18 Bir Alt Gruba Göre Kalan Sınıfları
Modüler aritmetikte \(\mathbb{Z}\)’yi \(m\)’nin katlarına göre sınıflara ayırmıştık: \(a \equiv b \pmod{m}\), yani \(a - b\) kümesi \(m\mathbb{Z}\) alt grubunda. Bu bölüm aynı fikri keyfî bir gruba taşır: \(H\) alt grubu verilince “\(a^{-1}b \in H\)” bağıntısı \(G\)’yi kalan sınıflarına böler. Sınıfların iki altın özelliği — ya çakışırlar ya ayrıktırlar, ve hepsi aynı büyüklüktedir — bir sonraki bölümde Lagrange teoremini tek hamlede verecek.
18.1 Soldan ve Sağdan Eşdeğerlik
Tanım 18.1 (Soldan ve Sağdan Eşdeğerlik) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup, \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\) ve \(a, b \in G\) olsun.
\[a^{-1} \cdot b \in H\]
ise “\(a\), \(b\)’ye \(H\) alt grubuna göre soldan eşdeğerdir” denir ve \(a \underset{\text{sol}}{\sim} b\ (H)\) yazılır;
\[a \cdot b^{-1} \in H\]
ise “\(a\), \(b\)’ye \(H\)’ye göre sağdan eşdeğerdir” denir ve \(a \underset{\text{sağ}}{\sim} b\ (H)\) yazılır.
Teorem 18.1 (Eşdeğerlikler Denklik Bağıntısıdır) \(\underset{\text{sol}}{\sim}\) ve \(\underset{\text{sağ}}{\sim}\) bağıntıları \(G\)’de birer eşdeğerlik (denklik) bağıntısıdır.
İspat
Soldan eşdeğerlik için üç koşulu denetleyelim; sağdan eşdeğerlik tamamen benzerdir.
Yansıma: \(H\) alt grup olduğundan \(1_G \in H\)’dir; her \(a\) için \(a^{-1} a = 1_G \in H\), yani \(a \sim a\).
Simetri: \(a \sim b\) ise \(a^{-1} b \in H\)’dir; \(H\) terslere kapalı olduğundan
\[(a^{-1} b)^{-1} = b^{-1} a \in H \implies b \sim a\]
Geçişme: \(a \sim b\) ve \(b \sim c\) ise \(a^{-1}b \in H\) ve \(b^{-1}c \in H\)’dir; \(H\) çarpmaya kapalı olduğundan
\[(a^{-1} b)(b^{-1} c) = a^{-1} (b b^{-1}) c = a^{-1} c \in H \implies a \sim c\]
\(\blacksquare\)
Tanım 18.2 (Kalan Sınıfları) \(\underset{\text{sol}}{\sim}\) eşdeğerlik bağıntısının \(G\)’de belirttiği denklik sınıflarına \(G\)’nin \(H\) alt grubuna göre sol kalan sınıfları; \(\underset{\text{sağ}}{\sim}\)’ın belirttiği sınıflara sağ kalan sınıfları denir.
18.2 Sınıfların Kompleks Biçimi
Soyut denklik sınıfları, kompleks çarpımıyla son derece somut bir biçim alır:
Teorem 18.2 (Sol Kalan Sınıfı \(= aH\)) \(G\)’nin \(H\)’ye göre bir sol kalan sınıfı, \(a\) bu sınıfın herhangi bir elemanı olmak üzere, \(G\)’nin \(aH\) kompleksi ile çakışır.
İspat
\(K_a = \{b \in G : b \underset{\text{sol}}{\sim} a\}\), \(a\)’nın sınıfı olsun. Simetriden \(b \sim a \iff a \sim b\) olduğuna dikkat ederek
\[b \in K_a \iff a^{-1} b \in H \iff \exists\, h \in H: \ a^{-1} b = h\]
\[\iff \exists\, h \in H: \ b = a h \iff b \in aH\]
O hâlde \(K_a = aH\)’dir.
\(\blacksquare\)
Teorem 18.3 (Sağ Kalan Sınıfı \(= Ha\)) Benzer biçimde, \(a\)’nın sağ kalan sınıfı \(Ha\) kompleksi ile çakışır: \(b \underset{\text{sağ}}{\sim} a \iff b a^{-1} \in H \iff b \in Ha\).
İki hızlı gözlem:
- \(H\)’nin kendisi hem bir sol hem bir sağ kalan sınıfıdır: \(H = 1_G H = H 1_G\).
