10 Devreler
İki satırlı gösterim, bir substitüsyonun ne yaptığını satır satır söyler ama nasıl bir hareket olduğunu göstermez. Bu bölümün ana fikri, her substitüsyonun elemanları halkalar hâlinde döndürdüğüdür: \(2 \to 4 \to 6 \to 2\) gibi kapalı yörüngeler. Bu yörüngelere devre diyeceğiz ve her substitüsyonun ortak elemanı olmayan devrelerin çarpımı olarak tek türlü yazılabildiğini göreceğiz. Devre dili, çarpım, kuvvet ve ters hesaplarını birkaç satırlık işe indirger.
10.1 Devre Kavramı
Tanım 10.1 (Devre) \(S \in S_n\) ve \(a\), \(S\)’nin yerinden oynattığı bir eleman olsun. \(S\); \(a\)’yı \(S(a)\)’ya, \(S(a)\)’yı \(S^2(a)\)’ya, … götürür. Uygun bir \(k \in \mathbb{N}\) için
\[S^k(a) = a\]
oluyorsa (böyle en küçük \(k\)’yı alalım) ve \(S\); \(a, S(a), S^2(a), \dots, S^{k-1}(a)\) dışındaki elemanların hepsini sabit bırakıyorsa, \(S\)’ye \(k\) uzunluğunda bir devre denir ve
\[S = \big(a,\ S(a),\ S^2(a),\ \dots,\ S^{k-1}(a)\big)\]
ile gösterilir: parantezdeki her eleman bir sağındakine, sonuncusu da baştakine gider.
Gösterimle ilgili iki not:
- Devre, elemanlarının dairesel kaydırılmasıyla değişmez: \((2\,4\,6\,7\,3) = (4\,6\,7\,3\,2) = (6\,7\,3\,2\,4) = \cdots\) Hangi elemandan başladığımız önemsizdir; önemli olan dönüş sırasıdır.
- Uzunluğu \(1\) olan “devreler” — yani \(S(a) = a\) diyen \((a)\) parantezleri — devre sayılmaz; sabit elemanlar yazılmaz.
Örnek 10.1 (Devre Tanıma) \(S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 4 & 2 & 6 & 5 & 7 & 3 & 8 \end{pmatrix} \in S_8\) substitüsyonuna bakalım. \(1, 5, 8\) sabittir; öbür elemanlar tek bir yörünge çizer:
\[2 \mapsto 4 \mapsto 6 \mapsto 7 \mapsto 3 \mapsto 2\]
O hâlde \(S\), \(5\) uzunluğunda bir devredir:
\[S = (2\,4\,6\,7\,3) = (4\,6\,7\,3\,2) = (6\,7\,3\,2\,4) = (7\,3\,2\,4\,6) = (3\,2\,4\,6\,7)\]
10.2 Yabancı Devrelere Ayrılış
Tanım 10.2 (Yabancı Devreler) Hiçbir ortak elemanı bulunmayan devrelere yabancı devreler denir. Örneğin \((1\,2\,3)\) ile \((4\,7\,6\,5)\) yabancıdır.
Teorem 10.1 (Yabancı Devrelere Ayrılış) Her substitüsyon, bir takım yabancı devrelerin çarpımı olarak gösterilebilir; devrelerin sırasından vazgeçildiği takdirde bu gösteriliş tek türlü belirlidir.
İspatın fikri, uygulamadaki tarifin kendisidir: yerinden oynayan bir elemandan başlayıp yörüngesi kapanana dek izleyin — bu bir devredir; sonra henüz kullanılmamış bir elemandan yeni bir yörünge başlatın. Yörüngeler ya çakışır ya hiç kesişmez; bu da tekliği verir.
