22 Bölüm Grubu Örnekleri
Bölüm grubu makinesi kuruldu; şimdi onu çalıştırıyoruz. Bu bölümde önce normal alt gruplarla ilgili iki yapısal sonuç kanıtlıyoruz — \(N \trianglelefteq G\) iken \(NH\) çarpımının alt grup, iki normal alt grubun çarpımının normal alt grup olması — sonra üç somut bölüm grubunu elemanlarına kadar hesaplıyoruz: \(S_3/A_3\), \(\mathbb{Z}_{15}\)’in çarpımsal grubunun bir bölümü ve dördüncü birim köklerinin \(\{1, -1\}\)’e göre bölümü.
22.1 Yapısal Örnekler
Örnek 22.1 (\(N \trianglelefteq G\) İse \(NH\) Alt Gruptur) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup, \(N \trianglelefteq G\) ve \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\) olsun. \(NH\) kompleksinin \(G\)’nin bir alt grubu olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(NH = \{n h : n \in N,\ h \in H\} \subseteq G\) ve \(1_G = 1_G \cdot 1_G \in NH\) olduğundan küme boş değildir. İki koşullu ölçütü denetleyelim.
Kapalılık. \(n_1 h_1, n_2 h_2 \in NH\) olsun:
\[(n_1 h_1)(n_2 h_2) = n_1 (h_1 n_2) h_2\]
\(N\) normal olduğundan \(h_1 N = N h_1\)’dir; yani \(h_1 n_2 = n_2' h_1\) olacak biçimde bir \(n_2' \in N\) vardır. Yerine koyunca
\[(n_1 h_1)(n_2 h_2) = n_1 (n_2' h_1) h_2 = (n_1 n_2')(h_1 h_2) \in NH\]
çünkü \(n_1 n_2' \in N\) ve \(h_1 h_2 \in H\)’dir.
Terslere kapalılık. \((nh)^{-1} = h^{-1} n^{-1}\)’dir. \(N\) normal olduğundan \(h^{-1} N = N h^{-1}\), yani \(h^{-1} n^{-1} = t\, h^{-1}\) olacak biçimde bir \(t \in N\) vardır:
\[(nh)^{-1} = t \, h^{-1} \in NH\]
İki koşul sağlandığından \(NH \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir.
\(\blacksquare\)
Bu, komplekslerle hesap bölümündeki \(HK = KH\) ölçütünün iş başındaki hâlidir: normallik, \(NH = HN\) eşitliğini garanti eder.
Örnek 22.2 (İki Normal Alt Grubun Çarpımı Normaldir) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup, \(N \trianglelefteq G\) ve \(H \trianglelefteq G\) olsun. \(NH \trianglelefteq G\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Önceki örnekten \(NH\) bir alt gruptur. Normalliği kompleks hesabıyla görelim: herhangi \(a \in G\) için
\[a(NH) = (aN)H = (Na)H = N(aH) = N(Ha) = (NH)a\]
Birinci ve dördüncü adımda kompleks çarpımının asosyatifliği, ikinci adımda \(N \trianglelefteq G\), dördüncü adımda \(H \trianglelefteq G\) kullanıldı. Her \(a\) için \(a(NH) = (NH)a\) olduğundan \(NH \trianglelefteq G\)’dir.
\(\blacksquare\)
22.2 \(S_3/A_3\): İlk Somut Bölüm Grubu
Örnek 22.3 (\(S_3\)’ün \(A_3\)’e Göre Bölüm Grubu) \(S_3\)’ün \(A_3\) alt grubuna göre bölüm grubunu oluşturunuz.
Çözüm
\(A_3 = \{I, (1\,2\,3), (1\,3\,2)\}\), üçüncü mertebeden devresel bir gruptur: \(A_3 = \langle (1\,2\,3) \rangle = \langle (1\,3\,2) \rangle\).
\[[S_3 : A_3] = \frac{6}{3} = 2\]
olduğundan indeks 2 ölçütüyle \(A_3 \trianglelefteq S_3\)’tür ve bölüm grubu iki elemanlıdır. Sınıfları yazalım:
\[A_3 = \{I, (1\,2\,3), (1\,3\,2)\}\]
\[(2\,3)A_3 = \{(2\,3),\ (2\,3)(1\,2\,3),\ (2\,3)(1\,3\,2)\} = \{(2\,3),\ (1\,3),\ (1\,2)\}\]
Yani sınıflardan biri çift substitüsyonlar, öbürü tek substitüsyonlardır:
\[S_3 = A_3 \cup (2\,3)A_3, \qquad S_3/A_3 = \{A_3,\ (2\,3)A_3\}\]
İkinci mertebeden bu grup, “çift \(\cdot\) çift \(=\) çift, tek \(\cdot\) tek \(=\) çift, tek \(\cdot\) çift \(=\) tek” kurallarının grup hâline getirilmişidir.
