16 Hasse Diyagramları
Devresel grubun alt grup envanterini tam olarak çıkarabiliyoruz; şimdi bu envanteri görselleştireceğiz. Hasse diyagramı, alt grupları kapsama ilişkisine göre katlara dizen bir şemadır: kapsanan aşağıda, kapsayan yukarıda, arada bir çizgi. Devresel gruplarda diyagramın tamamı tek bir aritmetik gözlemle çizilir — alt grupların kapsama ilişkisi, mertebelerin bölünebilme ilişkisinin kopyasıdır.
16.1 Alt Gruplar Şeması
Tanım 16.1 (Hasse Diyagramı) Sonlu sayıda alt grubu bulunan bir \(G\) grubu verilsin. \(H_1 \subseteq H_2\) olan iki alt gruptan \(H_1\), \(H_2\)’nin altında bir hizaya yerleştirilip iki alt grup bir çizgiyle birleştirilir; biri diğerinin içinde olmayan iki alt grup ise aynı hizaya veya (çizgi çekilmeksizin) farklı hizalara yerleştirilir. Bütün alt grupların bu biçimde yerleştirilmesiyle elde edilen şemaya \(G\)’nin Hasse diyagramı (alt gruplar şeması) denir.
(Şema çizilirken zincirleme kapsamaların ara çizgileri atlanır: \(H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3\) durumunda \(H_1\)–\(H_3\) çizgisi çizilmez; o ilişki iki basamaktan zaten okunur. Yerleştirmeyi olabildiğince simetrik yapmak şemayı okunur kılar.)
Devresel gruplarda şemayı çizen anahtar gözlem şudur. \(G = \langle a \rangle\), \(n\). mertebeden ve \(H_{\nu} = \langle a^{n/\nu} \rangle\), \(\nu\) mertebeli alt grup olsun:
\[H_{\nu_1} \subseteq H_{\nu_2} \iff \nu_1 \mid \nu_2\]
Gerçekten \(H_{\nu_1} \subseteq H_{\nu_2}\) ise, alt grup mertebesi kapsayan alt grubun mertebesini bölmek zorundadır (devresel gruplarda bunu kanıtladık). Tersine \(\nu_1 \mid \nu_2\) ise \(\mu_1 = n/\nu_1\), \(\mu_2 = n/\nu_2\) için \(\mu_2 \mid \mu_1\) olur; \(a^{\mu_1}\), \(a^{\mu_2}\)’nün bir kuvvetidir ve \(H_{\nu_1} = \langle a^{\mu_1} \rangle \subseteq \langle a^{\mu_2} \rangle = H_{\nu_2}\) çıkar. Yani devresel grubun Hasse diyagramı, \(n\)’nin bölenlerinin bölünebilme diyagramının aynısıdır.
16.2 Temel Örnekler
Örnek 16.1 (Mertebe Asal: En Yalın Şema) \(p\) asal ve \(G = \langle a \rangle\), \(p\). mertebeden olsun. Alt grup mertebeleri \(p\)’nin bölenleridir: yalnız \(1\) ve \(p\). Yani alt gruplar yalnızca trivial olanlardır ve şema tek çizgidir:
\[\begin{array}{c} G \\ \big| \\ \{1_G\} \end{array}\]
Doğuraylar: \(a, a^2, \dots, a^{p-1}\) — birimden farklı her eleman; sayıları \(\varphi(p) = p - 1\).
Örnek 16.2 (Mertebe 4, 6 ve 8) \(n = 4\): Bölenler \(1, 2, 4\). Şema bir zincirdir:
\[\begin{array}{c} G \\ \big| \\ H_2 = \langle a^2 \rangle \\ \big| \\ \{1_G\} \end{array}\]
Doğuraylar \(a, a^3\); \(\varphi(4) = 2\).
\(n = 6\): Bölenler \(1, 2, 3, 6\). \(H_2 = \langle a^3 \rangle\) ile \(H_3 = \langle a^2 \rangle\) birbirini kapsamaz (\(2 \nmid 3\)); şema bir eşkenar dörtgendir:
\[\begin{array}{ccc} & G & \\ \diagup & & \diagdown \\ H_2 & & H_3 \\ \diagdown & & \diagup \\ & \{1_G\} & \end{array}\]
Doğuraylar \(a, a^5\); \(\varphi(6) = 2\).
\(n = 8\): Bölenler \(1, 2, 4, 8\) zincir oluşturur (\(1 \mid 2 \mid 4 \mid 8\)):
\[\begin{array}{c} G \\ \big| \\ H_4 = \langle a^2 \rangle \\ \big| \\ H_2 = \langle a^4 \rangle \\ \big| \\ \{1_G\} \end{array}\]
Doğuraylar \(a, a^3, a^5, a^7\); \(\varphi(8) = 4\).
Örnek 16.3 (Mertebe 12) \(n = 12\)’nin bölenleri \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)’dir; alt gruplar önceki bölümde listelenmişti. Bölünebilme ilişkileri: \(2 \mid 4\), \(2 \mid 6\), \(3 \mid 6\); \(4\) ile \(6\)’nın üstünde yalnız \(12\) vardır. Şema:
\[\begin{array}{ccc} & G & \\ \diagup & & \diagdown \\ H_4 & & H_6 \\ \big| & \diagup & \big| \\ H_2 & & H_3 \\ \diagdown & & \diagup \\ & \{1_G\} & \end{array}\]
(Ortadaki çapraz çizgi \(H_2 \subseteq H_6\) kapsamasıdır; \(H_2 \subseteq H_4\) ve \(H_3 \subseteq H_6\) dikey çizgilerle gösterildi.) Doğuraylar \(a, a^5, a^7, a^{11}\); \(\varphi(12) = 4\).
