sağlayan en az bir doğal sayı \(m\) vardır. Bu doğal sayıların en küçüğüne \(\mu\) diyelim.
İddia: \(H = \langle a^{\mu} \rangle\).
\(H \subseteq \langle a^{\mu} \rangle\): \(a^n \in H\) olsun. Bölme algoritmasıyla \(n = \mu q + r\), \(0 \leq r < \mu\) yazalım:
\[a^r = a^{n - \mu q} = (a^{\mu})^{-q} \cdot a^n \in H\]
çünkü sağdaki iki çarpan da \(H\)’dedir. \(0 < r < \mu\) olsaydı \(\mu\)’nün en küçüklüğü bozulurdu; o hâlde \(r = 0\) ve
\[a^n = (a^{\mu})^{q} \in \langle a^{\mu} \rangle\]
\(\langle a^{\mu} \rangle \subseteq H\): \(a^{\mu} \in H\) ve \(H\) grup olduğundan \(a^{\mu}\)’nün bütün kuvvetleri \(H\)’dedir.
İki kapsama birlikte \(H = \langle a^{\mu} \rangle\) verir: \(H\) devreseldir.
\(\blacksquare\)
Sonuç 15.1 (Sonsuz Devresel Grubun Alt Grupları) Sonsuz devresel bir grubun \(\{1_G\}\)’den farklı her alt grubu da sonsuz devreseldir.
İspat
\(G = \langle a \rangle\) sonsuz devresel, \(H \neq \{1_G\}\) bir alt grup olsun. Teoremden \(H = \langle a^{\mu} \rangle\)’dür (\(\mu \in \mathbb{N}\)). \(m \neq n\) tam sayıları için \(\mu m \neq \mu n\) ve \(G\) sonsuz devresel olduğundan
\[(a^{\mu})^m = a^{\mu m} \neq a^{\mu n} = (a^{\mu})^n\]
\(a^{\mu}\)’nün kuvvetleri birbirinden farklıdır: \(H\) sonsuz devreseldir.
\(\blacksquare\)
15.2 Mertebe Ayrışımı: \(n = \mu\nu\)
Teorem 15.2 (Alt Grubun Mertebesi) \(G = \langle a \rangle\), \(n\). mertebeden devresel bir grup ve \(H\), \(G\)’nin \(a^{\mu}\) tarafından doğurulan alt grubu olsun (\(\mu\), \(a^m \in H\) koşulunu sağlayan doğal sayıların en küçüğü). Bu takdirde
\[n = \mu \nu \quad \text{ve} \quad |H| = \nu\]
olacak biçimde bir \(\nu \in \mathbb{N}\) vardır ve tek türlü belirlidir.
İspat
\(\mu \mid n\): \(n\)’yi \(\mu\)’ye bölelim: \(n = \mu\nu + r\), \(0 \leq r < \mu\). O zaman
\[a^r = a^{n - \mu\nu} = a^n \cdot (a^{\mu})^{-\nu} = 1_G \cdot (a^{\mu})^{-\nu} \in H\]
\(0 < r < \mu\), \(\mu\)’nün en küçüklüğüyle çelişeceğinden \(r = 0\)’dır: \(n = \mu\nu\).
\(|H| = \nu\): Önce \(H\)’nin listesini çıkaralım:
\[H = \langle a^{\mu} \rangle = \{1_G, a^{\mu}, (a^{\mu})^2, \dots, (a^{\mu})^{\nu - 1}\}\]
Gerçekten herhangi bir \((a^{\mu})^k\) için \(k = \nu q + r'\), \(0 \leq r' < \nu\) yazılırsa
\[(a^{\mu})^k = \big((a^{\mu})^{\nu}\big)^q (a^{\mu})^{r'} = (a^{\mu\nu})^q (a^{\mu})^{r'} = (a^n)^q (a^{\mu})^{r'} = (a^{\mu})^{r'}\]
listeye düşer. Listedekiler birbirinden farklıdır: \(0 \leq r_1 < r_2 < \nu\) için \((a^{\mu})^{r_1} = (a^{\mu})^{r_2}\) olsaydı \(a^{\mu(r_2 - r_1)} = 1_G\) olur, kuvvet aritmetiğinden \(n = \mu\nu \mid \mu(r_2 - r_1)\), yani \(\nu \mid (r_2 - r_1)\) çıkardı; oysa \(0 < r_2 - r_1 < \nu\)’dür. O hâlde \(|H| = \nu\)’dür.
\(\blacksquare\)
Sonuç 15.2 (Alt Grup Mertebesi Grup Mertebesini Böler) Sonlu devresel bir grubun her alt grubunun mertebesi, grubun mertebesini böler.
İspat
\(|G| = n\) olsun. \(H = \{1_G\}\) için \(|H| = 1 \mid n\)’dir. \(H \neq \{1_G\}\) ise \(H = \langle a^{\mu} \rangle\) ve mertebe ayrışımı teoreminden \(|H| = \nu\) ile \(n = \mu\nu\); yani \(\nu \mid n\)’dir.
