25 Doğal Homomorfi
Homomorfi teoremi, her üzerine homomorfinin çekirdeğinin normal alt grup olduğunu söyledi. Bu bölümde madalyonun öbür yüzünü kanıtlıyoruz: her normal alt grup da bir homomorfinin çekirdeğidir — elemanı kendi kalan sınıfına gönderen doğal homomorfinin. Böylece normal alt gruplar ile homomorfiler arasında tam bir karşılıklılık kurulur ve her homomorfi, “önce doğal homomorfi, sonra izomorfi” biçiminde çarpanlara ayrılır: \(\varphi = \psi\chi\).
25.1 Doğal Homomorfi
Teorem 25.1 (Doğal Homomorfi) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(H \trianglelefteq G\) olsun.
\[\chi : G \to G/H, \qquad a \mapsto aH\]
fonksiyonu, \(G\)’nin \(G/H\) üzerine bir homomorfisidir.
İspat
İyi tanımlıdır: \(a = b \implies aH = bH \implies \chi(a) = \chi(b)\).
Üzerinedir: \(G/H\)’nin tipik elemanı \(aH\)’dir ve \(\chi(a) = aH\)’dir.
İşlemi korur: Bölüm grubundaki çarpmanın tanımıyla
\[\chi(a \cdot b) = (ab)H = aH \cdot bH = \chi(a) \cdot \chi(b)\]
\(\blacksquare\)
Tanım 25.1 (Doğal (Kanonik) Homomorfi) Yukarıdaki \(\chi\) homomorfisine \(G\)’nin \(H\) normal alt grubuna göre doğal (kanonik) homomorfisi denir.
\(\chi\)’nin çekirdeği tam olarak \(H\)’dir: \(\chi(a) = aH\) sınıfının birim olması, \(aH = H\), yani \(a \in H\) demektir. Böylece:
Sonuç 25.1 (Normal Alt Gruplar ile Homomorfiler Arasındaki Karşılıklılık) Bir \(G\) grubunun her üzerine homomorfisi (çekirdeği aracılığıyla) \(G\)’nin bir normal alt grubunu belirler; karşıt olarak \(G\)’nin her normal alt grubu da (doğal homomorfi aracılığıyla) \(G\)’nin bir üzerine homomorfisini belirler.
İspat
Birinci yön homomorfi teoreminin 1) maddesidir. İkinci yön: verilen \(H \trianglelefteq G\) için doğal homomorfi \(\chi : G \to G/H\) bir üzerine homomorfidir ve \(\operatorname{Ker}\chi = H\)’dir.
\(\blacksquare\)
25.2 Her Homomorfi Doğal Homomorfiden Geçer
Teorem 25.2 (\(\varphi = \psi\chi\) Ayrışımı) \(G\) bir grup ve \(\varphi : G \to G'\) üzerine bir homomorfi olsun; \(N = \operatorname{Ker}\varphi\) diyelim. \(\chi : G \to G/N\) doğal homomorfi ve \(\psi : G/N \to G'\), \(aN \mapsto \varphi(a)\) homomorfi teoremindeki izomorfi olmak üzere
\[\varphi = \psi\chi\]
İspat
\(\psi\chi : G \to G'\) bileşkesini herhangi bir \(a \in G\)’de hesaplayalım:
\[(\psi\chi)(a) = \psi\big(\chi(a)\big) = \psi(aN) = \varphi(a)\]
İki fonksiyon her noktada çakıştığından eşittir.
\(\blacksquare\)
Bu ayrışımın söylediği şudur: bir homomorfinin yaptığı iş iki katmana ayrılır — önce \(\chi\) elemanları çekirdeğin sınıflarına yapıştırır (bilgi kaybı tamamen buradadır), sonra \(\psi\) sınıfları hedefe birebir taşır (hiçbir bilgi kaybetmez). Homomorfinin bütün “kayıplı” kısmı, bir bölüm grubuna geçişten ibarettir.
25.3 Alıştırmalar
Alıştırma 25.1 (Üçlüler Grubundan \(\mathbb{Z}\)’ye) \(G = \{(a, b, 3) : a, b \in \mathbb{Z}\}\) kümesinde \((a, b, 3) * (c, d, 3) = (a + c, b + d, 3)\) işlemi tanımlanıyor.
\(\langle G, * \rangle\)’nin komutatif bir grup olduğunu gösteriniz.
\(\varphi : \langle G, * \rangle \to \langle \mathbb{Z}, + \rangle\), \((a, b, 3) \mapsto a + b\) fonksiyonunun üzerine bir homomorfi olduğunu gösterip çekirdeğini bulunuz.
Çözüm
a) İlk iki bileşendeki işlem, tam sayıların toplamasıdır.
Kapalılık: \(a + c, b + d \in \mathbb{Z}\) olduğundan sonuç \(G\)’dedir.
Asosyatiflik ve komutatiflik: Bileşen bileşen, \(\mathbb{Z}\)’deki toplamanın asosyatifliği ve komutatifliğinden gelir.
Birim eleman: \((0, 0, 3) \in G\) için \((0, 0, 3) * (a, b, 3) = (a, b, 3)\)’tür.
Ters eleman: \((a, b, 3)\)’ün tersi \((-a, -b, 3) \in G\)’dir.
