4 Grup Aksiyomlarının Esnetilmesi
Grup tanımındaki III ve IV aksiyomları iki yanlıdır: birim eleman her iki yandan etkisiz, ters eleman her iki yandan ters olmalıdır. Bu bölümün ilk sonucu şaşırtıcıdır: yalnızca sol birim ve sol ters istemek yeterlidir — sağ taraflar kendiliğinden gelir. Ardından aksiyomları bambaşka iki biçimde daha karakterize edeceğiz: denklemlerin çözülebilirliği ve (sonlu kümelerde) sadeleştirme kuralları. Bu ölçütler, bir yapının grup olduğunu göstermenin pratikte en kısa yollarını verir.
4.1 Sol Birim ve Sol Ters Yeterlidir
Teorem 4.1 (Zayıflatılmış Grup Aksiyomları) \(G \neq \varnothing\) kümesinde tanımlı bir \(\circ\) işlemi şu koşulları sağlasın:
\[\textbf{I.} \ \forall a, b \in G \quad a \circ b \in G\]
\[\textbf{II.} \ \forall a, b, c \in G \quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\]
\[\textbf{III}^{*}\textbf{.} \ \exists\, e \in G \ \text{ öyle ki } \ \forall a \in G \quad e \circ a = a \qquad \text{(sol birim)}\]
\[\textbf{IV}^{*}\textbf{.} \ \forall a \in G \ \ \exists\, a^{*} \in G \ \text{ öyle ki } \ a^{*} \circ a = e \qquad \text{(sol ters)}\]
Bu takdirde \(\langle G, \circ \rangle\) bir gruptur.
İspat
1) Sol ters aynı zamanda sağ terstir. \(a \in G\) olsun ve IV\(^{*}\)’daki \(a^{*}\)’yı alalım: \(a^{*} \circ a = e\). Önce
\[(a^{*} \circ a) \circ a^{*} = e \circ a^{*} = a^{*}\]
yazalım (III\(^{*}\) kullanıldı); asosyatiflikle bu,
\[a^{*} \circ (a \circ a^{*}) = a^{*}\]
demektir. IV\(^{*}\)’ı bu kez \(a^{*}\) için kullanalım: \(a^{**} \circ a^{*} = e\) olacak biçimde \(a^{**} \in G\) vardır. Son eşitliği soldan \(a^{**}\) ile işleme sokup asosyatifliği uygulayalım:
\[a^{**} \circ \big[a^{*} \circ (a \circ a^{*})\big] = a^{**} \circ a^{*} \implies (a^{**} \circ a^{*}) \circ (a \circ a^{*}) = a^{**} \circ a^{*}\]
\[\implies e \circ (a \circ a^{*}) = e \implies a \circ a^{*} = e\]
Son adımda III\(^{*}\) kullanıldı. Demek ki \(a^{*}\), \(a\)’nın sağ tersi de olur.
2) Sol birim aynı zamanda sağ birimdir. Herhangi bir \(a \in G\) için IV\(^{*}\)’dan \(a^{*} \circ a = e\) vardır. O hâlde
\[a \circ e = a \circ (a^{*} \circ a) = (a \circ a^{*}) \circ a = e \circ a = a\]
Burada sırasıyla asosyatiflik, 1)’de kanıtlanan \(a \circ a^{*} = e\) ve III\(^{*}\) kullanıldı.
Böylece \(e\) iki yanlı birim, her \(a^{*}\) iki yanlı terstir: \(\langle G, \circ \rangle\), grup tanımındaki I–IV koşullarının tümünü sağlar.
\(\blacksquare\)
Teoremin iki yan ürünü, ileride sürekli kullanılacak:
- III\(^{*}\)’daki \(e\), grubun (tek türlü belirli) birim elemanıdır: bir grubun bir ve yalnız bir birim elemanı vardır.
- 1)’den dolayı \(a^{*} \circ a = a \circ a^{*} = e\)’dir; işlem asosyatif olduğundan ters tek türlü belirlidir: grubun her elemanının bir ve bir tek tersi vardır.
