24 Gruplarda Homomorfi Teoremi
Bölüm grupları ile homomorfiler arasındaki köprüye geldik. Bir üzerine homomorfinin birime giden elemanları — çekirdeği — her zaman bir normal alt gruptur; aynı değere giden elemanlar tam olarak çekirdeğin kalan sınıflarını doldurur; ve bölüm grubu, resmin kendisine izomorftur: \(G/\operatorname{Ker}\varphi \cong G'\). Tek bir teoremde toplanan bu üç olgu, “bölüm grubu” ile “homomorf resim” kavramlarının aynı şeyin iki dili olduğunu söyler.
24.1 Homomorfi Teoremi
Teorem 24.1 (Gruplarda Homomorfi Teoremi) \(G\) bir grup, \(G'\) tek işlemli bir cebirsel yapı ve \(\varphi : G \to G'\) üzerine bir homomorfi olsun (\(\varphi(G) = G'\); homomorf resim teoreminden \(G'\) bir gruptur). Bu takdirde:
- \(N = \{a \in G : \varphi(a) = 1_{G'}\}\) kümesi \(G\)’nin bir normal alt grubudur.
- \(a'\), \(G'\)’nün herhangi bir elemanı olmak üzere \(M_{a'} = \{b \in G : \varphi(b) = a'\}\) kümesi, \(N\)’nin \(G\) içindeki uygun bir kalan sınıfıdır.
- \(G/N \cong G'\).
İspat
1) \(\varphi(1_G) = 1_{G'}\) olduğundan \(1_G \in N\): küme boş değildir.
Alt gruptur: \(a, b \in N\) için
\[\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) = 1_{G'} \cdot 1_{G'} = 1_{G'} \implies ab \in N\]
\[\varphi(a^{-1}) = \big(\varphi(a)\big)^{-1} = 1_{G'}^{-1} = 1_{G'} \implies a^{-1} \in N\]
İki koşullu ölçütle \(N \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir.
Normaldir: \(aN = Na\) eşitliği, \(aNa^{-1} = N\) eşitliğine denktir; bunu iki kapsamayla görelim. Bir \(a c a^{-1} \in aNa^{-1}\) alalım (\(c \in N\)):
\[\varphi(a c a^{-1}) = \varphi(a)\varphi(c)\varphi(a^{-1}) = \varphi(a) \cdot 1_{G'} \cdot \big(\varphi(a)\big)^{-1} = 1_{G'}\]
Yani \(a c a^{-1} \in N\): \(aNa^{-1} \subseteq N\). Bu kapsama her \(a \in G\) için geçerli olduğundan \(a\) yerine \(a^{-1}\) konarak \(a^{-1} N a \subseteq N\), yani \(N \subseteq a N a^{-1}\) de elde edilir. İki kapsama birlikte \(aNa^{-1} = N\), dolayısıyla \(aN = Na\) verir: \(N \trianglelefteq G\).
2) \(a' \in G'\) olsun. \(\varphi\) üzerine olduğundan \(\varphi(a) = a'\) olacak bir \(a \in G\) vardır; \(a \in M_{a'}\), yani \(M_{a'} \neq \varnothing\)’dür. İddia: \(M_{a'} = aN\).
\(aN \subseteq M_{a'}\): \(c \in N\) için
\[\varphi(ac) = \varphi(a)\varphi(c) = a' \cdot 1_{G'} = a' \implies ac \in M_{a'}\]
\(M_{a'} \subseteq aN\): \(b \in M_{a'}\) olsun:
\[\varphi(a^{-1} b) = \varphi(a^{-1})\varphi(b) = (a')^{-1} a' = 1_{G'} \implies a^{-1}b \in N \implies b \in aN\]
O hâlde \(M_{a'} = aN\): “\(a'\) değerini alan elemanlar”, \(N\)’nin bir kalan sınıfıdır.
3) \(\psi : G/N \to G'\), \(aN \mapsto \varphi(a)\) fonksiyonunu tanımlayalım.
İyi tanımlıdır: \(aN = bN\) ise \(a^{-1}b \in N\), yani \(\varphi(a^{-1}b) = 1_{G'}\); açılırsa \(\big(\varphi(a)\big)^{-1}\varphi(b) = 1_{G'}\), yani \(\varphi(a) = \varphi(b)\) ve \(\psi(aN) = \psi(bN)\).
Üzerinedir: Her \(b' \in G'\) için \(\varphi(b) = b'\) olan \(b \in G\) vardır ve \(\psi(bN) = b'\).
Birebirdir: \(\psi(aN) = \psi(bN)\) olsun: \(\varphi(a) = \varphi(b)\)’den
\[\varphi(a^{-1}b) = \big(\varphi(a)\big)^{-1}\varphi(b) = 1_{G'} \implies a^{-1}b \in N \implies b \in aN\]
\(b \in bN\) de olduğundan \(aN \cap bN \neq \varnothing\); sınıflar ya eşit ya ayrık olduğundan \(aN = bN\)’dir.
İşlemi korur:
\[\psi(aN \cdot bN) = \psi\big((ab)N\big) = \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) = \psi(aN)\,\psi(bN)\]
Dört özellik birlikte \(G/N \cong G'\) verir.
\(\blacksquare\)
Tanım 24.1 (Çekirdek) Homomorfi teoremindeki \(N\) normal alt grubuna \(\varphi\) homomorfisinin çekirdeği denir ve \(\operatorname{Ker}\varphi\) ile gösterilir:
\[\operatorname{Ker}\varphi = \{a \in G : \varphi(a) = 1_{G'}\}\]
Teoremin özeti tek satıra sığar:
\[G/\operatorname{Ker}\varphi \cong \varphi(G)\]
24.2 Çekirdek Hesapları
Örnek 24.1 (Mutlak Değer Homomorfisi) \(\varphi : \langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle \to \langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle\), \(\alpha \mapsto |\alpha|\) fonksiyonunun üzerine bir homomorfi olduğunu gösterip çekirdeğini bulunuz.