O hâlde \(\langle G, * \rangle\) komutatif bir gruptur.
b) İyi tanımlılık: Aynı üçlü aynı \(a + b\) toplamını verir.
Üzerinelik: Her \(n \in \mathbb{Z}\) için \((n, 0, 3) \in G\) ve \(\varphi\big((n, 0, 3)\big) = n\)’dir.
İşlemi koruma:
\[\varphi\big((a, b, 3) * (c, d, 3)\big) = \varphi\big((a+c, b+d, 3)\big) = (a + c) + (b + d)\]
\[= (a + b) + (c + d) = \varphi\big((a,b,3)\big) + \varphi\big((c,d,3)\big)\]
Demek ki \(\varphi\) üzerine bir homomorfidir. \(\langle \mathbb{Z}, + \rangle\)’nın birimi \(0\) olduğundan
\[\operatorname{Ker}\varphi = \{(a, b, 3) \in G : a + b = 0\} = \{(a, -a, 3) : a \in \mathbb{Z}\}\]
Homomorfi teoremi ayrıca \(G/\operatorname{Ker}\varphi \cong \langle \mathbb{Z}, + \rangle\) olduğunu söyler.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 25.2 (Bir Sayı Kümesinden \(\mathbb{Z}\)’ye) \(H = \{3a + b\sqrt{3}\, i : a, b \in \mathbb{Z},\ a \equiv b \pmod{2}\}\) kümesi veriliyor.
\(H\)’nin \(\mathbb{C}\)’deki toplama işlemine göre bir grup olduğunu gösteriniz.
\(\varphi : \langle H, + \rangle \to \langle \mathbb{Z}, + \rangle\), \(3a + b\sqrt{3}\, i \mapsto \dfrac{3a - b}{2}\) fonksiyonunun üzerine bir homomorfi olduğunu gösterip çekirdeğini bulunuz.
Çözüm
a) \(0 = 3 \cdot 0 + 0\sqrt{3}\,i \in H\) (\(0 \equiv 0\)) olduğundan \(\varnothing \neq H \subseteq \mathbb{C}\)’dir; \(\langle \mathbb{C}, + \rangle\) grubunun alt grubu olduğunu gösterelim. Toplamsal tek koşullu ölçütü kullanalım: \(3a + b\sqrt{3}\,i,\ 3c + d\sqrt{3}\,i \in H\) için
\[\big(3a + b\sqrt{3}\,i\big) - \big(3c + d\sqrt{3}\,i\big) = 3(a - c) + (b - d)\sqrt{3}\,i\]
Bileşen katsayıları \(a - c, b - d \in \mathbb{Z}\)’dir; ayrıca \(a \equiv b\) ve \(c \equiv d \pmod 2\) olduğundan
\[a - c \equiv b - d \pmod{2}\]
sağlanır: fark yine \(H\)’dedir. O hâlde \(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} \langle \mathbb{C}, + \rangle\) ve \(\langle H, + \rangle\) bir gruptur.
b) İyi tanımlılık: \(a \equiv b \pmod 2\) koşulu \(3a - b = 3a - b\)’nin çift olmasını garanti eder: \(3a - b \equiv 3a - a = 2a \equiv 0 \pmod 2\). Yani \(\frac{3a - b}{2}\) gerçekten bir tam sayıdır ve gösterim \((a, b)\) çifti tarafından tek türlü belirlendiğinden fonksiyon iyi tanımlıdır.
Üzerinelik: \(n \in \mathbb{Z}\) verilsin. \(a = n\), \(b = n\) seçersek \(a \equiv b\) sağlanır ve
\[\varphi\big(3n + n\sqrt{3}\,i\big) = \frac{3n - n}{2} = n\]
İşlemi koruma:
\[\varphi\Big(\big(3a + b\sqrt{3}\,i\big) + \big(3c + d\sqrt{3}\,i\big)\Big) = \varphi\Big(3(a+c) + (b+d)\sqrt{3}\,i\Big)\]
\[= \frac{3(a+c) - (b+d)}{2}\]
\[= \frac{3a - b}{2} + \frac{3c - d}{2} = \varphi\big(3a + b\sqrt{3}\,i\big) + \varphi\big(3c + d\sqrt{3}\,i\big)\]
Demek ki \(\varphi\) üzerine bir homomorfidir.
Çekirdek: \(\varphi\big(3a + b\sqrt{3}\,i\big) = 0\) olması \(3a = b\) demektir (\(a \equiv 3a \pmod 2\) otomatik sağlanır):
\[\operatorname{Ker}\varphi = \big\{3a + 3a\sqrt{3}\, i : a \in \mathbb{Z}\big\} = \big\{3a\big(1 + \sqrt{3}\,i\big) : a \in \mathbb{Z}\big\}\]
\(\blacksquare\)
Cebir 1’in yolculuğu burada tamamlanıyor. İkili işlem tanımıyla başladık; grup aksiyomlarını esnettik, permütasyonları ve devresel grupları sınıflandırdık, Lagrange teoremiyle sonlu grupların iskeletini çıkardık ve bölüm grubu ile homomorfi teoreminde iki büyük fikrin aynı şey olduğunu gördük. Serinin devamı olan Cebir 2, aynı soruları iki işlemli yapılara — halkalara ve ideallere — taşıyacak; müfredatı ana sayfada bulabilirsiniz.