4.2 Denklemlerle Karakterizasyon
Teorem 4.2 (Çözülebilirlik Aksiyomuyla Grup) \(G \neq \varnothing\) kümesinde tanımlı bir \(\circ\) işlemi kapalılık (I) ve asosyatiflik (II) koşullarına ek olarak şunu sağlasın:
\[\textbf{III}'\textbf{.} \ \forall a, b \in G \ \text{ için } \ a \circ x = b \ \text{ ve } \ y \circ a = b \ \text{ denklemleri } G \text{'de çözülebilir.}\]
Bu takdirde \(\langle G, \circ \rangle\) bir gruptur.
İspat
Zayıflatılmış aksiyomlar teoreminden dolayı III\(^{*}\) ile IV\(^{*}\)’ı türetmek yeterlidir.
Sol birim vardır. Herhangi bir \(b \in G\) seçelim. III\('\)’den \(y \circ b = b\) denkleminin bir çözümü vardır; buna \(e\) diyelim: \(e \circ b = b\). Şimdi bu \(e\)’nin her \(a \in G\) için sol birim olduğunu görelim. III\('\)’den \(b \circ x = a\) olacak biçimde bir \(x \in G\) vardır; o hâlde
\[e \circ a = e \circ (b \circ x) = (e \circ b) \circ x = b \circ x = a\]
Sol ters vardır. Herhangi bir \(a \in G\) için III\('\)’deki \(y \circ a = b\) denkleminde \(b = e\) alalım: \(a^{*} \circ a = e\) olacak biçimde \(a^{*} \in G\) vardır.
I, II, III\(^{*}\), IV\(^{*}\) sağlandığından \(\langle G, \circ \rangle\) gruptur.
\(\blacksquare\)
Grup olduğu bilinen bir yapıda bu denklemlerin çözümleri yalnız var olmakla kalmaz, tek türlü belirlidir:
Teorem 4.3 (Denklemlerin Tek Çözümü) Bir \(\langle G, \circ \rangle\) grubunda her \(a, b \in G\) çifti için \(a \circ x = b\) ve \(y \circ a = b\) denklemlerinin çözümleri tek türlü belirlidir ve
\[x = a^{-1} \circ b, \qquad y = b \circ a^{-1}\]
ile verilir. (Burada \(a^{-1}\), \(a\)’nın tersidir.)
İspat
\(a \circ x = b\) ise iki tarafı soldan \(a^{-1}\) ile işleme sokalım:
\[a^{-1} \circ (a \circ x) = a^{-1} \circ b \implies (a^{-1} \circ a) \circ x = a^{-1} \circ b\]
\[\implies e \circ x = a^{-1} \circ b \implies x = a^{-1} \circ b\]
Demek ki çözüm varsa ancak \(a^{-1} \circ b\) olabilir. Tersine bu değer gerçekten çözümdür:
\[a \circ (a^{-1} \circ b) = (a \circ a^{-1}) \circ b = e \circ b = b\]
\(y \circ a = b\) denklemi için tamamen benzer biçimde: \(y \circ a = b\) ise sağdan \(a^{-1}\) uygulanarak \(y = b \circ a^{-1}\) bulunur ve \((b \circ a^{-1}) \circ a = b \circ (a^{-1} \circ a) = b\) sağlanır.