\(\blacksquare\)
22.3 Komutatif Örnekler
Örnek 22.4 (\(\mathbb{Z}_{15}\)’in Çarpımsal Grubunda Bölüm) \(\mathbb{Z}_{15}\)’te, \(15\) ile aralarında asal kalan sınıflarının kümesi
\[A = \{\bar{1}, \bar{2}, \bar{4}, \bar{7}, \bar{8}, \overline{11}, \overline{13}, \overline{14}\} = \{\mp\bar{1}, \mp\bar{2}, \mp\bar{4}, \mp\bar{7}\}\]
çarpma işlemine göre komutatif bir gruptur. \(H = \{\bar{1}, \bar{4}\}\) kümesinin \(\langle A, \cdot \rangle\)’nın bir alt grubu olduğunu görüp \(A/H\) bölüm grubunu oluşturunuz.
Çözüm
\(\bar{4} \cdot \bar{4} = \overline{16} = \bar{1}\) olduğundan \(H\) çarpmaya kapalıdır; \(A\) sonlu grup olduğundan kapalılık, alt grup olmaya yeter: \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} A\). \(A\) komutatif olduğundan \(H \trianglelefteq A\)’dır ve bölüm grubu kurulabilir:
\[[A : H] = \frac{|A|}{|H|} = \frac{8}{2} = 4\]
Dört kalan sınıfını temsilcileriyle yazalım:
\[H = \{\bar{1}, \bar{4}\}, \qquad -H = \{-\bar{1}, -\bar{4}\}\]
\[\bar{2}H = \{\bar{2}, \bar{8}\} = \{\bar{2}, -\bar{7}\}, \qquad -\bar{2}H = \{-\bar{2}, \bar{7}\}\]
O hâlde
\[A/H = \{H,\ -H,\ \bar{2}H,\ -\bar{2}H\}\]
dördüncü mertebeden bir gruptur. Tipini de belirleyebiliriz: \((\bar{2}H)^2 = \bar{4}H = H\), \((-H)^2 = H\), \((-\bar{2}H)^2 = \bar{4}H = H\) — birimden farklı her elemanın karesi birimdir; \(A/H\), Klein tipindedir.
\(\blacksquare\)
Örnek 22.5 (Dördüncü Birim Köklerinde Bölüm) \(G = \{1, -1, i, -i\}\) kümesi \(\mathbb{C}\)’deki çarpma işlemine göre bir gruptur.
\(G\)’nin devresel olduğunu gösteriniz.
\(H = \{1, -1\}\) alt grubuna göre \(G/H\) bölüm grubunu oluşturunuz.
Çözüm
a) \(i\)’nin kuvvetlerini yazalım:
\[i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1\]
Dört kuvvet grubun dört elemanını verdi: \(G = \langle i \rangle\), dördüncü mertebeden devresel gruptur. (Kapalılık, asosyatiflik, birim ve tersler \(\mathbb{C}^{*}\)’dan miras kalır; \(G\), \(\mathbb{C}^{*}\)’ın sonlu ve çarpmaya kapalı bir alt kümesi olarak alt gruptur.)
b) \(H = \{1, -1\}\), çarpmaya kapalı ve sonludur: \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\). \(G\) komutatif olduğundan \(H \trianglelefteq G\)’dir:
\[|G/H| = [G : H] = \frac{4}{2} = 2\]
Sınıflar:
\[H = \{1, -1\}, \qquad iH = \{i, -i\}, \qquad G = H \cup iH\]
\[G/H = \{H,\ iH\}\]
İkinci mertebeden gruptur; \(iH \cdot iH = i^2 H = -H = H\) eşitliği tabloyu tamamlar.
\(\blacksquare\)
22.4 Alıştırma
Alıştırma 22.1 (Normallik Denetimi) \(H = \{I, (1\,2)\}\) kümesi \(S_3\)’ün bir normal alt grubu mudur?
Çözüm
\(H\), çarpmaya kapalı (\(((1\,2))^2 = I\)) ve sonlu olduğundan \(S_3\)’ün bir alt grubudur. Normallik için bir eleman deneyelim: \((2\,3) \in S_3\) için
\[(2\,3)H = \{(2\,3),\ (2\,3)(1\,2)\} = \{(2\,3),\ (1\,3\,2)\}\]
\[H(2\,3) = \{(2\,3),\ (1\,2)(2\,3)\} = \{(2\,3),\ (1\,2\,3)\}\]
\((2\,3)H \neq H(2\,3)\) olduğundan \(H\), \(S_3\)’ün normal alt grubu değildir; \(S_3/H\) diye bir bölüm grubu kurulamaz.
\(\blacksquare\)
Bölüm grubu, büyük bir gruptan sistematik biçimde küçük gruplar üretiyor. Ama bu üretimin doğal dili henüz eksik: iki grup arasında “yapıyı koruyan fonksiyon” kavramı. Bölüm grubunun gerçek anlamı — büyük grubun homomorf resmi olması — ancak o dille söylenebilir: homomorfi ve izomorfi.