Örnek 10.2 (Ayrılış Örnekleri) \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 6 & 4 & 7 & 2 & 5 & 1 & 8 \end{pmatrix} = (1\,3\,4\,7)(2\,6\,5)\]
çünkü \(1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 7 \mapsto 1\) ve \(2 \mapsto 6 \mapsto 5 \mapsto 2\); \(8\) sabittir. Benzer biçimde
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 2 & 8 & 3 & 6 & 1 & 7 \end{pmatrix} = (1\,4\,8\,7)(2\,5\,3)\]
Identik substitüsyon hiçbir elemanı oynatmadığından ayrılışı boş çarpımdır; \(S_n\)’de \(I = (1)(2)\cdots(n)\) diye de yazılır.
10.3 Devrelerle Hesap Kuralları
Yabancı ayrılışın gücü, dört pratik kuraldan gelir:
Yabancı devreler komutatiftir: \(D_1 D_2 = D_2 D_1\) — her biri diğerinin elemanlarını sabit bıraktığından sıra fark etmez. (Yabancı olmayan devrelerin çarpımı genel olarak komutatif değildir.)
Kuvvet, devre içinde öteleme demektir: yabancı devrelere ayrılmış \(S\)’nin \(k\). kuvvetini almak için her devrenin içinde her elemanı \(k\) adım ileri götürmek yeterlidir; devreler birbirine karışmaz:
\[S = D_1 D_2 \cdots D_r \implies S^k = D_1^k D_2^k \cdots D_r^k\]
\(m\) uzunluğundaki devrenin \(m\). kuvveti birimdir: \((a_1 a_2 \dots a_m)^m = I\); her eleman tam tur atar.
Ters, devreyi tersten okumaktır:
\[\big(a_1\,a_2\,a_3\,\dots\,a_k\big)^{-1} = \big(a_1\,a_k\,a_{k-1}\,\dots\,a_2\big)\]
ve yabancı devrelerin komutatifliği sayesinde \(S = D_1 \cdots D_r\) için \(S^{-1} = D_1^{-1} \cdots D_r^{-1}\)’dir.
Örnek 10.3 (Bir Devrenin Bütün Kuvvetleri) \((1\,2\,3\,4\,5\,6) \in S_6\) devresinin kuvvetlerini hesaplayalım; \(k\). kuvvet, her elemanı devre içinde \(k\) adım öteler:
\[(1\,2\,3\,4\,5\,6)^2 = (1\,3\,5)(2\,4\,6), \qquad (1\,2\,3\,4\,5\,6)^3 = (1\,4)(2\,5)(3\,6)\]
\[(1\,2\,3\,4\,5\,6)^4 = (1\,5\,3)(2\,6\,4), \qquad (1\,2\,3\,4\,5\,6)^5 = (1\,6\,5\,4\,3\,2), \qquad (1\,2\,3\,4\,5\,6)^6 = I\]
Uzunluk \(6\) çift olduğundan ara kuvvetlerde devre küçük parçalara kırılıyor; \(5\). kuvvet ise tersten okunmuş devredir: \((1\,2\,3\,4\,5\,6)^5 = (1\,2\,3\,4\,5\,6)^{-1}\).
Örnek 10.4 (\(S_8\)’de Devrelerle Hesap) \(S_8\)’de
\[S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 7 & 1 & 6 & 2 & 8 & 5 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 5 & 7 & 6 & 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\]
substitüsyonlarının, ayrıca \(S^{-1}\), \(T^{-1}\), \(ST\) ve \(TS\)’nin yabancı devrelere ayrılışlarını bulunuz; \(S^2\) ile \(T^3\)’ü hesaplayınız.