- \(a \in aH\)’dir (\(a = a \cdot 1_G\)); her eleman kendi sınıfının içindedir.
Sonuç 18.1 (Sınıflar Ya Eşit Ya Ayrıktır) \(aH\) ve \(bH\) gibi iki sol kalan sınıfı ya birbirinin aynıdır ya da tamamen ayrıktır:
\[aH = bH \qquad \text{veya} \qquad aH \cap bH = \varnothing\]
Aynısı sağ kalan sınıfları için de geçerlidir.
İspat
Kalan sınıfları bir denklik bağıntısının sınıflarıdır; denklik sınıfları kümeyi ayrık parçalara böler.
\(\blacksquare\)
18.3 Bütün Sınıflar Aynı Kuvvettedir
Teorem 18.4 (Sınıfların Eş Kuvvetliliği) \(aH\) ve \(bH\) gibi iki sol kalan sınıfı aynı kuvvettedir (aralarında birebir ve üzerine bir eşleme vardır); aynısı sağ kalan sınıfları için de geçerlidir.
İspat
Önce her sınıfın \(H\) ile eş kuvvette olduğunu görelim:
\[\varphi_a : H \to aH, \qquad h \mapsto a h\]
İyi tanımlıdır: \(h_1 = h_2 \implies a h_1 = a h_2\). Üzerinedir: \(aH\)’nin tipik elemanı zaten \(ah\) biçimindedir. Birebirdir: \(a h_1 = a h_2\) ise grupta sadeleştirmeyle \(h_1 = h_2\).
O hâlde \(H\) ile \(aH\) eş kuvvettedir ve \(\varphi_a^{-1} : aH \to H\), \(ah \mapsto h\) de birebir-üzerinedir. İki sınıf için
\[\varphi_b \circ \varphi_a^{-1} : aH \to bH, \qquad a h \mapsto b h\]
bileşkesi, birebir-üzerine iki fonksiyonun bileşkesi olarak birebir ve üzerinedir: \(aH\) ile \(bH\) eş kuvvettedir.
\(\blacksquare\)
Sonuç 18.2 (Sonlu Durumda Eleman Sayısı) \(|H| = n\) ise her \(aH\) sol kalan sınıfının ve her \(Ha\) sağ kalan sınıfının eleman sayısı da \(n\)’dir.
18.4 Somut Bir Bölmeleme
Örnek 18.1 (\(S_3\)’ün \({I, (1,2)}\)’ye Göre Sınıfları) \(S_3\)’ün \(H = \{I, (1\,2)\}\) alt grubuna göre sol ve sağ kalan sınıflarını bulunuz.
Çözüm
Sol sınıflar. \(H\)’nin kendisi bir sınıftır. \(H\)’de olmayan \((1\,3)\) ile
\[(1\,3)H = \{(1\,3),\ (1\,3)(1\,2)\} = \{(1\,3),\ (1\,2\,3)\}\]
(\((1\,3)(1\,2)\): önce \((1\,2)\), sonra \((1\,3)\) uygulanır — \(1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 1 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1\); sonuç \((1\,2\,3)\).) Henüz sınıfı çıkmamış \((2\,3)\) ile
\[(2\,3)H = \{(2\,3),\ (2\,3)(1\,2)\} = \{(2\,3),\ (1\,3\,2)\}\]
Altı eleman üçe bölündü:
\[S_3 = H \cup (1\,3)H \cup (2\,3)H\]
Sağ sınıflar. Aynı temsilcilerle
\[H(1\,3) = \{(1\,3),\ (1\,2)(1\,3)\} = \{(1\,3),\ (1\,3\,2)\}\]
\[H(2\,3) = \{(2\,3),\ (1\,2)(2\,3)\} = \{(2\,3),\ (1\,2\,3)\}\]
\[S_3 = H \cup H(1\,3) \cup H(2\,3)\]
Dikkat: \((1\,3)H \neq H(1\,3)\)’tür — sol ve sağ bölmelemeler farklı parçalamalardır. (Sınıf sayıları yine de eşit çıktı; bunun bir rastlantı olmadığını bir sonraki bölümde göreceğiz.)
\(\blacksquare\)
Elimizde artık kusursuz bir dilimleme var: \(G\), her biri \(|H|\) elemanlı, ikişer ikişer ayrık sınıfların birleşimidir. Sonlu gruplar için bunun tek satırlık ama çığır açıcı bir sonucu vardır: Lagrange teoremi.