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, ileride her sonlu grup için kanıtlayacağımız Lagrange teoreminin devresel öncüsüdür. Devresel gruplarda tersi de doğrudur:
Teorem 15.3 (Her Bölene Karşılık Tek Alt Grup) \(G = \langle a \rangle\), \(n\). mertebeden devresel bir grup olsun. \(n\)’nin her \(\nu\) doğal bölenine karşılık \(G\)’nin \(\nu\). mertebeden bir ve yalnız bir alt grubu vardır; bu alt grup \(\langle a^{n/\nu} \rangle\)’dür.
İspat
Varlık. \(\nu \mid n\) olsun ve \(\mu = n / \nu\) yazalım. Mertebe ayrışımı teoreminin hesabı, \(\langle a^{\mu} \rangle\) alt grubunun tam \(\nu\) elemanlı olduğunu gösterir.
Teklik. \(H\), \(\nu\). mertebeden herhangi bir alt grup olsun. Alt gruplar devreseldir: \(H = \langle a^{\mu'} \rangle\), \(\mu'\) en küçük üs. Mertebe ayrışımından \(n = \mu' \cdot |H| = \mu' \nu\); yani \(\mu' = n/\nu = \mu\) tek türlü belirlidir ve \(H = \langle a^{n/\nu} \rangle\)’dür.
\(\blacksquare\)
15.3 Doğuraylar ve Euler’in φ Fonksiyonu
Teorem 15.4 (Doğuray Ölçütü) \(G = \langle a \rangle\), \(n\). mertebeden devresel bir grup olsun. \(a^m\) (\(m \in \mathbb{Z}\)) elemanının \(G\)’nin bir doğurayı olması için gerek ve yeter koşul \((m, n) = 1\) olmasıdır.
İspat
Bézout teoremini hatırlayalım: \(m\) ile \(n\)’nin aralarında asal olması, \(km + \ell n = 1\) olacak biçimde \(k, \ell\) tam sayılarının varlığına denktir.
Gereklik. \(G = \langle a^m \rangle\) olsun. \(a \in G\) olduğundan \(a = (a^m)^u = a^{mu}\) olacak bir \(u \in \mathbb{Z}\) vardır; kuvvet aritmetiğinden
\[1 \equiv mu \pmod{n} \implies 1 - mu = vn \implies mu + vn = 1\]
olacak bir \(v \in \mathbb{Z}\) bulunur: \((m, n) = 1\)’dir.
Yeterlik. \((m, n) = 1\) olsun: \(km + \ell n = 1\) yazalım. O zaman
\[a = a^{km + \ell n} = (a^m)^k \cdot (a^n)^{\ell} = (a^m)^k \cdot 1_G = (a^m)^k \in \langle a^m \rangle\]
\(a\)’nın bütün kuvvetleri de \(\langle a^m \rangle\)’de olduğundan \(G = \langle a \rangle \subseteq \langle a^m \rangle \subseteq G\); yani \(G = \langle a^m \rangle\) ve \(a^m\) doğuraydır.
\(\blacksquare\)
Sonuç 15.3 (Doğuray Sayısı) \(n\). mertebeden devresel bir grubun doğuraylarının sayısı \(\varphi(n)\)’dir; burada \(\varphi\), Euler’in φ fonksiyonudur: \(\varphi(n)\), \(n\)’yi aşmayan ve \(n\) ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısıdır. \(n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) asal çarpanlara ayrılışıyla
\[\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)\]
Örnek 15.1 (Mertebesi 12 Olan Devresel Grubun Envanteri) \(G = \langle a \rangle\), \(|G| = 12\) olsun. Bütün alt gruplarını ve doğuraylarını bulunuz.
Çözüm
\(12\)’nin bölenleri \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)’dir; her bölene karşılık tam bir alt grup vardır ve \(\nu\) mertebeli alt grup \(\mu = 12/\nu\) ile \(\langle a^{\mu} \rangle\)’dür:
\[H_1 = \{1_G\}, \qquad H_2 = \langle a^6 \rangle = \{1_G, a^6\}, \qquad H_3 = \langle a^4 \rangle = \{1_G, a^4, a^8\}\]
\[H_4 = \langle a^3 \rangle = \{1_G, a^3, a^6, a^9\}\]
\[H_6 = \langle a^2 \rangle = \{1_G, a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10}\}, \qquad H_{12} = G\]
Doğuraylar, \(12\) ile aralarında asal üslü kuvvetlerdir:
\[a, \quad a^5, \quad a^7, \quad a^{11}; \qquad \varphi(12) = 12\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 4\]
\(\blacksquare\)
Alt grup envanteri elimizde; ama altı alt grubun birbiriyle ilişkisi — hangisi hangisinin içinde? — listeden okunmuyor. Bu ilişkiyi tek bakışta gösteren bir çizim tekniği var: Hasse diyagramları.