16.3 Permütasyonlarla İki Büyük Örnek
Örnek 16.4 (Mertebesi 24 Olan Devresel Grup) \(S_{11}\)’de, elemanları \(a, b, \dots, k\) harfleriyle yazılmış
\[S = (a\,c\,g\,h\,e\,f\,b\,d)(a\,h\,b\,e)(c\,g\,d\,f)(i\,j\,k)\]
substitüsyonu tarafından doğurulan devresel grubun alt gruplar şemasını çiziniz.
Çözüm
Önce \(S\)’yi yabancı devrelere ayıralım (çarpanlar sağdan sola uygulanır). Yörüngeler izlenince
\[S = (a\,e\,c\,h\,d\,b\,f\,g)(i\,j\,k)\]
bulunur: sekizli ve üçlü yabancı devreler. Mertebe, EKOK kuralından
\[|S| = [8, 3] = 24\]
ve \(G = \langle S \rangle = \{I, S, S^2, \dots, S^{23}\}\)’tür.
\(24\)’ün bölenleri \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\); her \(\nu\) bölenine karşılık \(H_{\nu} = \langle S^{24/\nu} \rangle\) alt grubu vardır:
\[H_2 = \langle S^{12} \rangle, \quad H_3 = \langle S^{8} \rangle, \quad H_4 = \langle S^{6} \rangle, \quad H_6 = \langle S^{4} \rangle, \quad H_8 = \langle S^{3} \rangle, \quad H_{12} = \langle S^{2} \rangle\]
Kapsamalar bölünebilmeyi izler: \(2 \mid 4, 6, 8, 12\); \(3 \mid 6 \mid 12\); \(4 \mid 8, 12\). Şema:
G
╱ ╲
H₈ H₁₂
| ╲ ╱ |
| ╳ |
| ╱ ╲ |
H₄ H₆
| ╲ ╱ |
| ╳ |
| ╱ ╲ |
H₂ H₃
╲ ╱
{1_G}Buradaki çizgiler: \(G\)–\(H_8\), \(G\)–\(H_{12}\); \(H_8\)–\(H_4\), \(H_{12}\)–\(H_4\), \(H_{12}\)–\(H_6\); \(H_4\)–\(H_2\), \(H_6\)–\(H_2\), \(H_6\)–\(H_3\); \(H_2\)–\(\{1_G\}\), \(H_3\)–\(\{1_G\}\).
Doğuraylar, \(24\) ile aralarında asal üslerdir:
\[S, \ S^5, \ S^7, \ S^{11}, \ S^{13}, \ S^{17}, \ S^{19}, \ S^{23}; \qquad \varphi(24) = 24\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 8\]
\(\blacksquare\)
Örnek 16.5 (Mertebesi 42 Olan Devresel Grup) \(S_{20}\)’de, elemanları yirmi harften oluşan
\[S = (a\,u\,p\,b\,i\,s)(k\,m\,o\,b\,h)(d\,t\,e\,f\,n\,j)(g\,r\,u\,v\,c)\]
substitüsyonu tarafından doğurulan devresel grubun alt gruplar şemasını çiziniz.
Çözüm
Devreler yabancı değildir (\(b\) ile \(u\) iki devrede geçiyor); yörüngeleri izleyerek yabancı ayrılışı çıkaralım:
\[S = (a\,u\,v\,c\,g\,r\,p\,b\,h\,k\,m\,o\,i\,s)(d\,t\,e\,f\,n\,j)\]
on dörtlü ve altılı yabancı devreler. Mertebe:
\[|S| = [14, 6] = 42, \qquad G = \langle S \rangle = \{I, S, \dots, S^{41}\}\]
\(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\)’nin bölenleri \(1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\)’dir; alt gruplar \(H_{\nu} = \langle S^{42/\nu} \rangle\):
\[H_2 = \langle S^{21} \rangle, \quad H_3 = \langle S^{14} \rangle, \quad H_6 = \langle S^{7} \rangle\]
\[H_7 = \langle S^{6} \rangle, \quad H_{14} = \langle S^{3} \rangle, \quad H_{21} = \langle S^{2} \rangle\]
Kapsamalar: \(2 \mid 6, 14\); \(3 \mid 6, 21\); \(7 \mid 14, 21\). Şema, küpün köşelerine yerleşmiş gibi tam simetrik çıkar (bölenler \(2^{\epsilon_1} 3^{\epsilon_2} 7^{\epsilon_3}\), \(\epsilon_i \in \{0,1\}\) biçimindedir):
G
╱ | ╲
H₆ H₁₄ H₂₁
| ╲ ╱ ╲ ╱ |
| ╳ ╳ |
| ╱ ╲ ╱ ╲ |
H₂ H₃ H₇
╲ | ╱
{1_G}Çizgiler: \(G\)–\(H_6\), \(G\)–\(H_{14}\), \(G\)–\(H_{21}\); \(H_6\)–\(H_2\), \(H_6\)–\(H_3\); \(H_{14}\)–\(H_2\), \(H_{14}\)–\(H_7\); \(H_{21}\)–\(H_3\), \(H_{21}\)–\(H_7\); \(H_2, H_3, H_7\)–\(\{1_G\}\).
Doğuray sayısı:
\[\varphi(42) = 42\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{7}\right) = 12\]
Doğuraylar: \(S, S^5, S^{11}, S^{13}, S^{17}, S^{19}, S^{23}, S^{25}, S^{29}, S^{31}, S^{37}, S^{41}\).
\(\blacksquare\)
Devresel grupların dünyası artık baştan sona haritalanmış durumda. Genel gruplara dönme vakti: bir alt grup, kendisini kapsayan grubu nasıl dilimler? Bu sorunun aygıtı — alt kümelerle çarpma — bir sonraki bölümün konusudur: komplekslerle hesap.