Çözüm
İyi tanımlılık: \(\alpha = \beta \implies |\alpha| = |\beta|\).
Üzerinelik: \(y \in \mathbb{R}^{+}\) için \(\varphi(y) = |y| = y\).
İşlemi koruma: Mutlak değer çarpımsaldır:
\[\varphi(\alpha\beta) = |\alpha\beta| = |\alpha|\,|\beta| = \varphi(\alpha)\varphi(\beta)\]
O hâlde \(\varphi\) üzerine bir homomorfidir. \(\langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle\)’nın birimi \(1\) olduğundan
\[\operatorname{Ker}\varphi = \{\alpha \in \mathbb{R} - \{0\} : |\alpha| = 1\} = \{-1, 1\}\]
Homomorfi teoremi ayrıca \(\langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle / \{-1, 1\} \cong \langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle\) der: her pozitif sayı, \(\{\alpha, -\alpha\}\) biçimindeki bir kalan sınıfının etiketi gibidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 24.2 (Ters Alma Otomorfisi) \(\varphi : \langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle \to \langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle\), \(\alpha \mapsto \dfrac{1}{\alpha}\) fonksiyonunun bir otomorfi olduğunu gösterip çekirdeğini bulunuz.
Çözüm
İyi tanımlılık: \(\alpha = \beta \implies \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\beta}\).
Üzerinelik: \(y \neq 0\) için \(\frac{1}{y} \neq 0\) ve \(\varphi\!\left(\frac{1}{y}\right) = y\).
Birebirlik: \(\alpha \neq \beta \implies \frac{1}{\alpha} \neq \frac{1}{\beta}\).
İşlemi koruma:
\[\varphi(\alpha\beta) = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \varphi(\alpha)\varphi(\beta)\]
Kendi üzerine izomorfi, yani otomorfidir. Çekirdek:
\[\operatorname{Ker}\varphi = \left\{\alpha : \frac{1}{\alpha} = 1\right\} = \{1\}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 24.3 (Kompleks Eşlenik Otomorfisi) \(\varphi : \langle \mathbb{C}, + \rangle \to \langle \mathbb{C}, + \rangle\), \(a + bi \mapsto a - bi\) fonksiyonunun bir otomorfi olduğunu gösterip çekirdeğini bulunuz.
Çözüm
İyi tanımlılık ve birebirlik: \(a + bi = c + di \iff a = c,\ b = d \iff a - bi = c - di\); iki yön birden hem iyi tanımlılığı hem birebirliği verir.
Üzerinelik: Her \(x + yi\) için \(\varphi(x - yi) = x + yi\)’dir.
İşlemi koruma:
\[\varphi\big((a+bi) + (c+di)\big) = \varphi\big((a+c) + (b+d)i\big) = (a+c) - (b+d)i\]
\[= (a - bi) + (c - di) = \varphi(a+bi) + \varphi(c+di)\]
O hâlde \(\varphi\), \(\langle \mathbb{C}, + \rangle\)’nın bir otomorfisidir. Toplam grubunun birimi \(0 = 0 + 0i\) olduğundan
\[\operatorname{Ker}\varphi = \{a + bi : a - bi = 0 + 0i\} = \{0\}\]
\(\blacksquare\)
24.3 İzomorfi Ölçütü
Son iki örnekte çekirdek trivial çıktı ve fonksiyonlar birebirdi; ilkinde çekirdek iki elemanlıydı ve fonksiyon birebir değildi. Bu bir rastlantı değildir:
Teorem 24.2 (İzomorfi Ölçütü) \(\varphi : G \to G'\) üzerine bir grup homomorfisi olsun. \(\varphi\)’nin bir izomorfi olması için gerek ve yeter koşul
\[\operatorname{Ker}\varphi = \{1_G\}\]
olmasıdır.
İspat
Gereklik. \(\varphi\) izomorfi, yani birebir olsun. \(\varphi(1_G) = 1_{G'}\) olduğundan \(1_G \in \operatorname{Ker}\varphi\)’dir; birebirlik, \(1_{G'}\) değerini alan başka eleman bırakmaz: \(\operatorname{Ker}\varphi = \{1_G\}\).
Yeterlik. \(\operatorname{Ker}\varphi = \{1_G\}\) olsun ve \(\varphi(a) = \varphi(b)\) alalım:
\[\big(\varphi(a)\big)^{-1}\varphi(b) = 1_{G'} \implies \varphi(a^{-1}b) = 1_{G'} \implies a^{-1}b \in \operatorname{Ker}\varphi = \{1_G\}\]
O hâlde \(a^{-1}b = 1_G\), yani \(a = b\)’dir: \(\varphi\) birebirdir ve üzerine homomorfi olduğundan izomorfidir.
\(\blacksquare\)
Bu ölçüt, homomorfi teoremiyle birlikte okunmalıdır: çekirdek, homomorfinin birebirlikten “ne kadar uzak” olduğunun tam ölçüsüdür — \(\operatorname{Ker}\varphi\) ne kadar büyükse \(\varphi\) o kadar çok elemanı aynı değere yapıştırır ve \(G/\operatorname{Ker}\varphi\), yapışmadan arta kalan yapıyı kaydeder.
Teorem, her homomorfiden bir normal alt grup üretti. Peki tersi? Her normal alt grup bir homomorfiden mi gelir? Yanıt evettir ve bunu kuran fonksiyon son derece doğaldır: her elemanı kendi kalan sınıfına gönderin — doğal homomorfi.