\(\blacksquare\)
4.3 Sadeleştirme Kuralları
Teorem 4.4 (Sadeleştirme Kuralları) \(\langle G, \circ \rangle\) bir grup ve \(a, x, x', y, y' \in G\) olsun. O zaman
\[a \circ x = a \circ x' \implies x = x', \qquad y \circ a = y' \circ a \implies y = y'\]
İspat
Birinci gerektirme için iki tarafı soldan \(a^{-1}\) ile işleme sokmak yeterlidir:
\[a^{-1} \circ (a \circ x) = a^{-1} \circ (a \circ x') \implies (a^{-1} \circ a) \circ x = (a^{-1} \circ a) \circ x'\]
\[\implies e \circ x = e \circ x' \implies x = x'\]
İkincisi için sağdan \(a^{-1}\) uygulanır:
\[(y \circ a) \circ a^{-1} = (y' \circ a) \circ a^{-1} \implies y \circ (a \circ a^{-1}) = y' \circ (a \circ a^{-1}) \implies y = y'\]
\(\blacksquare\)
Sadeleştirme kurallarına bölümün tekliği aksiyomu veya kısaltma aksiyomu da denir. Sonsuz kümelerde bu kurallar tek başına grup olmaya yetmez; ama sonlu kümelerde durum bambaşkadır:
Teorem 4.5 (Sonlu Kümelerde Grup Ölçütü) \(G \neq \varnothing\) sonlu bir küme olsun. \(G\)’de tanımlı bir \(\circ\) işlemi kapalılık (I), asosyatiflik (II) ve sadeleştirme kurallarını (III\(^{\circ}\)) sağlıyorsa \(\langle G, \circ \rangle\) bir gruptur.
İspat
Çözülebilirlik teoreminden dolayı III\('\)’yü, yani \(a \circ x = b\) ve \(y \circ a = b\) denklemlerinin çözülebilirliğini göstermek yeterlidir.
\(a, b \in G\) verilsin. \(\Psi_a : G \to G\), \(x \mapsto a \circ x\) fonksiyonunu tanımlayalım (kapalılıktan her \(x\) için \(a \circ x \in G\)’dir).
\(\Psi_a\) iyi tanımlıdır: \(x = x'\) ise \(a \circ x = a \circ x'\)’dir.
\(\Psi_a\) birebirdir: \(\Psi_a(x) = \Psi_a(x')\) ise \(a \circ x = a \circ x'\), sadeleştirme kuralından \(x = x'\) olur.
\(\Psi_a\) üzerinedir: Sonlu bir kümeyi kendi içine resmeden birebir fonksiyon üzerinedir.
O hâlde \(b \in G\)’ye karşılık \(\Psi_a(x) = a \circ x = b\) olacak biçimde bir \(x \in G\) vardır: birinci denklem çözülebilir. \(y \circ a = b\) denklemi için \(\Phi_a : G \to G\), \(y \mapsto y \circ a\) fonksiyonuyla tamamen benzer akıl yürütme yapılır. III\('\) sağlandığından \(\langle G, \circ \rangle\) gruptur.
\(\blacksquare\)
Sonlu kümelerde grup ölçütü sonsuz kümelerde geçerli olmak zorunda değildir. Örneğin \(\langle \mathbb{N}, \cdot \rangle\) yapısı kapalıdır, asosyatiftir ve sadeleştirme kurallarını sağlar (\(ax = ax' \Rightarrow x = x'\)); ama grup değildir — birimden başka hiçbir elemanın tersi yoktur. İspattaki “sonlu kümede birebir fonksiyon üzerinedir” adımı, sonsuz kümelerde çöker.
4.4 Sonlu Grup ve Mertebe
Tanım 4.1 (Sonlu ve Sonsuz Grup) \(\langle G, \circ \rangle\) yapısında \(G\) sonlu bir küme ise yapıya sonlu cebirsel yapı, sonsuz ise sonsuz cebirsel yapı denir. Özel olarak bir grup, sonlu kümeyse sonlu grup, sonsuz kümeyse sonsuz grup adını alır.
Tanım 4.2 (Grubun Mertebesi) \(G\) sonlu bir grup ve eleman sayısı \(n\) ise \(n\)’ye \(G\)’nin mertebesi denir ve \(|G| = n\) yazılır. Sonsuz bir grubun mertebesi sonsuz olarak tanımlanır.
Elimizde artık üç ayrı grup ölçütü var: tanımın kendisi, çözülebilirlik ve — sonlu kümelerde — sadeleştirme. Sıradaki bölümde sonlu grupları somut biçimde görmenin aracını tanıyacağız: işlem tabloları. Tablolar bize aynı zamanda küçük mertebeli bütün grupları sınıflandırma imkânı verecek — işlem tabloları ve küçük mertebeli gruplar.