Çözüm
\(S\): \(1 \mapsto 3 \mapsto 7 \mapsto 8 \mapsto 5 \mapsto 6 \mapsto 2 \mapsto 4 \mapsto 1\) — tek büyük yörünge:
\[S = (1\,3\,7\,8\,5\,6\,2\,4)\]
\(T\): \(1 \mapsto 8 \mapsto 2 \mapsto 5 \mapsto 1\) ve \(3 \mapsto 7 \mapsto 4 \mapsto 6 \mapsto 3\):
\[T = (1\,8\,2\,5)(3\,7\,4\,6)\]
Tersler: Devreler tersten okunur:
\[S^{-1} = (1\,4\,2\,6\,5\,8\,7\,3), \qquad T^{-1} = (1\,5\,2\,8)(3\,6\,4\,7)\]
\(ST\) (önce \(T\), sonra \(S\)): \(1 \mapsto 8 \mapsto 5\), \(5 \mapsto 1 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 7 \mapsto 8\), \(8 \mapsto 2 \mapsto 4\), \(4 \mapsto 6 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 5 \mapsto 6\), \(6 \mapsto 3 \mapsto 7\), \(7 \mapsto 4 \mapsto 1\):
\[ST = (1\,5\,3\,8\,4\,2\,6\,7)\]
\(TS\) (önce \(S\), sonra \(T\)): \(1 \mapsto 3 \mapsto 7\), \(7 \mapsto 8 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 4 \mapsto 6\), \(6 \mapsto 2 \mapsto 5\), \(5 \mapsto 6 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 7 \mapsto 4\), \(4 \mapsto 1 \mapsto 8\), \(8 \mapsto 5 \mapsto 1\):
\[TS = (1\,7\,2\,6\,5\,3\,4\,8)\]
\(S^2\): \(8\)’li devrede herkes iki adım ilerler; sıra \(1, 3, 7, 8, 5, 6, 2, 4\) olduğundan
\[S^2 = (1\,7\,5\,2)(3\,8\,6\,4)\]
\(T^3\): \(4\) uzunluğundaki devrenin küpü, tersidir (\(D^3 = D^{-1}\), çünkü \(D^4 = I\)):
\[T^3 = (1\,8\,2\,5)^3 (3\,7\,4\,6)^3 = (1\,5\,2\,8)(3\,6\,4\,7)\]
\(\blacksquare\)
Örnek 10.5 (\(S_6\)’da Devrelerle Hesap) \(S_6\)’da
\[S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 3 & 6 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}\]
için \(S\), \(T\), \(ST\), \(TS\), \(S^2\), \(T^2\), \(S^{-1}\), \(T^{-1}\), \((ST)^{-1}\), \((TS)^{-1}\)’in yabancı devrelere ayrılışlarını bulunuz.
Çözüm
\(S = (2\,6)(3\,5)\) (\(1\) ve \(4\) sabit); \(T = (1\,5\,4\,2\,3\,6)\).
\(ST\) (önce \(T\)): \(1 \mapsto 5 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 6 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 3 \mapsto 5\), \(5 \mapsto 4 \mapsto 4\), \(4 \mapsto 2 \mapsto 6\), \(6 \mapsto 1 \mapsto 1\):
\[ST = (1\,3\,2\,5\,4\,6)\]
\(TS\) (önce \(S\)): \(1 \mapsto 1 \mapsto 5\), \(5 \mapsto 3 \mapsto 6\), \(6 \mapsto 2 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 5 \mapsto 4\), \(4 \mapsto 4 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 6 \mapsto 1\):
\[TS = (1\,5\,6\,3\,4\,2)\]
Kuvvetler: Transpozisyonların karesi birimdir:
\[S^2 = (2\,6)^2 (3\,5)^2 = I\]
\(T^2\)’de altılı devrenin herkesi iki adım ilerler; sıra \(1, 5, 4, 2, 3, 6\):
\[T^2 = (1\,4\,3)(5\,2\,6) = (1\,4\,3)(2\,6\,5)\]
Tersler: \(S^{-1} = (2\,6)(3\,5) = S\); öbürleri devrenin tersten okunuşudur:
\[T^{-1} = (1\,6\,3\,2\,4\,5), \qquad (ST)^{-1} = (1\,6\,4\,5\,2\,3), \qquad (TS)^{-1} = (1\,2\,4\,3\,6\,5)\]
\(\blacksquare\)
Devre dili elimizde: artık her substitüsyon, yapısını açık eden standart bir biçimde yazılabiliyor. Sıradaki adım, devreleri de en küçük parçalarına — iki elemanlı takaslara — kırmak. Bu kırılım, substitüsyonların “tek” ve “çift” diye ikiye ayrılmasını ve \(S_n\)’nin en ünlü alt grubunu getirecek: transpozisyonlar ve alterne grup.